第2章 一元二次方程 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上学期

第2章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的相关概念 　　　一元二次方程定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。三个条件缺一不可。 　　　一般形式：；是二次项系数，是一次项系数，为常数项，系数包含前面符号；是核心条件，、可以等于0。 　　　方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根；将根代入原方程等式成立，可用于求参数、整体代换。 知识点2：一元二次方程的四种解法 　　　直接开平方法：适用形式；两不等实根，两相等实根，无实数根。 　　　配方法：步骤：化二次项系数为1→移常数项到右侧→两边加上一次项系数一半的平方→写成完全平方式，再开平方求解；配方法是推导求根公式的基础。 　　　公式法：求根公式；先化为一般式，算出判别式，判别式非负时代入公式。 　　　因式分解法：原理若，则或；步骤：移项使右边等于0，左边因式分解，降次得到一元一次方程求解；常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 知识点3：根的判别式 　　　判别式定义：。 　　　判别式与根的对应关系 判别式取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 　　　注意：使用判别式前提必须是一元二次方程，即。 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 　　　当，，两根为、，则，。 　　　常见代数式变形： 　　　　；；。 　　　使用前提：二次项系数不为0，且方程有实数根，求出参数后要回代检验判别式。 知识点5：一元二次方程的实际应用 　　　解题六步骤：审、设、列、解、验、答；检验包含方程解检验+实际意义检验，舍去不符合实际的根。 　　　常见模型 应用类型 核心公式/等量关系 平均增长率（降低率） 基数，变化次， 销售利润问题 总利润=单件利润×销售量 几何面积问题 利用图形面积公式建立等式 传播、单循环问题 理清计数逻辑，避免重复计算 　　　几何动点：设运动时间，用含代数式表达线段长度，结合面积、勾股定理列方程。 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程概念辨析 1.核心知识点: 　　一元二次方程三要素；一般形式；二次项、一次项、常数项识别；方程根的定义。 2.解题方法技巧: 　　①判断是不是一元二次方程，先化为整式，看未知数个数、最高次数，重点确认二次项系数不为0。 ②已知根，直接代入方程等式成立，求参数；确定系数要带上前面正负符号。 【例题1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【答案】 【详解】解：利用平方差公式展开方程左侧， 得， 将所有项移到方程左侧，整理得： ． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 【题型2】一元二次方程基础求解 1.核心知识点: 　　直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；四种解法适用条件。 2.解题方法技巧: 　　①优先观察结构，能因式分解优先因式分解；平方结构优先直接开平方法。 ②配方法牢记“二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方”；公式法先算判别式。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】利用直接开平方法解两个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， 开平方，得 ∴，； （2）解：原方程可化为 两边开平方，得， ∴，． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程 (1)（用因式分解法）； (2)（用适当的方法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·天津·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得解； （2）将方程化为一般式，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 原方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴原方程的根为，； （2）解： 或 解得或, ∴原方程的根为，； （3）解： ，， 因此原方程无实数根． 【题型3】根的判别式基础应用 1.核心知识点: 　　判别式；由判别式判断根情况；已知根情况求简单参数。 2.解题方法技巧: 　　①先确认是一元二次方程，；再计算，对比三种情况。 ②参数求出后代入，验证二次项系数不为0。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 该方程没有实数根． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 【培优高频题型】 【题型4】配方法求代数式最值 1.核心知识点: 　　完全平方公式；配方法；平方数非负性。 2.解题方法技巧: 　　①对二次多项式配方，化为形式。 ②利用平方大于等于0，判断最大值、最小值。 【例题4】.（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 【答案】证明：， ∵， ∴，即， 故无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 【分析】将原代数式进行配方，通过平方大于等于0的性质进行证明． 【详解】略． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 【题型5】根与系数关系代数式化简求值 1.核心知识点: 　　韦达定理；根的定义降次；代数式整体代换。 2.解题方法技巧: 　　①遇到根的高次幂，利用根满足原方程进行降次变形。 ②变形后代入两根之和、积，不直接解出根；结果需要检验判别式。 【例题5】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的两根为，，则__________，__________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形计算得到所求结果． 【详解】解：方程为，对应得，，， ∴， ， ∵， ∴代入计算得． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可，即对于一元二次方程，两根满足． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为，一元二次方程中，可得，，已知一个根为， ∴， 解得， 所以方程的另一个根为． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， . 【变式题5-3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 【题型6】传统文化情境方程应用 1.核心知识点: 　　阅读理解；从古代数学材料提取数量关系；建立一元二次方程。 2.解题方法技巧: 　　①翻译古文材料，剥离文字背景，找到等量关系。 ②设未知数，列出方程，不一定要解，重点完成数学建模。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 【变式题6-1】.（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，，求出，得出大正方形的面积为，即可得出边长为，根据，求出x的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程，则，， ∴，， ∴，（负值舍去）， 即， 则， ∴原方程为：， ∴大正方形的面积为， ∴边长为， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【答案】(1)ABC (2)1；6 (3)原矩形的长和宽分别为6和4 【分析】（1）根据方程变形及题意，结合图形依次判断即可； （2）根据题意得出矩形较长边长为：，大正方形的边长为：，然后建立方程求解得出，再结合题意代入求解即可； （3）设矩形较短边长为m，较长边长为n，得出大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，然后建立方程得出，再将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．确定，联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 【压轴素养题型】 【题型7】销售利润类实际应用题 1.核心知识点: 　　利润相关基本关系式：单件利润 = 售价 − 进价；总利润 = 单件利润 × 销售数量。 2.解题方法技巧: 　　① 设未知数：一般设涨价或降价的金额为$x$元，方便表示变化后的单件利润与销售量。 　　② 列表梳理量：把原价、进价、原销量、变化后的单件利润、变化后的销量整理清楚，避免数量关系混淆。 　　③ 列方程：套用总利润公式建立一元二次方程。 　　④ 双检验：检验方程的解是否满足方程，同时检验解是否符合实际场景要求。 【例题7】.（2026九年级上·全国·专题练习）某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【答案】 元 【分析】设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件，根据总利润每件的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由题意得 整理得， 解得或， ∵ 尽可能让利于顾客， ∴， 答：每件降价元． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为24元/件，售价为32元/件. (2)该商品应涨价4元. 【分析】（1）根据每件的售价比进价多元，件的进价相当于件的售价，可以得到相应的一元一次方程，从而可以求得该商品的售价和进价分别是多少元； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题，注意每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大． 【详解】（1）解：设进价为每件元，则售价为每件元， 由题意可得，， 解得， ， 答：商品的售价和进价分别是元件、元件； （2）设该商品应涨价元， 由题意可得，， 解得，，， 每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大， ， 答：该商品应涨价元． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 【题型8】几何面积类实际应用题 1.核心知识点: 　　矩形、正方形面积公式；一元二次方程求解；实际根的取舍。 2.解题方法技巧: 　　①根据图形平移、裁剪，用未知数表达图形长、宽。 ②解方程后，边长必须大于0，舍去不符合实际意义解。 【例题8】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【答案】(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】(1) (2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； （2）解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 【题型9】换元法整体求解高次型方程 1.核心知识点: 　　换元降次思想；一元二次方程解法；整体思想。 2.解题方法技巧: 　　①识别重复整体，设置新元，把原方程简化为一元二次方程。 　　②解出新元，回代求原未知数，检验根。 【例题9】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】， 【分析】设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ， 解得． ， 即或， 解得，． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 【变式题9-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 【题型10】一元二次方程新定义探究 1.核心知识点: 　　一元二次方程判别式；韦达定理；阅读理解新定义；分类推理。 2.解题方法技巧: 　　①读懂“倍根”条件，转化两根倍数关系。 　　②结合韦达定理建立等式；检验二次项不为0，检验判别式。 【例题10】.（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 【答案】(1) (2) 证明：方程中，，， ， 此方程一定是“友好方程”． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、完全平方公式、整式的加减． (1)根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可； (2)根据一元二次方程根的判别式可得：，利用完全平方公式展开，再合并同类项可得：，可知关于的一元二次方程一定是“友好方程”． 【详解】（1）解：①方程中，，， ， 故①是“友好方程”； ②方程中，，， ， 故②不是“友好方程”； ③方程中，，， ， 故③是“友好方程”； “友好方程”有个； 故答案为：； （2）略 【变式题10-1】.（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程是差根方程； ， ， ， ， 该方程不是差根方程； 故答案为： （2）， 因式分解得：， 解得：， 关于x的方程是“差根方程”， ； （3）设 当为斜边时，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负， ， 方程为， 当为斜边，则， ， ， ， 当时，时，解得由韦达定理可得方程为， 当时，(边长不能为负，舍去， 综上，这个差根方程为和 【变式题10-2】.