11.3.1 两数和乘以这两数的差 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过智力抢答赛问题（21×49、103×97）导入，引导学生计算多项式乘积实例，发现规律并抽象出公式，搭建从具体运算到公式应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，以问题驱动探究培养推理意识，几何图形面积解释公式发展几何直观，典例精析（如1998×2002简便计算）提升运算能力。学生能感受数学应用价值，教师可依托完整环节高效教学。

第10章　数的开方 11.3 乘法公式 1. 两数和乘以这两数的差 导入新课 在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝_______和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说：“第一题等于1 029，第二题等于9 991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？ 探究新知 知识模块一　探究平方差公式 ① (x + 1)( x - 1)；② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 用自己的语言叙述你的发现. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 有时也简称为平方差公式. 知识要点 _____________ ＝ ________ － ________ 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 2米 2米 a米 原来 a2 (a - 2) (a + 2)米 现在 (a + 2)(a - 2) 🔍 数学揭秘：面积变了吗？ a2 - 4 a2 ＞ 知识模块二　平方差公式的运用 算一算：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 例1 填一填： (1 + x)(1 - x) ( - 3 + m)( - 3 - m) (0.3y - 1)(1 + 0.3y) (1 + t)( - 1 + t) a b a2 - b2 1 x -3 m 12 - x2 ( - 3)2 - m2 t 1 t2 - 12 0.3y 1 ( 0.3y)2 - 12 (a - b)(a + b) 典例精析 例2 计算： (1) (a + 3)(a－3)； (2) (2a + 3b)(2a－3b)； = a2－9 = 4a2－9b2 解：(1) (a + 3)(a－3) = a2－32 (2) (2a + 3b)(2a－3b) = (2a)2－(3b)2 (3) (1 + 2c)(1－2c)； = 1－4c2 = 12－(2c)2 (3) (1 + 2c)(1－2c) 原式 = －(2x + y)(2x－y) = －(4x2－y2) = －4x2 + y2. 或 (4) (－2x－y) (2x－y) 原式 = (－y－2x)(－y + 2x) = (－y)2－(2x)2 = y2－4x2 (4) (－2x－y)(2x－y). (－y－2x) (－y + 2x) －(2x + y) 例3 计算 1998×2002. (2000 - 2)(2000 + 2) = 4 000 000 - 4 = 3 999 996. 解： 1998×2002 = = 20002 - 22 计算： (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1). (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x8－1)(x8 + 1) = x16－1 解： 练一练 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3； 不对 改正方法①： 原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)] = - (9a2 - 4) = - 9a2 + 4. 随堂检测 改正方法②： 原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a) = ( - 2)2 - (3a)2 = 4 - 9a2. (2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4. 不对 (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = (2a + 3)(2a - 3) = (2a)2 - 32 = 4a2 - 9. = a2 - 9b2. 解：原式 = a2 - (3b)2 (2) (3 + 2a)(-3 + 2a)； 2. 利用平方差公式计算： (3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)； (4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5). 解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2 = 4x4 - y2. 解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x) = ( - 5)2 - (6x)2 = 25 - 36x2. = (50 + 1)(50 - 1) = 502 - 12 = 2500 - 1 = 2499. （5）51×49； = (9x2 - 16) - (6x2 + 5x - 6) = 3x2 - 5x - 10. （6）(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3) (3x - 2). 3.计算： 20212 - 2020×2022. 解： 20212 - 2020×2022 = 20212 - (2021 - 1)(2021 + 1) = 20212 - (20212 - 12 ) = 20212 - 20212 + 12 = 1. 23 4.利用平方差公式计算: （1）(a - 2)(a + 2)(a2 + 4) 解：原式 = (a2 - 4)(a2 + 4) =a4 - 16. （2）(x - y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4). 解：原式 = (x2 - y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = (x4 - y4)(x4 + y4) = x8 - y8. $