专项巩固训练卷(一) 特殊平行四边形的折叠问题&专项巩固训练卷(二) 特殊平行四边形的动态变化问题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

专项巩固训练卷（一） 学封 特殊平行四边形的折叠问题 。类型一菱形中的折叠问题 1.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠A=60°，E,F分别是AD,AB边上 一点，将菱形沿EF折叠，当点A落在CD的中点G处时，连接BG (1)求证：△FBG是直角三角形； (2)求BF的长， B 1题图 2.新考向实践操作】 第一步：如图①，在菱形纸片ABCD的边AD,AB上分别取点E,F, 连接EF,BD,且EF∥BD 第二步：将图①中的菱形纸片ABCD沿EF折叠，点A恰好落在对 角线BD上的点O处，得到图② 第三步：将图②展平，得到图③. 2题图① 2题图② 2题图③ 【解决问题】 (1)在图①中，填空：AE AF(请正确选择“>”“=”“<” 中的一个)； (2)在图③中，请你利用(1)中结论，求证：四边形AE0F是菱形； (3)在图③中，若∠ABC=120°，在不添加其他线段的情况下，图中 有」 个等边三角形 ●类型二矩形中的折叠问题 3.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E为AB边上一点，将△BEC 沿CE翻折，点B落在点F处.当△AEF为直角三角形时，求AE 的长 B 3题图 4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8,BC=10,折叠纸片，使点D落 在BC边上的点F处，AE为折痕.请回答下列问题： (1)AF= (2)试求线段DE的长度； (3)若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和PF,求BP+PF 的最小值. 4题图 九年级数学 北师版上册第5页 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·类型三正方形中的折叠问题 5.把正方形ABCD对折，得到折痕MW(如图①)，展开后把正方形 ABCD沿CE折叠，使点B落在MN上的点B'处，连接B'D(如图 ②).试求∠BCB'及∠ADB'的度数 M D 7 M B E B N B 5题图① 5题图② 6.如图，正方形ABCD的边AB=12,将正方形沿EF折叠，使DA落到 GN处，交CD于点M,交BC于点N,BN=5,连接AN. (1)求△AEN的面积； (2)试判断EF与AW的位置和数量关系，并说明理由. D Av.... JR 6题图 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶月 专项巩固训练卷（二） 特殊平行四边形的动态变化问题 ·类型一与菱形有关的动态变化问题 1.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm,∠DAB=60°，点P从点A出发， 以2cm/s的速度沿A→D→C运动，过点P作射线AB的垂线，交 射线AB于点Q,在点P的运动过程中，设运动时间为(s). (1)写出线段PD的长（用含t的代数式表示）； (2)当PQ平分菱形ABCD的面积时，求t的值. 1题图 2.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着A→B→C 的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N,连接BN. (1)如图①，当点M在AB边上运动时， (i)求证：△ABN≌△ADW; (iⅱ)若∠ABC=60°，∠ADM=20°，求证：MB=MN; (2)如图②，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x,求使 得△AND为等腰三角形的x的值， 2题图① 2题图② ·类型二与矩形有关的动态变化问题 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以 每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒 4cm的速度从点C出发，在C,B之间往返运动，两个动点同时出 发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），设运动 时间为t秒(t>0). (1)用含t的代数式表示线段的长度：PD= cm; (2)当0<t<2.5时，运动时间为」 秒时，以A,P,Q,B为顶 点的四边形是矩形； (3)当5<t<10时，以点P,D,Q,B为顶点的四边形可能是平行四 边形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由. 0 3题图 4.如图，在矩形ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米，点P从A出发 沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C出发沿CD边以2厘 米/秒的速度运动，如果点P,Q分别从A,C同时出发，当其中一点 到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒， (1)当t=2时，求P,Q两点之间的距离； (2)t为何值时，线段AQ与DP互相平分？ (3):为何值时，四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的？ ←一 Q 4题图 九年级数学 北师版上册第6页 ·类型三与正方形有关的动态变化问题 5.在正方形ABCD中，E是BC所在直线上一动点，AE与BD相交于 点M,AE与DC相交于点F,G是EF的中点，连接CG,CM. (1)如图①，当点E在BC边上时.求证：CG⊥CM; (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？ 请说明理由 M 5题图① 5题图②20.（1)证明：.AB∥CD,.∠OAB=∠DCA. AC为LDAB的平分线，.∠OAB=∠DAC, .∴.∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD=AB. AB∥CD,四边形ABCD是平行四边形 .AD=AB,.四边形ABCD是菱形 (2)解：.四边形ABCD是菱形， .OA=OC,BD⊥AC. .CE⊥AB,∴.OE=OA=OC BD=2..OB-BD-1. 在Rt△AOB中，AB=W5,OB=1, .0A=√AB2-0B=2,.0E=0A=2. 21.(1)证明：：AD∥BC,∴.∠ODE=∠OBF. .O为对角线BD的中点，∴.OD=OB. 在△DOE和△BOF中， r∠ODE=LOBF, OD=OB. L∠DOE=∠BOF, .△DOE≌△BOF(ASA). (2)解：四边形EBFD是菱形. 理由：：OD=OB,直线l经过点O且直线ILBD, .直线1是线段BD的垂直平分线， ∴.DE=BE,DF=BF .·△DOE兰△BOF,∴.DE=BF, ∴.DE=BE=DF=BF, ∴.四边形EBFD是菱形 22.解：(1)26 20号 2.AD=18,BC=26,BO=3t,DP=2t. .CQ=26-3t,AP=18-2t. 分两种情况： a.当四边形ABQP是平行四边形时，BQ=AP, 31=18-2,解得1= b.当四边形PQCD是平行四边形时，DP=CQ, ·21=26-36,解得1=26 综上所述，当t的值为或2时，线段PQ与梯形ABCD 5 的边构成平行四边形。 ③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形， 理由：在Rt△DEC中，DE=43,∠C=60°， .∠CDE=30°，∴.CD=2EC 由勾股定理，得EC2+DE2=4EC2, ∴.EC=4,CD=8,∴.AB=CD=8. 当：=8时，B0=31=4B0AB, ·.平行四边形ABQP不是菱形； 当1=时，Dp=21=号。 .DP≠CD,.平行四边形PQCD不是菱形 参考答案及解析 23.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形， .∴.∠BAD=90°，AB=AD 将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG, .∠GAF=90°，AG=AF, .∠GAF=∠DAB, ∴.∠GAD=∠BAF,△ABF≌△ADG. (2)解：BF+DH=FH.证明如下： 由(1)知△ABF≌△ADG, .∠G=∠AFB=90°，BF=DG ∠GAF=∠AFH=∠G=90°， ∴.四边形AFHG是矩形. .AG=AF,∴.矩形AFHG是正方形， .FH=GH=DG+DH=BF DH. (3)解：BP=√2CH.证明如下： 如答图，在BH上截取BX=DH,连接CX. ∠GHF=∠BCD=9O°，∠DEH=∠BEC, .∠CDH=∠CBX. CD=BC,DH=BX, H .∴.△CDH≌△CBX, .∴.CX=CH,∠BCX=∠DCH, .∠BCX+∠DCX=∠DCH+∠DCX, 23题答图 .LHCX=∠BCD=90°， .HX=√2CH. DH=HP,.'.BX HP .BH-PH=BH BX, .BP=HX,..BP =2CH. 专项巩固训练卷（一） 特殊平行四边形的折叠问题 1.（1)证明：如答图，连接BD. 四边形ABCD是菱形，∠A=60°， .AB∥CD,△BCD是等边三角形. G是CD的中点，BG⊥CD,即∠CGB=90°， ∴.∠FBG=∠CGB=90°， 即△FBG是直角三角形. 1题答图 (2)解：由(1)可知△BCD是等边三角形，G是CD的中点. .CD=AB=2,.CG=1,CB=2. 在Rt△GBC中，由勾股定理，得 BG2=BC2-CG2=22-12=3. ,△AEF翻折至△GEF,∴.AF=GF, 设BF=x,则AF=GF=2-x. 在Rt△FBG中，GF2=BF2+BG, 即(2-x)2=x2+3, 解得x=子，即BF=子 。3. 全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 2.（1)解：= (2)证明：由折叠的性质可知△EAF≌△EOF, .AF=OF,AE =OE. 又由(1)可知AE=AF, .AE=AF=OF=OE, .四边形AEOF是菱形. (3)解：6 3.解：如答图①，当∠AFE=90时， ,四边形ABCD是矩形，AB=8,AD=6, ∴.∠ABC=∠CFE=90°，AC=√/62+82=10，BC=AD=6. .∠AFE=90°， .∠AFE+∠CFE=180°， A,F,C三点共线. 根据折叠的性质，得CF=BC=6,EF=EB, .AF=AC-CF=4. 设AE=x,则EF=EB=8-x. 在Rt△AEF中，根据勾股定理，得x2=(8-x)2+42, 解得x=5,故AE=5; 3题答图① 3题答图② 如答图②，当LAEF=90时， 四边形ABCD是矩形，AB=8,AD=6, ∴.∠ABC=∠BCF=90°，BC=AD=6. .·∠AEF=90°，.∠FEB=90°， .四边形BCFE是矩形 根据折叠的性质，得EF=EB, ∴.四边形BCFE是正方形， ∴.CF=BC=EF=EB=6, ∴.AE=AB-BE=8-6=2; 当LFAE=90时，：CD>CF, ∴.点F不可能落到AD上， 故LFAE=90°不成立. 综上，AE的长为2或5. 4.解：(1)10 (2)在Rt△ABF中，BF=√AF2-AB=√102-82=6， .·.FC=BC-BF=10-6=4. 由折叠的性质知DE=EF， 设DE=EF=x,则EC=DC-DE=8-x, 在Rt△EFC中，FC2+EC2=FE2, 即42+(8-x)2=x2,解得x=5, D .DE=5. (3)如答图，连接PD,BD 由折叠的性质知D,F关于AE对称， .PF=PD,则BP+PF=BP+PD≥BD 4题答图 .BP+PF的最小值为BD的长 在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√102+82=2√4I, .BP+PF的最小值为241. ·4. 5.解：连接BB',如答图. 由折叠可得BC=B'C,BB'=BC, M .'BC=BB'=B'C, ∴△B'BC是等边三角形， .∠BCB'=60, ∴.∠B'CD=30. .·四边形ABCD为正方形， B ∴.BC=DC,∴.DC=B'C, 5题答图 ∴.∠CB'D=∠CDB', ∠CB'D=∠CDB=2×(180°-30)=75， ∴.∠ADB′=90°-75°=15° 6.解：(1)四边形ABCD是正方形，.∠B=90° 由折叠的性质，得NE=AE,设NE=AE=x, 则BE=AB-AE=12-x. 在Rt△EBN中，由勾股定理，得52+(12-x)2=x2, 解得=架A证=9， 六△ABN的面积=方B·BN=之×8 =号x1,6e9x5=-845 48 (2)EF⊥AW,EF=AN.理由如下： D: 作FH⊥AB于点H,如答图所示， 则FH=AD=AB,∠EFH+∠FEH=90°. : 由折叠的性质，得EF⊥AN, A宜E ∴.∠NAB+∠FEH=90°， 6题答图 .∴.∠EFH=∠NAB. 在△EFH和△NAB中， LEFH=∠NAB, FH=AB, (∠FHE=∠B=90°， ∴.△EFH≌△NAB(ASA),∴.EF=AN. 专项巩固训练卷（二） 特殊平行四边形的动态变化问题 1.解：(1).：四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=DC=4cm, 当0≤t≤2时，PD=(4-2t)cm; 当2<t≤4时，PD=(2t-4)cm. (2)如答图，连接BD,设BD交PQ于 点O,过点D作DM⊥AB于点M, 则四边形DPQM为矩形，∴.DP=MQ .AD=AB=4cm,∠DAB=60°， ∠ADM=30AM=2AD=2m 1题答图 当PQ平分菱形ABCD的面积时，PQ经过BD的中点， .OB=OD. .·四边形ABCD是菱形，∴.DC∥AB, ∴.∠PDO=∠OBQ,∠DPO=∠BQ0, ∴.△DPO≌△BQ0, .DP=BQ=(2t-4)cm, 5 .2+2t-4+2t-4=4,解得t=2, .t的值为2 2.（1)(i)证明：如答图①.四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠1=∠2. 又.AN=AN,.△ABN≌△ADN (ⅱ)证明：如答图①，连接DB,易得∠ABN=∠ADM=20° ,·四边形ABCD是菱形， .AC垂直平分BD,∴.NB=ND ,·∠ABC=60°，∴.∠ABD=∠ADB=30°. .'∠ADM=20°，∠BDN=∠DBN=10°， .∠BNM=∠MBN=20°，∴.MB=MN. M B D 2题答图① 2题答图② (2)解：∠ABC=90°， .菱形ABCD是正方形，.∠CAD=45. 分三种情况： ①若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45° 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； ②若ND=DA,则∠DNA=∠DAN=45° 此时，点M恰好与点C重合，得x=12; ③若AN=AD=6,如答图②，则∠1=∠2 AD∥BC,∴.∠1=∠4. 又：∠2=∠3，.∠3=∠4，∴.CM=CN. .在△ACD中，AD=DC=6, ∴AC=62,∴.CM=CN=AC-AW=62-6, 故x=12-CM=12-(6√2-6)=18-62. 综上所述，当x=6或12或18-62时，△AND为等腰三 角形 3.解：(1)(10-t) (2)2 (3)以点P,D,Q,B为顶点的四边形有可能是平行四边形 PD∥BQ, .当PD=BQ时，四边形BPDQ是平行四边形. 当5<t≤7.5时，点Q从点C向点B运动， 由PD=B0,得10-t=10×3-4,解得1=)0； 当7.5<t<10时，点Q从点B向点C运动， 由PD=BQ,得10-t=4t-10×3,解得t=8, 综上，的值为号或8 4.解：(1)如答图所示，连接PQ,过点P作PE⊥DQ于点E. 0← - A P B 4题答图 .·点P从A出发沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从 C出发沿CD边以2厘米/秒的速度运动， .∴.当t=2时，QC=4cm,AP=8cm, .'DO=24-OC=20 cm,.'.EO =12 cm, 参考答案及解析 .PQ=√QE2+PE=√122+102=2√6I(cm), 即当t=2时，P,Q两点之间的距离为2√6①cm. (2)由题意知AP=4tcm,DQ=(24-2t)cm, 当线段AQ与DP互相平分时，四边形APQD为矩形，则AP =DQ,即4t=24-2t,解得t=4,故t为4时，线段AQ与DP 互相平分. (3)Sanw=2(4AP+D0)·AD=2(4+24-2)×10 =(10t+120)cm2,S矩形cD=10×24=240(cm2), 5 10+120=8×240,解得t=3, 为3时，四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的g 5.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠ABM=∠CBM. 在△ABM和△CBM中， rAB=CB, ∠ABM=∠CBM,.△ABM≌△CBM(SAS), LBM=BM, .∠BAM=∠BCM. 又.∠ECF=90°，G是EF的中点， cC=2EF=GF,∠GCP=∠GfC 又：AB∥DF,.∠BAM=∠GFC, .∠BCM=∠GCF, .∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°， GC⊥CM. (2)解：成立.理由如下： 四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠ABM=∠CBM. 在△ABM和△CBM中， AB=CB, ∠ABM=∠CBM,∴.△ABM≌△CBM(SAS), LBM=BM, .∴.∠BAM=∠BCM. 又：∠ECF=90°，G是EF的中点， .GC=GF,∴.∠GCF=∠GFC. 又：AB∥DC,.∠BAM=∠GFC,∴.∠BCM=∠CCF, ∴.∠GCF+∠MCF=∠BCM+∠MCF=90°， .∴.GC⊥CM. 专项巩固训练卷（三） 正方形中常见的几何模型 1.（1)证明：如答图①所示，过点G作GH⊥AD,垂足为H. ,·四边形ABCD为正方形， ∴.∠HAB=∠B=90°，AB=AD .·GH⊥AD,∴.∠AHG=90°， ∴.∠HAB=∠B=∠AHG=90°， ∴.四边形ABGH为矩形， ∴.GH=AB,∴.GH=AD. 在△AFM和△ADE中，∠FAM=∠DAE,∠AMF=∠D=90°， ∴.∠HFG=∠AED.在△GHF和△ADE中， ·5