第一章 考点小卷3 正方形的性质与判定-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

考点小卷3」 正 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.正方形具有而菱形不具有的性质是() A.两组对角分别相等B.两条对角线相等 C.四条边相等 D.对角线互相垂直 2.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC 上，若CE=CD,则∠AED的度数为（) A.105.5°B.112.5°C.115°D.120° 2题图 3题图 3.如图，E是边长为6的正方形ABCD对角线上 的一动点，若四边形EFCG为矩形，则矩形 EFCG的周长为 () A.6 B.10 C.12 D.无法确定 4.如图，直线I过正方形ABCD的顶点B,点A,C 到直线1的距离分别为1和2，则正方形的边 长是 B 4题图 A.2 B.√5 C.3 D.6 5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交 于点O,E是边AD上一点，连接OE,过点O作 OE的垂线交CD于点F,若AE=5,CF=2,则 正方形ABCD的边长为 A.7 B.8 C.9 D.10 5题图 6题图 6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列 三个结论：①当AB=BC时，它是菱形；②当 第一章特殊平行四边形 形的性质与判定 ⊙满分：60分得分： AC⊥BD时，它是矩形；③当AC=BD,且AC⊥ BD时，它是正方形.其中正确的有（) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A,B 重合)，连接PD,并将线段PD绕点P顺时针 旋转90°，得线段PE,连接BE,则∠CBE等于 ( A.75° B.60° C.45° D.30 7题图 8题图 8.如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上， DE=5,EC=4,把线段AE绕点A旋转，使点E 落在直线BC上的点F处，则F,C两点间的距 离为 A.4 B.5 C.14 D.4或14 二、填空题（每小题3分，共9分） 9.如图，口ABCD的对角线互相垂直，要使四边形 ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可) X 9题图 10题图 11题图 10.如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD, AC的交点，EF过点O.若图中阴影部分的面 积为1，则正方形ABCD的周长为 11.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A,分 别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点 F.若DE=4,BF=3,则EF的长为 了全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 三、解答题（共27分） 12.(7分)如图，已知在矩形ABCD中，∠BAD和 ∠CDA的平分线交于BC边上一点E,F为矩 形外一点，四边形AEDF为平行四边形.求 证：四边形AEDF是正方形 E 12题图 13.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是AB延 长线上一点，连接CE,过点A作AF⊥CE于 点F,交BC于点G.求证：BG=BE. B G F 13题图 6 14.(12分)【问题情境】如图①，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，E,F分别为BC,CD上 的点.连接EF,已知AG⊥EF,AE平分 ∠BAG,AF平分∠DAG. 【问题发现】 (1)若∠EAF=45°，AB=4,E为BC的中点， 则四边形ABCD的形状为 ,DF 的长为 【拓展应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥ BC于点D,若AD=12,BD=6,求CD的 长.小明给出如下思路： 如图③，作出点D分别关于AB,AC的对称点 E,F,延长EB,FC相交于点G,连接AE,AF. 设CD=x,… 按小明的思路探究续写完整的解答过程 B 14题图① 14题图② 14题图③参考答案及解析问 参考答案及解析 第一章特殊平行四边形 ≌△GOF,.AE=GF,.EB+BF=EB+AE+BG= 考点小卷1菱形的性质与判定 AB BG=4. 1.B2.A3.A4.A 5.B[解析]：四边形ABCD是菱形，AC=12,BD=16,AC1 BD,OB=8,0C=6.在Rt△B0C中，BC=√OB2+0C=10. EFLBG BC EF=AG.BDEF 5 G F 11题答图 6.c7.A8.c9.④10.1.2m 12.证明：.AD=DE,.∠DAE=∠AED 13 四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC 12.（1)解：如答图①，AE即为所求 .∠DAE=∠AEB,∴.∠AED=∠AEB,·.EA平分∠BEF D ,AF⊥DE,AB⊥BC,.AB=AF. 13.（1)证明：.四边形AMCN是菱形，∴.AM∥NC. 'AD⊥NC,CB⊥AM,∴.∠BAD=180°-∠ADC=90° .∠ADC=∠BAD=∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形 12题答图① 12题答图② (2)解：：四边形AMCN是菱形，AC=4,MN=8, (2)证明：如答图②，连接DE ∴.0A=0C=2,OM=0N=4,AC⊥MN,∠C0N=90°， .AE平分∠BAD,.∴.∠1=∠2. .AD∥BC,.∠1=∠3，.∠2=∠3，.AB=BE. S影wcw=子4cMN=之×4x8=16, AB=AD,AD=BE,四边形ABED是平行四边形， .CN=√0C2+0N2=25. ,·AB=BE,平行四边形ABED是菱形 13.解：(1).·四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AB=AD. E为AB的中点，DE⊥ABAD=BD,.AD=BD=AB, .△ABD为等边三角形，∴，∠DAB=60, 7×25A0=子×164A0=8 5 .AD∥BC, 14.解：(1)CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, .∠ABC=180°-∠DAB=120° ∴.∠ACE=∠BCE,∠HCF=∠DCF. (2),四边形ABCD是菱形， EF∥BD,∴.∠HEC=∠BCE,∠HFC=∠DCF BDLAC,4A0=4C=7x45=25 .∠HEC=∠HCE,∠HCF=∠HFC, 由(1)可知DE和AO都是等边三角形ABD的高， EH=CH,FH-CBCH-EF-4. .DE=A0=23. (2)当点H位于AC中点时，四边形AECF是矩形.理由如下： 14.(1)证明：'，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, 由(1)知EH=FH. ∴.∠EDG=∠FCG. 又.·AH=CH, .·EF垂直平分CD,即EF⊥CD,DG=CG. ∴.四边形AECF是平行四边形 [LEDG=LFCG, :CE平分∠ACB,CF平分LACD, 在△DGE和△CGF中，DG=CG, L∠EGD=∠FGC, ÷∠ECF=子(LACB+∠ACD)=90, ∴.△DGE≌△CGF(ASA),∴.EG=FG, ∴.四边形AECF是矩形 .四边形CFDE是平行四边形 考点小卷3正方形的性质与判定 ·EF⊥CD,·.四边形CFDE是菱形 1.B2.B3.C4.B5.A6.C7.C (2)解：四边形ABCD是平行四边形， 8.D[解析]：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=DC= .AB∥CD,AB=CD,AD=BC, DE+EC=9,∠BAD=∠ABC=∠D=∠C=90°.分两种情况： ∴.∠FCD=∠B=60°. ①当点F在线段BC上时，，AE绕点A旋转得到AF,·AE= 四边形CFDE是菱形， AF,.Rt△ADE≌Rt△ABF,∴.BF=DE=5,.FC=BC-BF=4; .CF=DF=DE,.△CFD是等边三角形， ②当，点F在线段CB的延长线上时，同理可得BF=DE=5, .CD=CF,∴.CF=AB=DE.AB=2AE,.设AB=2a, ∴.FC=BF+BC=14.综上所述，F,C两点间的距离为4或14. AE=a,则CF=AB=DE=2a,∴AD=BC=AE+DE=3a, 9.∠ABC=90°（答案不唯一）10.811.7 =C+0F=5a器-会=号 12.证明：四边形ABCD是矩形，LBAD=∠CDA=90. AE,DE分别平分∠BAD与∠CDA, 考点小卷2矩形的性质与判定 1 1.B2.C3.D4.C5.B6.A7.C8.C ∠EAD=7∠BMD=45°，∠EDM= ∠CDA=45°， 9.∠ABC=90°（答案不唯一）10.12 .∠EAD=∠EDA,∴.AE=DE. 11.4[解析]如答图，过，点0作OG⊥BC于点G,则LA=∠0GF ,:四边形AEDF为平行四边形，∴.四边形AEDF为菱形 =90°，OG=AB.四边形ABCD是矩形，0是AD的中点，AB ,∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， =2,AD=4,.0A=AB=0G=2.∠E0F=90°，.LA0E+ .四边形AEDF是正方形. ∠E0G=∠E0G+∠G0F=90°，∴.∠A0E=∠C0F,.△A0E13.证明：四边形ABCD是正方形， 33 了全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 ∴.AB=CB,∠ABG=∠CBE=90. 12.解：(1)x2-6x+9=10+9,(x-3)2=19,x-3=±√19， .AF⊥CE,..∠CFG=∠ABG=90° .x1=3+√/19,2=3-√19. .·∠CGF=∠AGB,∴.∠GAB=∠ECB. 在△ABG和△CBE中， 2-22=号-2=±是， 「LGAB=LECB, 7 1 AB=CB. .△ABG≌△CBE(ASA),∴.BG=BE 六x1=22=2 L∠ABG=∠CBE, 14.解：(1)正方形3 4 (3):2-4ac=(-4)2-4×2×1=8,x=4±22 4 (2)由题意可得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, 2 Γ2 ∴.∠DAB=∠EAB,AD=AE,∠DAC=∠FAC,AD=AF 六两1+受雨=1- ∠BAC=45°，.∠EAF=90. (4)x(x-2)+(x-2)=0,.(x-2)(x+1)=0, .x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1. 又，AD⊥BC,∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， 13.解：(1)依题意，得4=9-4m≥0， ∴.四边形AEGF是矩形. ,AE=AD,AF=AD,∴，AE=AF,∴.四边形AEGF是正方形 解得m≤}，放m的取值范阻为m≤} 设CD=x,则CF=x,BC=x+6. (2)把x=-1代入方程，得(-1)2-3×(-1)+m=0, .AE=AF=GF=EG=AD=12,BD=BE=6, 解得m=-4, ∴.BG=6,CG=12-x. 在Rt△BGC中，根据勾股定理，得BG2+CC2=BC, .原方程为x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4, ∴.另一个根为4，m的值为-4. 即62+(12-x)2=(x+6)2,解得x=4,∴.CD的长为4. 14.解：(1)(x+1)(x+4)(x+6)(x-3) 重难点提升小卷 (2)①.·3x2-5x-12=0可分解为(x-3)(3x+4)=0 特殊四边形中的动点问题和折叠问题 1.C2.A3.A4.C5.B6.B7.B8.C -3=0或3x+4=0,解得名=3，%=-子 9.5210.30°11.2.4 ②2x2+(3-2a)x+1-a=0可分解为(2x+1)(x+1-a) 12.解：由折叠的性质，得△ABC≌△AHC,.∠ACB=∠ACH. =0,,2x+1=0或x+1-a=0, 四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠DAC=∠ACB, ∴.∠DAC=∠ACE,∴.AE=CE. 解得名=-2=a-1. 设AE=CE=x,则DE=8-x .方程有一个根大于1， 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2=DE2+CD2, ∴.a-1>1,解得a>2. 4,AE=25 即=(8-)2+6，解得x=25 考点小卷2一元二次方程的根与系数的关系 4 1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.B8.B 13.（1)证明：，四边形ABCD为矩形， 9.x2+3x-4=0(答案不唯一)10.211.43 ∴.AB∥CD,AD=BC,∠B=∠D=90° 12.解：a=1,b=k,c=3, ∴.∠DCA=∠BAC,即∠FCH=∠EMM. 由折叠的性质知AH=AD,CM=CB,∠FHA=∠D=90°， =-k,出1名2=C=3 a ∠EMC=∠B=90°， (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x132=4, .∠CHF=∠AME,AH=CM,∴.AH-MH=CM-MH, .(-)2-4×3=4, ∴.AM=CH,∴.△AME≌△CHF. 解得k=4或k=-4. (2)解：30 13.解：(1)方程的判别式为△=2m+1, 14.解：(1)平行四边形 由△>0，得2m+1>0, (2)①4 解得m>-2 1 理由：：点D的运动速度为1cm/s, 当t=4时，AD=4cm. ,·四边形ABED是平行四边形，BE=AD=4cm. (2a=1,b=-(m+1),c=m ,·∠BAC=90°，∠B=60°，∴.∠ACB=30 AB=4cm,易求BC=8cm, 、名1+x2=-6=m+1,x1=。=4 ∴.CE=BC-BE=4cm,∴.E为BC的中点， AE=C=4 cm,.AD=AE=CE. 2名+)=名%2(m+1）-学 化简，得m2-8m=8, AD∥CE,∴.四边形AECD是平行四边形， 解得m1=4+26,m2=4-2V6. ∴.四边形AECD是菱形. 由(1)可知m>-2 1 ②当四边形AFCD是矩形时，AD=FC. 由(2)①知BC=8cm. .∴.m的值为4+2√6. .·AF⊥BC,∴.∠AFC=90°. 14.(1)证明：4=[-(m+5)]2-4×1×(3m+6)=m2-2m+1 ∠B=60°，∠BAF=30°，易求BF=2cm, =(m-1)2.:不论m取何值，(m-1)2≥0，.4≥0， .FC=BC-BF =6 cm,..AD =6 cm, ,不论m取何值，该方程总有实数根. .t=6÷1=6,.1的值为6. (2)解：设矩形的两邻边长分别为a,b,a,b是关于x的一元 第二章一元二次方程 二次方程x2-（m+5)x+3m+6=0的两根，∴.a+b=m+5, 考点小卷1一元二次方程及其解法 ab=3m+6,.a2+b2=(a+b)2-2ab=(m+5)2-2(3m+6) 1.B2.A3.D4.A5.C6.C7.C8.B =m2+4m+13. 92=1(答案不唯-)10.k≤-子1.30 矩形的对角线长为5，a2+b2=52, ,∴.m2+4m+13=25,解得m1=-6,m2=2. 34