（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 【答案】(1)①②③ (2)① ② (3) 【分析】（1）根据“长雅方程”的定义：若两个一元二次方程的一次项系数互为相反数，其余各项均相同，则这两个方程互为长雅方程，由此判断即可． （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）将原方程化简后，与原方程的“长雅方程”联立，消去二次项后求解，再分情况分析讨论． 【详解】（1）①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． （2）①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． （3）解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，， (2)， (3)， 【分析】（1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ； ； ； （2）解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 易错点 　　　忽略二次项系数不为0：题目说是一元二次方程，必须保证，做参数题经常漏掉该条件。 　　　判别式使用条件混淆：“方程有实数根”没有限定是二次方程，要考虑一次方程情形；韦达定理使用前，忘记检验。 　　　系数符号出错：化为一般形式确定、、，忽略各项前面负号，导致公式、判别式计算错误。 　　　实际应用题不检验：只解方程，不检验根是否符合现实意义，保留负数、超出范围的无效解。 　　　因式分解法随意约去含未知数整式，直接造成丢根；配方法忘记把二次项系数先化为1。 重点 　　　一元二次方程概念，熟练掌握四种解法，能根据方程结构选择最优解法。 　　　根的判别式判断根情况，已知根的情况求参数取值。 　　　根与系数关系，掌握常见代数式变形，整体代入求值。 　　　列一元二次方程解应用题：增长率、销售利润、几何面积，掌握审设列解验答完整步骤。 难点 　　　判别式与韦达定理综合求参数，多条件约束，容易遗漏限制条件。 　　　动点几何问题，用参数表示线段，结合面积、勾股定理建立方程，对建模能力要求高。 　　　新定义题型，读懂陌生规则，转化成熟悉方程知识进行推理探究。 　　　整数根、根的分布类综合问题，需要分类讨论，多条件联立，容易漏情况。 【对应练习题】 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 2．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ∴ 或， ∴． 3．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 二、填空题 4．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 6．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 三、解答题 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】的值为，方程的另一根为 【分析】把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得， 将代入原方程，得：， 整理得， 即， 解得，， 故的值为，方程的另一根为． 9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 10．某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】(1)， (2)元 (3)，， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的相关概念 　　　一元二次方程定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是2，且是整式方程，叫做一元二次方程。三个条件缺一不可。 　　　一般形式：；是二次项系数，是一次项系数，为常数项，系数包含前面符号；是核心条件，、可以等于0。 　　　方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根；将根代入原方程等式成立，可用于求参数、整体代换。 知识点2：一元二次方程的四种解法 　　　直接开平方法：适用形式；两不等实根，两相等实根，无实数根。 　　　配方法：步骤：化二次项系数为1→移常数项到右侧→两边加上一次项系数一半的平方→写成完全平方式，再开平方求解；配方法是推导求根公式的基础。 　　　公式法：求根公式；先化为一般式，算出判别式，判别式非负时代入公式。 　　　因式分解法：原理若，则或；步骤：移项使右边等于0，左边因式分解，降次得到一元一次方程求解；常用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 知识点3：根的判别式 　　　判别式定义：。 　　　判别式与根的对应关系 判别式取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 　　　注意：使用判别式前提必须是一元二次方程，即。 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 　　　当，，两根为、，则，。 　　　常见代数式变形： 　　　　；；。 　　　使用前提：二次项系数不为0，且方程有实数根，求出参数后要回代检验判别式。 知识点5：一元二次方程的实际应用 　　　解题六步骤：审、设、列、解、验、答；检验包含方程解检验+实际意义检验，舍去不符合实际的根。 　　　常见模型 应用类型 核心公式/等量关系 平均增长率（降低率） 基数，变化次， 销售利润问题 总利润=单件利润×销售量 几何面积问题 利用图形面积公式建立等式 传播、单循环问题 理清计数逻辑，避免重复计算 　　　几何动点：设运动时间，用含代数式表达线段长度，结合面积、勾股定理列方程。 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程概念辨析 1.核心知识点: 　　一元二次方程三要素；一般形式；二次项、一次项、常数项识别；方程根的定义。 2.解题方法技巧: 　　①判断是不是一元二次方程，先化为整式，看未知数个数、最高次数，重点确认二次项系数不为0。 ②已知根，直接代入方程等式成立，求参数；确定系数要带上前面正负符号。 【例题1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式题1-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的一个根为，则的值为__________． 【题型2】一元二次方程基础求解 1.核心知识点: 　　直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；四种解法适用条件。 2.解题方法技巧: 　　①优先观察结构，能因式分解优先因式分解；平方结构优先直接开平方法。 ②配方法牢记“二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方”；公式法先算判别式。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程 (1)（用因式分解法）； (2)（用适当的方法）． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·天津·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)． 【题型3】根的判别式基础应用 1.核心知识点: 　　判别式；由判别式判断根情况；已知根情况求简单参数。 2.解题方法技巧: 　　①先确认是一元二次方程，；再计算，对比三种情况。 ②参数求出后代入，验证二次项系数不为0。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式题3-2】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【培优高频题型】 【题型4】配方法求代数式最值 1.核心知识点: 　　完全平方公式；配方法；平方数非负性。 2.解题方法技巧: 　　①对二次多项式配方，化为形式。 ②利用平方大于等于0，判断最大值、最小值。 【例题4】.（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【题型5】根与系数关系代数式化简求值 1.核心知识点: 　　韦达定理；根的定义降次；代数式整体代换。 2.解题方法技巧: 　　①遇到根的高次幂，利用根满足原方程进行降次变形。 ②变形后代入两根之和、积，不直接解出根；结果需要检验判别式。 【例题5】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的两根为，，则__________，__________． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【题型6】传统文化情境方程应用 1.核心知识点: 　　阅读理解；从古代数学材料提取数量关系；建立一元二次方程。 2.解题方法技巧: 　　①翻译古文材料，剥离文字背景，找到等量关系。 ②设未知数，列出方程，不一定要解，重点完成数学建模。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【变式题6-1】.（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【压轴素养题型】 【题型7】销售利润类实际应用题 1.核心知识点: 　　利润相关基本关系式：单件利润 = 售价 − 进价；总利润 = 单件利润 × 销售数量。 2.解题方法技巧: 　　① 设未知数：一般设涨价或降价的金额为$x$元，方便表示变化后的单件利润与销售量。 　　② 列表梳理量：把原价、进价、原销量、变化后的单件利润、变化后的销量整理清楚，避免数量关系混淆。 　　③ 列方程：套用总利润公式建立一元二次方程。 　　④ 双检验：检验方程的解是否满足方程，同时检验解是否符合实际场景要求。 【例题7】.（2026九年级上·全国·专题练习）某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【变式题7-1】.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【变式题7-2】.（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【变式题7-3】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【题型8】几何面积类实际应用题 1.核心知识点: 　　矩形、正方形面积公式；一元二次方程求解；实际根的取舍。 2.解题方法技巧: 　　①根据图形平移、裁剪，用未知数表达图形长、宽。 ②解方程后，边长必须大于0，舍去不符合实际意义解。 【例题8】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【变式题8-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【题型9】换元法整体求解高次型方程 1.核心知识点: 　　换元降次思想；一元二次方程解法；整体思想。 2.解题方法技巧: 　　①识别重复整体，设置新元，把原方程简化为一元二次方程。 　　②解出新元，回代求原未知数，检验根。 【例题9】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式题9-2】.（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【变式题9-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【题型10】一元二次方程新定义探究 1.核心知识点: 　　一元二次方程判别式；韦达定理；阅读理解新定义；分类推理。 2.解题方法技巧: 　　①读懂“倍根”条件，转化两根倍数关系。 　　②结合韦达定理建立等式；检验二次项不为0，检验判别式。 【例题10】.（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 【变式题10-1】.（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 易错点 　　　忽略二次项系数不为0：题目说是一元二次方程，必须保证，做参数题经常漏掉该条件。 　　　判别式使用条件混淆：“方程有实数根”没有限定是二次方程，要考虑一次方程情形；韦达定理使用前，忘记检验。 　　　系数符号出错：化为一般形式确定、、，忽略各项前面负号，导致公式、判别式计算错误。 　　　实际应用题不检验：只解方程，不检验根是否符合现实意义，保留负数、超出范围的无效解。 　　　因式分解法随意约去含未知数整式，直接造成丢根；配方法忘记把二次项系数先化为1。 重点 　　　一元二次方程概念，熟练掌握四种解法，能根据方程结构选择最优解法。 　　　根的判别式判断根情况，已知根的情况求参数取值。 　　　根与系数关系，掌握常见代数式变形，整体代入求值。 　　　列一元二次方程解应用题：增长率、销售利润、几何面积，掌握审设列解验答完整步骤。 难点 　　　判别式与韦达定理综合求参数，多条件约束，容易遗漏限制条件。 　　　动点几何问题，用参数表示线段，结合面积、勾股定理建立方程，对建模能力要求高。 　　　新定义题型，读懂陌生规则，转化成熟悉方程知识进行推理探究。 　　　整数根、根的分布类综合问题，需要分类讨论，多条件联立，容易漏情况。 【对应练习题】 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 二、填空题 4．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 6．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 三、解答题 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 10．某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $