专项巩固训练卷(三) 一元二次方程的解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版·新教材）

专项巩固训练卷（三） 学到 一元二次方程的解法 ●类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法 1.下面是某同学解方程(x+3)2-4=0的过程. 解：移项，得(x+3)2=4.…第一步 直接开平方，得x+3=2,…第二步 解得x=一1.…第三步 该同学的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程。 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=9. ·类型二用因式分解法求解一元二次方程 (一)提公因式法 3.解下列方程： （1)x-1=x(1-x); (2)x(2x+3)=4x+6. 4.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应 的任务 解方程：(3x-1)2=2(3x-1). 解：方程两边都除以(3x-1),得3x-1=2.…第一步 移项、合并同类项，得3x=3.…第二步 两边都除以3，得x=1.…第三步 任务： (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请写出此题的正确解题过程. (二)十字相乘法 5.新考向阅读下列材料： I.将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7). -5 ②交叉相乘，验中项： →7x+(-5x)=2x. x+7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=（x+7)(x-5), 我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相 乘法 Ⅱ.根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2-7x+12=0; (2)x2-6x-16=0; (3)3x2+7x+2=0; (4)2x2+11x-21=0. 类型三用配方法求解一元二次方程 6.用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1=0.小明同学的解题过程 如下： 解：原方程可化为+2+2=0， +3 99.1 2x+4-4+2=0, (+-子，直接开平方得+是= 万 2 33 2 数学 华师版 九年级 上册 第11页 儿此图标眼料音/微信扫码领取配套资源，开启高数学习 小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若不正确，请写 出你的解题过程. 7.用配方法解下列方程： (1)x2-4x-5=0; (2)x2-4V2x-2=0; (3)x2-2x-1=0; (4)2x2-4x=3-8x. ·类型四用公式法解一元二次方程 8.用公式法解下列方程： (1)6x2-13x-5=0; (2)3x2+2x-1=0; (3)2x2=3√2x-2. 见此图标眠抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 ·类型五用换元法解一元二次方程 9.阅读下列例题的解答过程： 例：解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0 a=3,b=7,c=4, .b2-4ac=72-4×3×4=1, -7±√1-7±1 y=2X3= 6 1=-1n=- 当y=-1时，x-2=-1,∴.x=1; 当y=-时-2=-心x=子， 原方程的根为1，女一号 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x-3)2-5(x-3 10.阅读材料：为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将 x2-1看作一个整体，设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4 =0①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,.x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±V5. 故原方程的根为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-√5， 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 达到了降次的目的，体现了的数学思想； (2)已知实数a、b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+ b2的值； (3)请利用以上知识解方程：(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. )-7=0. 数学 华师版 九年级 上册 第12页 ·类型六含绝对值的一元二次方程的解法 11.阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的 解法解方程 例：解方程x2-1x1-2=0. 解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0, 解得x1=2,x2=-1. ·x≥0，.x=-1舍去，∴.x=2是原方程的根. 当x<0时，原方程化为x2+x-2=0, 解得x1=-2,x2=1. x<0,.x=1舍去，∴.x=-2是原方程的根 综上所述，原方程的根为x1=2,x2=-2. 解方程x2+21x+21-4=0.全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 23.解：(1)由题意可知AP=tcm,BQ=2tcm,0≤t≤6， .BP=(6-)cm,若△PBQ的面积等于8cm2, 则2P:B0=8,即号6-)×2=8， 整理，得t-6t+8=0,解得t1=2,t2=4. 故经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. (2)△PBQ的面积不能为△ABC面积的一半. 理由：若△PBQ的面积为△ABC面积的一半， 则时BP,B0=分×了AB·BC 即时6-0x2=子×分x6x2, 整理得t2-6t+18=0. △=(-6)2-4×1×18=-36<0， .该方程没有实数根， ∴.△PBQ的面积不能为△ABC面积的一半 (3)在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°，BP=(6-t)cm, BQ=2tcm,若PQ的长度等于6cm, 则由勾股定理，得(6-t)2+(2)2=62, 整理，得5-121=0，解得5-号6-0（合）。 故经过号，PQ的长度等于6cm 24解：61)号 (2):一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n, 1、m+n=-0=-。3=3,0 a a ÷”+m=m2+元-(m+nm)2-2m m n mn mn (-2 1 21 -2 (3)实数5t满足2s2-3s-1=0,22-3t-1=0,且s≠t, 5t可以看作方程2x2-3x-1=0的两个根， .s+t=- a a (t-s)2=(t+s)2-4st =(3)-4x() +2= 当1要对. 17 11t-s 2 S L 1=-√7； -2 当=要财 、7 st i=17 2 综上所述，-的值为v厅或-万， …6. 专项巩固训练卷（三）》 一元二次方程的解法 1.解：二 正确的解答过程如下： (x+3)2-4=0, .(x+3)2=4, ∴.x+3=±2， .x+3=2或x+3=-2, .x1=-1,x2=-5. 2.解：(1)移项，得3x2=27. 方程两边都除以3，得x2=9 直接开平方，得x=±3. (2)直接开平方，得2x-1=±3， 即2x-1=3或2x-1=-3, 解得x1=2,x2=-1. 3.解：(1)(x-1)+x(x-1)=0, ∴.(x-1)(x+1)=0, .x-1=0或x+1=0, 即x1=1,x2=-1. (2)x(2x+3)=4x+6,x(2x+3)-2(2x+3)=0, ∴.（x-2)(2x+3)=0, .x-2=0或2x+3=0, 即名=24=是 4.解：(1)一 (2)由题意，得(3x-1)2-2(3x-1)=0, ∴.（3x-1-2)(3x-1)=0, .(3x-3)(3x-1)=0, .3x-3=0或3x-1=0,即x=1,x=3 5.解：(1)由题意，得(x-3)(x-4)=0. 即x-3=0或x-4=0,x=3或x=4. (2)由题意，得(x-8)(x+2)=0, x-8=0或x+2=0,∴.x1=8,x2=-2. (3)由题意，得(3x+1)(x+2)=0, 即3x+1=0或x+2=0, 1 六6=3西=-2. (4)由题意，得(2x-3)(x+7)=0, 即2x-3=0或x+7=0, 3 小x=2出=-7 6.解：小明的解题过程不正确.正确的解题过程如下： 原方程可化为+名x+7=0, .1 移项，得x2+ 3 1 2*=-2 配方，得+2+（°=宁+（八， 321 即(x+4)=6 直接开平方，得x+4=±4 3 .1 x+或+= 1 1 小名=2西=-1. 7.解：(1)移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+4=5+4, 即(x-2)2=9. 直接开平方，得x-2=±3， 解得1=5,2=-1. (2)移项，得x2-42x=2. 配方，得x2-4√2x+8=2+8,即(x-22)2=10. 直接开平方，得x-22=±√10， 解得x1=22+√10，x2=22-√10 (3)移项，得x2-2x=1. 配方，得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2. 直接开平方，得x-1=±√2， 解得x1=1+2,x2=1-2. (4)2x2-4x=3-8x, 整理，得2以+=3，+2x=子 配方，得(+1)2= 5 直接开平方，得x+1=±√2， 解得x2+0 2 24=-2-四 2 8.解：(1)a=6,b=-13,c=-5, .b2-4ac=169+120=289>0, ∴·.方程有两个不相等的实数根， x=-b±yB-4ac_13±28913±17 2a 12 12 (2).a=3,b=2,c=-1, .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, ·方程有两个不相等的实数根， ÷x=-6±6-4a--2±16 2a 6 .1 即x=3=-1. (3)原方程可变形为2x2-32x+2=0. a=2,b=-32,c=2, .b2-4ac=(-32)2-4×2×2=2>0, ∴.方程有两个不相等的实数根， 六x=-b±yB-4ac-32±2 2a 41 即2竖 9.解：设x-3=y,则原方程可化为2y-5y-7=0. .'a=2,b=-5,c=-7, .b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81, 参考答案及解析 ÷y=5t8I-5±9 2×2 4 7 即y1=-1,2=2 当y=-1时，x-3=-1,.x=2; 7 7.13 当y=2时，x-3=2x=2, ·原方程的根为名=2，出=2 13 10.解：（1)换元转化 (2)设a2+b2=m,则原方程可化为m2-3m-10=0, ∴.(m+2)(m-5)=0,解得m1=-2,m2=5. a2+b2>0,.a2+b2的值为5. (3)设x2+x=y,原方程可变为y-5y+4=0, 则(y-4)(y-1)=0,∴.y-4=0或y-1=0, 解得y1=4,y2=1. 当y=4时，x+x=4,解得x=1±7。 2 当y=1时，x2+x=1,解得x=1±5 2 2,=1-7 ·原方程的根为斯，=二1+了 2 名=1+5 2 11.解：当x+2≥0，即x≥-2时，原方程化为x2+2x=0, 即x(x+2)=0,解得x1=0,x2=-2. 当x+2<0,即x<-2时，原方程化为x2-2x-8=0, 即(x-4)(x+2)=0, 解得x3=4(不符合题意，舍去)，x4=-2(不符合题意，舍去) 综上，原方程的根为x1=0,x2=-2. 专项巩固训练卷（四） 一元二次方程应用的常见类型 1.B 2.解：设有x个队参加了报名， 由题意，得(x-1山=66， 2 整理，得x2-x-132=0, .（x-12)(x+11)=0, 解得x1=12,x2=-11(不符合题意，舍去). 答：有12个队参加了报名. 3.D4.B 5.解：(1)设这种宣讲活动，一个人会给x人宣讲， 依题意，得(1+x)2=81, 解得x1=8,x2=-10(舍去). 答：这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲 (2)81×(1+8)=729(人). 答：按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共 有729人. 6.C7.B8.A 9.解：(1)设AB=CD=x,则AD=BC=120÷2-x=60-x, MN=x-4,MQ=60-x-2=58-x. 由题意，得(x-4)(58-x)=720,解得x1=34,x2=28. .BC>AB,∴.x=28,∴.MQ=58-28=30. 。7