第5章等可能条件下的概率第1节等可能性讲义数学臻选·2026-2027学年暑假苏科版九年级数学上预习手册19

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册19 《第5章等可能条件下的概率第1节等可能性》预习讲义 一．预习目标 ( 1.回顾随机事件、必然事件、不可能事件概念，理解等可能性的定义，能根据试验的均衡性、对称性判断结果是否具备等可能性 。 2.会完整列举简单随机试验全部基本结果，区分 “ 等可能试验 ” 与 “ 非等可能试验 ” ，能举例说明两类试验。 3.掌握古典概型两大前提条件（结果有限、每个结果机会均等），为后续概率计算公式打下基础。 4.结合抛硬币、摸球、抽签、转盘等生活模型识图分析，能辨析题目中等可能性陷阱，体会公平游戏与等可能性的关联。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等可能性的概念，判断随机试验结果是否等可能； 2.不重不漏列举一次试验所有基本结果； 3.识别古典概型的两个必备条件。 （二）难点 1.区分 “ 结果数量有限但不等可能 ” 的试验（如1白2红摸球）； 2.区分 “ 一次试验多种表述 ” ，准确拆分基本事件； 3.结合几何转盘图形，判断面积不均等转盘不具备等可能性。 ) 三．自主探究 【情境回顾】 1、事件的整体分类 在一定条件下进行试验，所有事件分为三大类：必然事件、不可能事件、随机事件。 2、三类事件 （1）必然事件：在给定条件下，一定会发生的事件。发生可能性：概率 P=1 （2）不可能事件：在给定条件下，一定不会发生的事件。发生可能性：概率 P=0 （3）随机事件（偶然事件）：在给定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。发生可能性：0<P<1 3、易错辨析 （1）必然事件、不可能事件都属于确定性事件，结果完全确定； （2） 随机事件结果无法提前确定，是概率章节主要研究对象； （3）注意前提“同一条件”：条件改变，事件类型会变化。 【活动】 一只不透明的袋子中装有10个小球，分别标有0、1、2、3……9这个10个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后从袋中任意取出一个球。 问题1：取出1号球与取出9号球的可能性一样吗？ 问题2：每次试验有几个结果出现？有无第二个结果出现？ 问题3：会出现哪些可能的结果？这些结果出现的可能性一样吗？ （一）等可能性 1、定义 设一个随机试验满足两点：（1）试验所有可能出现的基本结果总数有限；（2）每一个基本结果出现的机会完全均等；我们就称这些基本结果具有等可能性，这个试验叫做等可能试验（古典概型试验）。 一次试验中不能再拆分的最小结果，是判断等可能性的最小单位。 例：袋子1白2红，3个球是3个基本结果（白、红1、红2），而非“白球、红球”两类。 2、等可能试验两大必备条件（缺一不可） （1）有限性：所有基本结果数量能数清，不是无限多个； （2）均等性：试验器具对称、均匀，每个基本结果出现概率一样。 3、常见标准等可能试验 （1）抛掷质地均匀硬币：2个等可能结果（正面、反面） （2）抛掷均匀正方体骰子：6个等可能结果（点数1-6） （3）相同标号抽签、不放回摸完全相同小球 （4）均匀等分的圆盘转盘（每块扇形面积相等） 4、易错提醒 看到结果数量有限，就判定等可能，纠正：有限≠等可能，必须保证每个最小独立试验单元机会完全均等。 例：掷图钉只有“钉尖朝上、钉尖朝下”2种有限结果，但图钉重心偏移，两种结果概率不同，属于非等可能试验。 （二）非等可能性（易错高频） 1、定义 若一个随机试验满足基本结果机会不全部均等，则称该试验具有非等可能性。核心判定：不满足等可能性两大条件之一（均等性不成立）。 2、产生非等可能性的两类情况 （1）情况1：物体数量不同（摸球高频题型） 例：袋子内1个白球、2个红球，大小材质相同。最小基本结果：白、红₁、红₂（3个等可能个体）若合并为两类结果：“摸到白球”“摸到红球”，两类发生机会不同，属于非等可能结果。摸到白球概率，摸到红球概率。 （2）情况2：试验道具不均匀、不对称 ①分区面积不等的转盘：大区域停留概率更大； ②质地不均匀的几何体（长方体橡皮、图钉）：不同面落地朝上概率不同； ③长短/重量不同的抽签纸条，抽取概率不等。 （三）等可能性 vs 非等可能性对比 类型 核心特征 计算概率前提 等可能性 所有最小基本结果机会均等 可直接用 非等可能性 合并分类后的结果、不均匀道具结果机会不均 不能直接用古典概型公式，需拆分到最小等可能个体计算 （四）快速判断步骤 1.拆分到不可再分的最小基本单元； 2.判断单元是否均匀对称、数量一致； 3.单元均等：等可能性； 4.合并分类/道具不均：非等可能性。 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）下列试验中，结果具备等可能性的是（ ） A. 袋子1白3红，随机摸球，区分“白球、红球”两类结果 B. 抛掷图钉，观察钉尖朝上、朝下 C. 均匀正方体骰子，抛掷观察朝上点数 D. 不等分三格转盘，指针停留区域 例2.（2024苏州吴江区期末）袋中有标号1、2、3三个完全相同小球，随机取1个，基本结果个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 无法确定 例3.（2026南通通州区一模）下列事件的试验不满足均等性条件的是（ ） A. 均匀硬币抛掷 B. 四张相同卡片抽签 C. 1黑5白小球，只分“黑球、白球”两类 D. 平均四等分圆形转盘 例4.（2025泰州姜堰区期末）等可能试验必须同时满足的两个条件是（ ） ①结果个数有限 ②每个基本结果机会均等 ③试验可以重复无数次 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 例5.（2025淮安淮安区期末）抛掷一枚均匀硬币，所有等可能基本结果共有____个。 例6.（2026徐州云龙区一模）袋子装有0~9十枚相同标号小球，随机摸一个，摸到5号和摸到9号的可能性大小____。 例7.（2024扬州广陵区期末）1白2红三个相同小球，仅按颜色分为两类结果，该分类结果具备等可能性吗？答：____。 例8.（2025镇江丹徒区期末）平均分成5份的圆形转盘，指针停在任意一扇形区域的可能性____。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明袋中有3个完全相同小球，标号1、2、3，搅匀抽取1球。 (1) 写出本次试验全部基本结果； (2) 判断该试验是否为等可能试验，并说明理由。 例10.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）下列属于等可能试验的是（ ） A. 投长方体橡皮，观察落地面 B. 5个红球1个白球，只区分红、白两类 C. 6张相同数字卡片随机抽一张 D. 抽奖大转盘（一二三等奖面积不同） 2.（2024无锡锡山区期末）掷一枚均匀骰子，点数大于4的等可能基本结果数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3.（2026泰州海陵区一模）一个试验只有2种结果，就一定是等可能试验，该说法（ ） A. 正确 B. 错误 C. 无法判断 4.（2025南通海门区期末）袋内2个3号球、1个5号球，取球只看号码，“取3号、取5号”两个结果（ ） A. 等可能 B. 非等可能 C. 无法判定 5.（2024常州武进区期末）下列道具试验，均等性最强的是（ ） A. 质地均匀正方体骰子 B. 长短不一纸条 C. 偏心转盘 D. 不规则石块 6.（2026扬州邗江区一模）从1、2、3、4四张相同卡片抽一张，抽到偶数和奇数的基本结果个数分别是（ ） A. 2、2 B. 1、3 C. 3、1 D. 3、3 7.（2025淮安清江浦区期末）判断等可能试验的核心条件是（ ） A. 只有有限个结果 B. 每个基本结果出现机会相等 C. 有限个结果且每个机会均等 D. 可以重复多次试验 8.（2024镇江京口区期末）抛掷两枚均匀硬币，所有等可能基本结果数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.5 （二）填空题 9.（2025盐城建湖区期末）均分6格转盘，指针停任意一格可能性____。 10.（2026苏州相城区一模）1白4红小球，按颜色分两类，两类结果等可能性为____（填“具备/不具备”）。 11.（2024泰州兴化期末）均匀骰子抛掷，点数为奇数的等可能结果有____个。 12.（2025宿迁沭阳县期末）3张完全相同纸条标A、B、C，随机抽一张，总等可能结果数为____。 13.（2026无锡惠山区一模）抛掷不均匀长方体橡皮，落地3种不同面朝上，3种结果等可能性____。 14.（2024连云港东海县期末）0~5六个相同标号小球，摸到2号与摸到5号可能性____。 15.（2025徐州铜山区期末）等可能试验的基本结果总数必须是____（填“有限/无限”）。 16.（2024常州天宁区期末）平均2等分圆形转盘，指针停左右两区域的机会____。 （三）解答题 17．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 18．一只不透明的袋中装有红球和黄球，全班同学都按序在袋中任意摸出1只球再放回袋内（摸球之前要搅匀），最后发现同学们摸到红球的频率比黄球大．这可能是什么原因？ 19.班里有18个男生,15个女生(含小丽),从中任意抽取a人打扫卫生. (1)女生被抽到是必然事件,求a的最小值; (2)女生小丽被抽到是随机事件,求a的取值范围. 20.（2025盐城东台期末）袋子装有4个完全相同小球，标号1、2、3、4，搅匀单次取球。 (1) 列出全部等可能基本结果； (2) 判断“取出奇数号、取出偶数号”这两个分类结果是否等可能，说明理由。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）下列试验不属于等可能试验的是（ ） A. 1-10十张相同卡片抽签 B. 六面均匀骰子 C. 1白5红，只区分黑白两类球 D. 对半均分转盘 2.（2026盐城射阳一模）抛掷两枚均匀硬币，“一正一反”包含几个等可能基本结果（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 3．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 4．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 5.（2026扬州宝应一模）均分8格转盘，指针停数字3和数字7的可能性（ ） A. 3更大 B. 7更大 C. 完全相等 D.无法判断 6.（2025连云港灌云期末）下列生活场景为等可能试验的是（ ） A. 商场抽奖不等分转盘 B. 抓阄分座位（纸条完全相同） C. 投篮命中与否 D. 下雨或不下雨 7．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（　　) A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 8．某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则说法正确的是（　　） A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 9．下列各选项的事件中，发生的可能性大小相等的是（　　） A．小明去某个路口，碰到红灯、黄灯和绿灯 B．任意抛掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下” C．小亮在沿着Rt△ABC三边行走，他出现在AB，AC与BC边上 D．小红任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数” 10．袋中有白球3个，红球若干个，他们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．4个或4个以上 （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）均匀骰子点数小于3的等可能结果有____个。 12.（2026盐城滨海一模）不等分三格转盘，指针停各区域可能性____。 13.（2024无锡宜兴期末）5张相同卡片标a、b、c、d、e，抽一张总等可能结果数为____。 14.（2025泰州泰兴期末）2白3红小球，按颜色分两类，等可能性为____（具备/不具备）。 15.（2026扬州仪征一模）抛掷均匀硬币，正反两面出现的机会____。 16.（2024镇江句容期末）等可能试验的两个条件是有限性和____。 17.（2025连云港灌南期末）0-4五个相同小球，摸到0号和4号可能性____。 18.（2026宿迁泗阳一模）抛掷图钉，钉尖朝上、朝下两种结果的等可能性____。 19.（2025徐州丰县期末）袋中1个6号、1个9号相同小球，取球看号码，两类结果等可能性____。 20．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为　 　． （三）解答题 21．一黑色口袋中有4只红球,2只白球,1只黄球,这些球除了颜色外都相同, 小明认为袋中共有三种颜色不同的球,所以认为摸到红球、 白球或者黄球的可能性是相同的,你认为呢? 22．任意抛掷一枚骰子两次，骰子停止转动后，计算朝上的点数的和． （1）和最小的是多少，和最大的是多少？ （2）下列事件：①点数的和为7；②点数的和为1；③点数的和为15．哪些是不可能性事件？哪些是不确定事件？ （3）点数的和为7与点数的和为2的可能性谁大？请说明理由． 23．如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成6个扇形），每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是　 　，转出的数字是7是　 　；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字大于7的概率是　 　． （3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是　 　． 24．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 25.（2025苏州吴中期末）不透明袋子装有5个完全相同小球，标号0、1、2、3、4，单次随机取1球。 (1) 写出所有等可能基本结果； (2) 写出“抽到偶数号”包含的基本结果； (3) 判断“奇数号、偶数号”两类分类结果是否等可能，说明理由。 26.如图，圆形转盘被均匀分成8个全等扇形，分别标注数字1、2、3、4、5、6、7、8，转动转盘，指针随机停在某一扇形内（指针落在分割线上重新转动）。 (1) 本次转动转盘试验的全部基本结果有哪些？该试验是否具备等可能性？说明理由； (2) 转动一次转盘，指针停在奇数区域与停在偶数区域，这两类结果是否等可能？写出推导过程； (3) 若将转盘修改为3块面积不等的扇形，分别标注数字1、2、3，修改后的转盘试验还具备等可能性吗？请说明原因。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册19 《第5章等可能条件下的概率第1节等可能性》预习讲义 一．预习目标 ( 1.回顾随机事件、必然事件、不可能事件概念，理解等可能性的定义，能根据试验的均衡性、对称性判断结果是否具备等可能性 。 2.会完整列举简单随机试验全部基本结果，区分 “ 等可能试验 ” 与 “ 非等可能试验 ” ，能举例说明两类试验。 3.掌握古典概型两大前提条件（结果有限、每个结果机会均等），为后续概率计算公式打下基础。 4.结合抛硬币、摸球、抽签、转盘等生活模型识图分析，能辨析题目中等可能性陷阱，体会公平游戏与等可能性的关联。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等可能性的概念，判断随机试验结果是否等可能； 2.不重不漏列举一次试验所有基本结果； 3.识别古典概型的两个必备条件。 （二）难点 1.区分 “ 结果数量有限但不等可能 ” 的试验（如1白2红摸球）； 2.区分 “ 一次试验多种表述 ” ，准确拆分基本事件； 3.结合几何转盘图形，判断面积不均等转盘不具备等可能性。 ) 三．自主探究 【情境回顾】 1、事件的整体分类 在一定条件下进行试验，所有事件分为三大类：必然事件、不可能事件、随机事件。 2、三类事件 （1）必然事件：在给定条件下，一定会发生的事件。发生可能性：概率 P=1 （2）不可能事件：在给定条件下，一定不会发生的事件。发生可能性：概率 P=0 （3）随机事件（偶然事件）：在给定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。发生可能性：0<P<1 3、易错辨析 （1）必然事件、不可能事件都属于确定性事件，结果完全确定； （2） 随机事件结果无法提前确定，是概率章节主要研究对象； （3）注意前提“同一条件”：条件改变，事件类型会变化。 【活动】 一只不透明的袋子中装有10个小球，分别标有0、1、2、3……9这个10个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后从袋中任意取出一个球。 问题1：取出1号球与取出9号球的可能性一样吗？ 答：因为10个小球除号码外完全相同，搅匀后，摸到每一个球的机会都相等。所以取出1号球与取出9号球的可能性一样。 问题2：每次试验有几个结果出现？有无第二个结果出现？ 答：每次试验只能取出1个球，因此每次只有1个结果出现，不会同时出现第二个结果。 问题3：会出现哪些可能的结果？这些结果出现的可能性一样吗？ 答：（1）可能出现的结果：取出标有0号、1号、2号、3号、4号、5号、6号、7号、8号、9号的球。（2） 因为小球完全相同，搅匀后每个球被摸到的机会均等，所以这些结果出现的可能性一样。 （一）等可能性 1、定义 设一个随机试验满足两点：（1）试验所有可能出现的基本结果总数有限；（2）每一个基本结果出现的机会完全均等；我们就称这些基本结果具有等可能性，这个试验叫做等可能试验（古典概型试验）。 一次试验中不能再拆分的最小结果，是判断等可能性的最小单位。 例：袋子1白2红，3个球是3个基本结果（白、红1、红2），而非“白球、红球”两类。 2、等可能试验两大必备条件（缺一不可） （1）有限性：所有基本结果数量能数清，不是无限多个； （2）均等性：试验器具对称、均匀，每个基本结果出现概率一样。 3、常见标准等可能试验 （1）抛掷质地均匀硬币：2个等可能结果（正面、反面） （2）抛掷均匀正方体骰子：6个等可能结果（点数1-6） （3）相同标号抽签、不放回摸完全相同小球 （4）均匀等分的圆盘转盘（每块扇形面积相等） 4、易错提醒 看到结果数量有限，就判定等可能，纠正：有限≠等可能，必须保证每个最小独立试验单元机会完全均等。 例：掷图钉只有“钉尖朝上、钉尖朝下”2种有限结果，但图钉重心偏移，两种结果概率不同，属于非等可能试验。 （二）非等可能性（易错高频） 1、定义 若一个随机试验满足基本结果机会不全部均等，则称该试验具有非等可能性。核心判定：不满足等可能性两大条件之一（均等性不成立）。 2、产生非等可能性的两类情况 （1）情况1：物体数量不同（摸球高频题型） 例：袋子内1个白球、2个红球，大小材质相同。最小基本结果：白、红₁、红₂（3个等可能个体）若合并为两类结果：“摸到白球”“摸到红球”，两类发生机会不同，属于非等可能结果。摸到白球概率，摸到红球概率。 （2）情况2：试验道具不均匀、不对称 ①分区面积不等的转盘：大区域停留概率更大； ②质地不均匀的几何体（长方体橡皮、图钉）：不同面落地朝上概率不同； ③长短/重量不同的抽签纸条，抽取概率不等。 （三）等可能性 vs 非等可能性对比 类型 核心特征 计算概率前提 等可能性 所有最小基本结果机会均等 可直接用 非等可能性 合并分类后的结果、不均匀道具结果机会不均 不能直接用古典概型公式，需拆分到最小等可能个体计算 （四）快速判断步骤 1.拆分到不可再分的最小基本单元； 2.判断单元是否均匀对称、数量一致； 3.单元均等：等可能性； 4.合并分类/道具不均：非等可能性。 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）下列试验中，结果具备等可能性的是（ ） A. 袋子1白3红，随机摸球，区分“白球、红球”两类结果 B. 抛掷图钉，观察钉尖朝上、朝下 C. 均匀正方体骰子，抛掷观察朝上点数 D. 不等分三格转盘，指针停留区域 【答案】C 【解析】A红球数量多，两类结果不等可能；B图钉重心不均，两种结果概率不同；C骰子均匀，6个点数机会均等，满足等可能性；D转盘分区面积不同，非等可能。 例2.（2024苏州吴江区期末）袋中有标号1、2、3三个完全相同小球，随机取1个，基本结果个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 无法确定 【答案】B 【解析】最小不可拆分基本结果：取1、取2、取3，共3个，器具均匀，具备等可能性。 例3.（2026南通通州区一模）下列事件的试验不满足均等性条件的是（ ） A. 均匀硬币抛掷 B. 四张相同卡片抽签 C. 1黑5白小球，只分“黑球、白球”两类 D. 平均四等分圆形转盘 【答案】C 【解析】白球数量远多于黑球，两类分类结果发生机会不相等，不满足均等性，属于非等可能。 例4.（2025泰州姜堰区期末）等可能试验必须同时满足的两个条件是（ ） ①结果个数有限 ②每个基本结果机会均等 ③试验可以重复无数次 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】等可能试验两大核心条件：有限性、均等性，与能否无限重复无关。 例5.（2025淮安淮安区期末）抛掷一枚均匀硬币，所有等可能基本结果共有____个。 【答案】2 【解析】均匀硬币落地结果为正面朝上、反面朝上，2个等可能基本结果。 例6.（2026徐州云龙区一模）袋子装有0~9十枚相同标号小球，随机摸一个，摸到5号和摸到9号的可能性大小____。 【答案】相等 【解析】小球除标号完全一致，每个球被抽取概率相同，可能性相等。 例7.（2024扬州广陵区期末）1白2红三个相同小球，仅按颜色分为两类结果，该分类结果具备等可能性吗？答：____。 【答案】不具备 【解析】红球数量更多，摸到红球概率大于白球，两类结果机会不等。 例8.（2025镇江丹徒区期末）平均分成5份的圆形转盘，指针停在任意一扇形区域的可能性____。 【答案】相同 【解析】扇形面积完全相等，器具对称均匀，所有区域结果等可能。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明袋中有3个完全相同小球，标号1、2、3，搅匀抽取1球。 (1) 写出本次试验全部基本结果； (2) 判断该试验是否为等可能试验，并说明理由。 【答案】(1) 抽到1号球、抽到2号球、抽到3号球；(2) 是等可能试验，小球材质、大小完全相同，每个球被摸到机会均等，且基本结果总数有限。 【解析】判断等可能性两步：拆分最小基本结果、验证有限性与均等性；单个小球为独立等可能单元。 例10.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 解：(1) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴④指针不指向黄色的可能性大小为， 则④事件发生的可能性大小是； (2) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴②指针指向绿色的概率为，则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； (3) ∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的概率为，③指针指向黄色的概率为，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④ . 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）下列属于等可能试验的是（ ） A. 投长方体橡皮，观察落地面 B. 5个红球1个白球，只区分红、白两类 C. 6张相同数字卡片随机抽一张 D. 抽奖大转盘（一二三等奖面积不同） 【答案】C 【解析】卡片完全一致，抽取每个卡片概率相等，满足有限、均等两大条件。 2.（2024无锡锡山区期末）掷一枚均匀骰子，点数大于4的等可能基本结果数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】点数大于4为5、6，共2个等可能基本结果。 3.（2026泰州海陵区一模）一个试验只有2种结果，就一定是等可能试验，该说法（ ） A. 正确 B. 错误 C. 无法判断 【答案】B 【解析】结果有限只是条件之一，还需要每个结果机会均等，如图钉2种落地结果但不等可能。 4.（2025南通海门区期末）袋内2个3号球、1个5号球，取球只看号码，“取3号、取5号”两个结果（ ） A. 等可能 B. 非等可能 C. 无法判定 【答案】B 【解析】3号小球数量更多，取出3号概率更大，分类结果机会不均等。 5.（2024常州武进区期末）下列道具试验，均等性最强的是（ ） A. 质地均匀正方体骰子 B. 长短不一纸条 C. 偏心转盘 D. 不规则石块 【答案】A 【解析】骰子各面完全对称均匀，是标准等可能试验道具。 6.（2026扬州邗江区一模）从1、2、3、4四张相同卡片抽一张，抽到偶数和奇数的基本结果个数分别是（ ） A. 2、2 B. 1、3 C. 3、1 D. 3、3 【答案】A 【解析】偶数：2、4；奇数：1、3，各2个等可能基本结果。 7.（2025淮安清江浦区期末）判断等可能试验的核心条件是（ ） A. 只有有限个结果 B. 每个基本结果出现机会相等 C. 有限个结果且每个机会均等 D. 可以重复多次试验 【答案】C 【解析】等可能性两大必备条件：有限性、均等性，缺一不可。 8.（2024镇江京口区期末）抛掷两枚均匀硬币，所有等可能基本结果数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.5 【答案】C 【解析】全部基本结果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)，共4个等可能结果。 （二）填空题 9.（2025盐城建湖区期末）均分6格转盘，指针停任意一格可能性____。 【答案】相等 【解析】扇形全等，面积相同，所有区域等可能。 10.（2026苏州相城区一模）1白4红小球，按颜色分两类，两类结果等可能性为____（填“具备/不具备”）。 【答案】不具备 【解析】红球数量多，摸到红球概率更高，分类结果不均等。 11.（2024泰州兴化期末）均匀骰子抛掷，点数为奇数的等可能结果有____个。 【答案】3 【解析】奇数点数1、3、5，共3个。 12.（2025宿迁沭阳县期末）3张完全相同纸条标A、B、C，随机抽一张，总等可能结果数为____。 【答案】3 【解析】每张纸条为独立等可能单元，共3个结果。 13.（2026无锡惠山区一模）抛掷不均匀长方体橡皮，落地3种不同面朝上，3种结果等可能性____。 【答案】不相同 【解析】橡皮各面重量、面积不同，落地概率不同。 14.（2024连云港东海县期末）0~5六个相同标号小球，摸到2号与摸到5号可能性____。 【答案】一样 【解析】小球无差别，每个号码抽取概率一致。 15.（2025徐州铜山区期末）等可能试验的基本结果总数必须是____（填“有限/无限”）。 【答案】有限 【解析】有限性是等可能试验必备条件。 16.（2024常州天宁区期末）平均2等分圆形转盘，指针停左右两区域的机会____。 【答案】均等 【解析】两半圆面积完全相等，满足均等条件。 （三）解答题 17．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 解：（1）盒中只有100个黄球，摸出1个红球；（2）盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 18．一只不透明的袋中装有红球和黄球，全班同学都按序在袋中任意摸出1只球再放回袋内（摸球之前要搅匀），最后发现同学们摸到红球的频率比黄球大．这可能是什么原因？ 解：∵摸到红球的频率比黄球大， ∴可能是这个袋中红球的数量大于黄球的数量； 19.(8分)班里有18个男生,15个女生(含小丽),从中任意抽取a人打扫卫生. (1)女生被抽到是必然事件,求a的最小值; (2)女生小丽被抽到是随机事件,求a的取值范围. 解:(1)∵有18个男生,15个女生,女生被抽到是必然事件,∴a≥19,即a的最小值为19. (2)∵有18个男生,15个女生,女生小丽被抽到是随机事件,∴1≤a<33. 20.（2025盐城东台期末）袋子装有4个完全相同小球，标号1、2、3、4，搅匀单次取球。 (1) 列出全部等可能基本结果； (2) 判断“取出奇数号、取出偶数号”这两个分类结果是否等可能，说明理由。 【答案】(1) 取1、取2、取3、取4； (2) 等可能；奇数1、3共2个，偶数2、4共2个，两类包含等数量基本结果，机会均等。 【解析】分类结果是否等可能，要看两类包含的最小等可能单元数量是否相等。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）下列试验不属于等可能试验的是（ ） A. 1-10十张相同卡片抽签 B. 六面均匀骰子 C. 1白5红，只区分黑白两类球 D. 对半均分转盘 【答案】C 【解析】白球、红球数量差距大，两类结果发生概率不同，无等可能性。 2. （2026盐城射阳一模）抛掷两枚均匀硬币，“一正一反”包含几个等可能基本结果（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 【答案】B 【解析】对应(正,反)、(反,正)两个独立等可能基本结果。 3．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态，∴每纲有种可能，∴病症的种类共有：（种），即共有种病症．故选：B． 4．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【解析】设无人机三种颜色为A，B，C，由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，∴可画树状图如下， ∴共有12种．故选：A． 5.（2026扬州宝应一模）均分8格转盘，指针停数字3和数字7的可能性（ ） A. 3更大 B. 7更大 C. 完全相等 D.无法判断 【答案】C 【解析】转盘所有扇形全等，每个数字对应区域机会均等。 6.（2025连云港灌云期末）下列生活场景为等可能试验的是（） A. 商场抽奖不等分转盘 B. 抓阄分座位（纸条完全相同） C. 投篮命中与否 D. 下雨或不下雨 【答案】B 【解析】抓阄纸条无差别，每个纸条抽取概率相等，满足等可能条件。 7．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（　　) A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【解析】∵数字2、3、4所对应圆心角度数分别为50°、125°、65°，∴数字1所对应圆心角=360°-50°-125°-65°=120°，∴数字3所在的扇形面积最大，∴指针落在数字3所示区域的可能性最大，故答案为：C 8．某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则说法正确的是（　　） A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 【答案】B 【解析】∵某班有25名男生和20名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为 ，女生当选的可能性为 ，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故答案为：B． 9．下列各选项的事件中，发生的可能性大小相等的是（　　） A．小明去某个路口，碰到红灯、黄灯和绿灯 B．任意抛掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下” C．小亮在沿着Rt△ABC三边行走，他出现在AB，AC与BC边上 D．小红任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数” 【答案】D 【解析】A、∵交通路口有红灯、黄灯和绿灯，但红灯、黄灯和绿灯发生的时间一般不相同， ∴它们发生的可能性大小不相等，故A不符合题意；B、图钉上下不一样，落地后钉尖“朝上”和“朝下”发生的可能性大小不相等，故B不符合题意；C、直角三角形的三边长度不相等，他出现在AB，AC与BC边上发生的可能性大小不相等，故C不符合题意；D、小红任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数”发生的可能性大小相等， 故D符合题意.故答案为：D. 10．袋中有白球3个，红球若干个，他们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．4个或4个以上 【答案】A 【解析】∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，∴袋中的白球数量大于红球数量， 即袋中红球的个数可能是2个或2个以下.故答案为：A. （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）均匀骰子点数小于3的等可能结果有____个。 【答案】2 【解析】点数1、2，共2个。 12.（2026盐城滨海一模）不等分三格转盘，指针停各区域可能性____。 【答案】不同 【解析】扇形面积不相等，机会不均等。 13.（2024无锡宜兴期末）5张相同卡片标a、b、c、d、e，抽一张总等可能结果数为____。 【答案】5 【解析】每张卡片为独立等可能单元，共5种结果。 14.（2025泰州泰兴期末）2白3红小球，按颜色分两类，等可能性为____（具备/不具备）。 【答案】不具备 【解析】红球数量更多，摸到红球概率更高。 15.（2026扬州仪征一模）抛掷均匀硬币，正反两面出现的机会____。 【答案】均等 【解析】硬币对称均匀，是标准等可能试验。 16.（2024镇江句容期末）等可能试验的两个条件是有限性和____。 【答案】均等性 【解析】教材定义两大核心条件：有限、均等。 17.（2025连云港灌南期末）0-4五个相同小球，摸到0号和4号可能性____。 【答案】相等 【解析】小球无外观差异，抽取概率一致。 18.（2026宿迁泗阳一模）抛掷图钉，钉尖朝上、朝下两种结果的等可能性____。 【答案】不具备 【解析】图钉重心偏移，两种落地结果概率不同。 19.（2025徐州丰县期末）袋中1个6号、1个9号相同小球，取球看号码，两类结果等可能性____。 【答案】具备 【解析】两类各包含1个基本小球，数量相等，机会均等。 20．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为　 　． 【答案】①③② 【解析】指针落在白色区域内的可能性分别为：，，∴从小到大的顺序为：①③②． （三）解答题 21．一黑色口袋中有4只红球,2只白球,1只黄球,这些球除了颜色外都相同, 小明认为袋中共有三种颜色不同的球,所以认为摸到红球、 白球或者黄球的可能性是相同的,你认为呢? 解：因为4＞2＞1，红球的数量最多，黄球的数量最少，所以摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性其次，摸到黄球的可能性最小，所以认为摸到红球、白球或者黄球的可能性是相同的这种说法不正确． 22．任意抛掷一枚骰子两次，骰子停止转动后，计算朝上的点数的和． （1）和最小的是多少，和最大的是多少？ （2）下列事件：①点数的和为7；②点数的和为1；③点数的和为15．哪些是不可能性事件？哪些是不确定事件？ （3）点数的和为7与点数的和为2的可能性谁大？请说明理由． 解：（1）和最小是：1+1=2；和最大是：6+6=12； （2）由（1）得出：②点数的和为1；③点数的和为15是不可能性事件，①点数的和为7是随机事件，故不可能事件是②③；不确定事件是①． （3）∵点数之和为7有6种可能，分别为1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1， 则点数之和是7的概率是P（和为7）=；点数之和为2有1种可能，分别为1和1， 则点数之和是1的概率是P（和为2）=；故和为7的可能性要大． 23．如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成6个扇形），每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是　 　，转出的数字是7是　 　；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字大于7的概率是　 　． （3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是　 　． 解：（1）∵转盘被平均分成6等份，分别标有3、4、5、6、7、8这六个数字，没有数字1，∴“转到数字1”是不可能的，转到数字7是可能的，故答案为：不可能事件，随机事件； （2）转动转盘一次，共有6种等可能出现的结果情况，其中大于7的有1种，所以转动转盘，转出的数字大于7的概率是，故答案为：； （3）转动转盘可得到3、4、5、6、7、8这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有6种等可能的情况，即：2、3、3；2、3、4；2、3、5；2、3、6；2、3、7；2、3、8；其中能构成三角形的为2、3、3；2、3、4，共计有2种，所以三条线段能构成三角形的概率是，故答案为：． 24．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 解：（1）列表如下 1 1 则所有可能出现的结果有9种故答案为：9． （2）不公平，理由如下：要使有意义，即即，，，使分式有意义，则小强获胜概率为；要使无意义，即 即，，，，使分式无意义，则小兵获胜概率为； 这个游戏规则不公平． 25.（2025苏州吴中期末）不透明袋子装有5个完全相同小球，标号0、1、2、3、4，单次随机取1球。 (1) 写出所有等可能基本结果； (2) 写出“抽到偶数号”包含的基本结果； (3) 判断“奇数号、偶数号”两类分类结果是否等可能，说明理由。 【答案】(1) 取0、取1、取2、取3、取4；(2) 取0、取2、取4； (3) 非等可能；偶数包含3个基本结果，奇数包含2个，数量不等，机会不均等。 【解析】分类结果是否等可能，取决于两类包含的最小等可能单元数量是否一致。 26.如图，圆形转盘被均匀分成8个全等扇形，分别标注数字1、2、3、4、5、6、7、8，转动转盘，指针随机停在某一扇形内（指针落在分割线上重新转动）。 (1) 本次转动转盘试验的全部基本结果有哪些？该试验是否具备等可能性？说明理由； (2) 转动一次转盘，指针停在奇数区域与停在偶数区域，这两类结果是否等可能？写出推导过程； (3) 若将转盘修改为3块面积不等的扇形，分别标注数字1、2、3，修改后的转盘试验还具备等可能性吗？请说明原因。 解： (1) 全部基本结果：指针停1区、指针停2区、指针停3区、指针停4区、指针停5区、指针停6区、指针停7区、指针停8区；该试验具备等可能性。 (2) 两类结果等可能。奇数数字：1、3、5、7，共4个等可能基本单元；偶数数字：2、4、6、8，共4个等可能基本单元；两类结果包含的最小等可能单元数量相同，因此出现的可能性相等。 (3) 修改后的转盘不具备等可能性。等可能性要求每一个基本结果出现的机会均等，修改后三块扇形面积大小不同，指针停在面积更大区域的概率更高，不满足均等性条件，因此不属于等可能试验。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $