11.3.1+两数和乘以这两数的差　课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，课堂导入先复习多项式乘法法则，通过计算具体多项式积引导学生发现规律，再推导公式，构建从已有知识到新知识的学习支架。 其亮点在于通过几何图形面积证明培养几何直观（数学眼光），结合探究辨析训练发展推理意识（数学思维），利用实际问题和简便计算强化模型意识（数学语言）。教学方法注重探究与应用结合，小结明确公式结构与注意事项，助力学生构建知识体系，教师可借助多样化例题提升教学效率。

华东师大版 八年级数学上册 11.3.1 两数和乘以这两数的差 1 知识关联 1.如何进行多项式与多项式相乘的运算？ ② 再把所得的积相加. ① 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项； 2.进行多项式与多项式相乘的运算时，要注意什么? ① 不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的每一项； ② 去括号时:注意符号的确定； ③ 结果:注意要化简. （x+1）(x-1)= （m+2）(m-2)= （2x+1）(2x-1)= （5y+z）(5y-z)= 计算下列多项式的积，你能发现这些结果有什么特点？ -1 -4 -1= -1 - - 探究新知 探究新知 用多项式乘法法则计算：(a+b)(a−b). 做一做 (a+b)(a−b) =a2−ab+ab−b2 =a2−b2. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 ①这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等． ②公式变形 (b + a )( -b + a ) = a2 - b2 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和乘以这两数的差，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 几何证明 观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算: a a b b b (a+b)(a−b) a2 b2 = - = - 几何角度证明. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 【试一试】 探究与应用 观察图11.3.1，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) a2 -b2 = 用图形面积解释公式， 这就是数形结合的思想. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 1.下列各式能否用平方差公式进行计算?为什么? (1)(a- b)(a+b); (2)(- b+a)(a- b); (3)(- a+b)(- a- b); (4)(- a- b)(- b+a). 【分析】这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方. 解：(1)(3)(4)能运用平方差公式，(2)不能应用公式. 针对训练 别着急 (authorId_208376095) - 指导学生认准公式的特征:这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.教师指名学生口答(1)(3)(4)能运用平方差公式的理由,即回答出相同项是谁,相反项又是谁,并让学生叙述(2)不能应用公式的理由. (a+b)(a−b) a b 结果 (−x+y)(x+y) y x y2−x2 (x−y)(y+x) x y x2−y2 (−x−y)(−x+y) −x y x2−y2 (x−y)(−x−y) −y x y2−x2 试一试，你能用平方差公式直接计算吗？ 使用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键在于找准a与b，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b. 例1 计算： （1）(a-b+c)(a−b-c)； （2）(2a+3b)·(2a−3b)； （3）(1+2c)·(1−2c)； （4）(−2x−y)·(2x−y). 解:原式=(a-b)2−c2 =a2-2ab+b2-c2 解:原式=(2a)2−(3b)2 =4a2−9b2 解:原式=12−(2c)2 =1−4c2 解:原式=(−y+2x)(−y−2x) =(−y)2−(2x)2 =y2−4x2 你还有其他解法吗？ 解:原式=−(2x+y)(2x−y) =−(4x2−y2) =−4x2+y2 1.计算： （1）(2x+ )(2x- )； （2）(-x+2)(-x-2)； 解:原式= 4x2- 解:原式=(-x)2-22 =x2-4 （3）(-2x+y)(2x+y)； （4）(y-x)(-x-y). 解:原式=(y)2-(2x)2 =y2-4x2 解:原式=(-x)2-(y)2 =x2-y2 找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数，即公式中的b. 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 2.填表： 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 【应用】 例2 计算: (1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y). 解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y+2x)(-y-2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2. 关键是识别完全相同项 和互为相反项 2.计算： （1）498×502； （2）2024×2026-20252； 解：原式=(500-2)×(500+2) =250000-4 =249996 解：原式=(2025-1)×(2025+1)-20252 =20252-12-20252 =-1 【探究】两数和与这两数差的乘法公式 探究与应用 【应用】 例3 计算：1 998 ×2 002. 解：1 998×2 002 =(2 000-2)×(2 000 + 2) =2 0002-22 =4 000 000 -4 =3 999 996. 例4 如图，街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积. a 2 a 2 解 (a+2)(a−2)=a2−4. 答：这块长方形草坪的面积为(a2−4)m2. 课堂小结 课堂小结与检测 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两数差的积，等于这两数的平方差 (a+b)(a－b)=a2－b2 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 符号表示 跟踪训练 1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( ) A.(2a−3b)(−2a+3b) B.(−3a+4b)(−4b−3a) C.(a−b)(b−a) D.(a−b−c)(−a+b+c) B 达标检测 课堂小结与检测 2.下列运算正确的是(　　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 C 达标检测 课堂小结与检测 3.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2； （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4. 不对 改正： (x+2)(x-2)=x2-4 不对 改正方法1： (-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4; 改正方法2： (-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2. 4.计算： （1）(a+3b)(a−3b)； （2）(3+2a)(−3+2a)； （3）51×49； （4）(a−b+c)(a+b+c). 解：原式=a2−(3b)2 =a2−9b2 解：原式=(2a)2−32 =4a2−9 解：原式=(50+1)×(50−1) =502−12 =2500−1 =2499 解：原式=[(a+c)+b][(a+c)−b] =(a+c)2−b2 =(a+c)(a+c)−b2 =a2+2ac+c2−b2 达标检测 课堂小结与检测 5.运用平方差公式简便运算： (1)999×1001； (2)1.03×0.97； (3)40 ×39 . 解：(1)原式＝(1000－1)×(1000＋1) ＝10002－12＝999999； (2)原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝12－0.032 ＝1－0.000 9＝0.999 1； (3)原式＝ ＝1 600－ ＝1 599 .　 课堂小结 整式的乘法 平方差公式 特殊情形 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 24 $