专题11等可能条件下的概率暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题11等可能条件下的概率暑假预习讲义 1. 识记：分清必然事件、不可能事件、随机事件，牢记概率取值范围0≤P(A)≤1，熟记等可能性试验的判定标准。 2. 掌握：吃透古典概型概率公式P(A)=，明确n为全部等可能结果、m为符合事件的结果数，计算做到不重不漏。 3. 实操：单次试验直接列举所有结果求概率；两次及多次试验会用列表法、树状图完整枚举全部基本结果。 4. 辨析：区分抽取问题中放回与不放回两类模型，读懂两种场景下总结果数量的变化规律。 5. 识图：看懂几何概型，能结合长度、面积、区域占比计算几何类随机事件的概率。 6. 判定：利用概率数值判断游戏公平性，会通过计算各组事件概率大小给出公平调整方案。 7. 理解：知晓大量重复试验下频率稳定于理论概率，能用频率估算随机事件的概率值。 8. 应用：结合摸球、掷骰子、转盘、抽奖等生活情境，建立概率模型解决实际问题，形成随机思维。 9. 避错：预习时梳理常见易错点，避免误判非等可能试验、枚举结果遗漏或重复、混淆放回与不放回条件。 预习必备 知识梳理 1.三种事件定义与概率取值 2.概率的定义及计算公式 3.等可能事件求概率方法 4.用列举法求概率 5.游戏公平性的判断 6.几何概率 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.随机试验的所有可能结果 2.由概率公式计算概率 3.根据概率作判断 4.已知概率求数量 5.几何概率 6.列举法求概率 7.列表发或树状图法求概率 8.游戏公平性 9.概率随机事件平均发生次数 10.概率在转盘抽奖中的应用 11.概率在比赛中的应用 12.概率的其他应用 强化题型 解答题7题 知识点 1 三种事件定义与概率取值 核心概念 根据事件发生可能性分为必然、不可能、随机三类，对应概率范围固定。 事件分类 教材完整定义 概率取值 教材典型例题 必然事件 在确定条件下，一定会发生的事件 P=1 掷均匀骰子，点数≤6 不可能事件 在确定条件下，一定不会发生的事件 P=0 掷均匀骰子，点数为 7 随机事件 在确定条件下，可能发生、也可能不发生 0<P<1 抛均匀硬币正面朝上 通用结论 任意事件A满足：0 P(A) 1 ；数值越接近 1，发生可能性越大。 知识点 2 概率的定义及计算公式 1.概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记(P(A)。 2.概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=。 知识点 3 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 1 判断试验结果是否为等可能； 2 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 3 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 4 代入概率公式：P(A)= 知识点 4 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 5 游戏公平性判断方法 判断依据：若游戏双方获胜概率相等，则游戏公平；若双方获胜概率不相等，则游戏不公平。 标准答题步骤： 1 分别计算两名参与者各自获胜的概率； 2 对比两个概率的大小； 3 写出公平 / 不公平的文字结论。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 不等可能试验直接套用P= 计算前先验证 “结果有限、机会均等” 两个条件 分子分母颠倒，总结果数写在分子位置 分子为有利结果数m，分母为全部总结果数n 将无放回抽取当成有放回，多出重复组合 不放回抽取不会出现两次完全相同物品 绘制树状图、列表时漏分支、重复统计总结果n 树状图仅统计最末端完整分支，不重复不漏数 有利情况数量多仍逐个硬数，计算繁琐 直接使用1-对立事件概率简化计算 不计算概率，仅凭主观感受判定游戏公平 必须算出双方获胜概率，对比后再下结论 随机事件的概率错写为 0 或 1 必然事件P=1、不可能事件P=0，随机事件0<P<1 计算时阴影面积、总面积比值写反 概率 = 目标区域度量 ÷ 整体区域总度量 题型1.随机试验的所有可能结果 【典例】在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____． 【答案】使每个球出现的机会均等 【分析】根据概率的等可能性判断即可． 【详解】解：每次模拟试验后将小球每次搅匀是为了使每个球出现的机会均等， 故答案为：使每个球出现的机会均等． 【点睛】本题考查了概率的等可能性，确保等可能性是解题的关键． 【跟踪专练1】我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 【跟踪专练2】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 【跟踪专练3】飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 题型2.由概率公式计算概率 【典例】在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外没有任何区别．充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是____________． 【答案】/0.4 【分析】本题考查概率的计算，掌握古典概型的概率计算方法是解题关键，先求出袋中球的总个数，再用白球个数除以总个数即可得到所求概率． 【详解】解：口袋中球的总个数为个， 根据概率公式，随机摸出一球恰好是白球的概率为． 【跟踪专练1】如图，方框表示座位（座位随机分配），小明座位靠近过道的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：小明的座位随机分配共有6种等可能的结果，其中，小明座位靠近过道的结果共有2种， 所以小明座位靠近过道的概率为． 【跟踪专练2】小明和小颖利用一枚均匀的六面体骰子做游戏．若规则为：每人投掷一次骰子，谁掷出的点数大谁就获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先确定小颖投掷骰子所有等可能的结果数，再找出小颖掷出点数大于2即获胜的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：已知小明掷出的点数为2， 小颖投掷均匀六面体骰子，所有等可能的结果共有6种，分别为点数， 小颖获胜需要满足掷出的点数大于2，符合条件的结果有，共4种， 根据概率公式可得：． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 【答案】C 【分析】观察统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在 附近，即概率约为 ，分别计算各选项的概率，找出概率为 的选项即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在 附近， 该事件发生的概率约为 ． A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是的概率为，不符合题意； C．从只装有张黑桃和张红桃的扑克牌盒中随机抽取一张，总共有种等可能结果，红桃有种，抽出的牌是红桃的概率为，符合题意； D．从分别标有的张纸条中，随机抽出一张，其中的倍数有共个， 抽到的倍数的概率为，不符合题意． 题型3.根据概率作判断 【典例】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 【跟踪专练1】用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 题型4.已知概率求数量 【典例】一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【答案】15 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先通过稳定的频率得到摸到黄球的概率，再用总球数乘概率得到黄球的估计个数． 【详解】解：根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，可得摸到黄球的概率近似为， 故黄球个数约为个． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在事件发生的概率附近，据此得到摸到黑球的概率，再计算黑球的估计个数即可． 【详解】∵通过大量重复摸球试验后，摸到黑球的频率稳定在， ∴估计摸到黑球的概率为， ∵口袋中共有个小球， ∴袋中黑球约为（个）． 【跟踪专练2】袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【答案】16 【分析】根据概率计算公式，摸到绿球的概率等于绿球个数除以袋中球的总个数，据此列出方程，即可求解的值． 【详解】解：袋中球的总个数为，由题意得， 整理得， 移项计算得． 【跟踪专练3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设涂上红色的小扇形的个数为个，根据概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设涂上红色的小扇形的个数为个， 由题意得：， 解得， 所以涂上红色的小扇形的个数为3个， 故选：C． 题型5.几何概率 【典例】如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是____________． 【答案】 【分析】先求出区域B对应的圆心角度数，再根据几何概率的公式，用区域B的圆心角度数除以周角度数即可求解． 【详解】解：由图可知，区域A的圆心角为，区域C的圆心角为， ∴区域B对应的圆心角为， 根据几何概率的计算公式，指针落在区域B的概率是． 【跟踪专练1】如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 【详解】解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 【跟踪专练2】如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【答案】 【详解】解：由图可得，黑色地砖占总地面的， ∴一枚小球在地板上自由的滚动，最终停留在黑色地砖上的概率是． 【跟踪专练3】一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 题型6.列举法求概率 【典例】在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 【跟踪专练1】将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 【跟踪专练2】五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 【跟踪专练3】从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 题型7.列表法或树状图法求概率 【典例】电影院上映了四部影片，甲、乙两同学用抽卡的方式决定观看哪部，四张卡片正面分别是影片名称，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是___． 【答案】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把四张卡片分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种， 甲乙两人恰好抽到同一部的概率为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 【跟踪专练2】某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 【跟踪专练3】围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果，结合概率公式即可求解． 【详解】解：记3个黑子分别为黑1，黑2，黑3，1个白子为白，列表如下： 黑1 黑2 黑3 白 黑1 黑1，黑2 黑1，黑3 黑1，白 黑2 黑2，黑1 黑2，黑3 黑2，白 黑3 黑3，黑1 黑3，黑2 黑3，白 白 白，黑1 白，黑2 白，黑3 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有6种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 题型8.游戏公平性 【典例】小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 【跟踪专练1】甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 【跟踪专练2】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 【跟踪专练3】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 题型9.概率随机事件平均发生次数 ．【典例】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 【跟踪专练2】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【跟踪专练1】如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 【跟踪专练2】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 【跟踪专练3】某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 题型11.概率在比赛中的应用 【典例】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 【跟踪专练1】某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 【跟踪专练2】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 题型12.概率的其他应用 【典例】2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 【跟踪专练1】“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 【跟踪专练2】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 【跟踪专练3】取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出答案． 【详解】解：记“剪得两段的长都不少于1米”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米， ∴事件A发生的概率为P（A）=； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式；找出中间1m处的两个界点是解题的关键． 解答题 1．学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． (2)求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 【答案】(1)8种 (2) 【分析】（1）根据列表法列出所有情况即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： A B C D A B 由上表可知，所有可能出现的结果数为8种． （2）解：由（1）可知，所有等可能出现的结果数为8种，七年级组、八年级组选择的地点互不相同的情况有6种． ∴该校七年级组、八年级组选择的地点互不相同的概率． 2．在一个不透明的袋子中装有5个红球和7个黑球，这些球除颜色外其他都相同． (1)若从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是多少？ (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和摸到黑球的概率相等，那么应放入几个红球，几个黑球？请说明理由． 【答案】(1) (2) 应放入4个红球，2个黑球，理由如下： 设应放入个红球，则放入个黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的概率相等， ∴袋子中的红球和黑球的数量相等， ∴，解得， 则． 答：应放入4个红球，2个黑球． 【分析】（1）根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数计算概率即可； （2）设应放入个红球，则放入个黑球，根据概率相等推出红球与黑球总数量相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：袋子中一共有（个）球， 从中任意摸出1个球，一共有12种情况，其中摸到红球的情况有5种， ∴摸到红球的概率是． （2）略 3．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 【答案】(1) (2)2个 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）根据要使摸到红球和白球的概率相等，即红球的个数等于白球的个数，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为红球4个，白球6个，黑球5个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为． （2）解：因为要使摸到红球和白球的概率相等， 所以要使红球的个数等于白球的个数， 因为红球4个，白球6个，白球的个数不变， 所以红球需要增加（个）． 4．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 5．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 6．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 7．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11等可能条件下的概率暑假预习讲义 1. 识记：分清必然事件、不可能事件、随机事件，牢记概率取值范围0≤P(A)≤1，熟记等可能性试验的判定标准。 2. 掌握：吃透古典概型概率公式P(A)=，明确n为全部等可能结果、m为符合事件的结果数，计算做到不重不漏。 3. 实操：单次试验直接列举所有结果求概率；两次及多次试验会用列表法、树状图完整枚举全部基本结果。 4. 辨析：区分抽取问题中放回与不放回两类模型，读懂两种场景下总结果数量的变化规律。 5. 识图：看懂几何概型，能结合长度、面积、区域占比计算几何类随机事件的概率。 6. 判定：利用概率数值判断游戏公平性，会通过计算各组事件概率大小给出公平调整方案。 7. 理解：知晓大量重复试验下频率稳定于理论概率，能用频率估算随机事件的概率值。 8. 应用：结合摸球、掷骰子、转盘、抽奖等生活情境，建立概率模型解决实际问题，形成随机思维。 9. 避错：预习时梳理常见易错点，避免误判非等可能试验、枚举结果遗漏或重复、混淆放回与不放回条件。 预习必备 知识梳理 1.三种事件定义与概率取值 2.概率的定义及计算公式 3.等可能事件求概率方法 4.用列举法求概率 5.游戏公平性的判断 6.几何概率 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.随机试验的所有可能结果 2.由概率公式计算概率 3.根据概率作判断 4.已知概率求数量 5.几何概率 6.列举法求概率 7.列表发或树状图法求概率 8.游戏公平性 9.概率随机事件平均发生次数 10.概率在转盘抽奖中的应用 11.概率在比赛中的应用 12.概率的其他应用 强化题型 解答题7题 知识点 1 三种事件定义与概率取值 核心概念 根据事件发生可能性分为必然、不可能、随机三类，对应概率范围固定。 事件分类 教材完整定义 概率取值 教材典型例题 必然事件 在确定条件下，一定会发生的事件 P=1 掷均匀骰子，点数≤6 不可能事件 在确定条件下，一定不会发生的事件 P=0 掷均匀骰子，点数为 7 随机事件 在确定条件下，可能发生、也可能不发生 0<P<1 抛均匀硬币正面朝上 通用结论 任意事件A满足：0 P(A) 1 ；数值越接近 1，发生可能性越大。 知识点 2 概率的定义及计算公式 1.概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记(P(A)。 2.概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=。 知识点 3 等可能事件求概率通用方法（列表法、树状图法） 适用条件：试验结果有限，每一种结果出现的可能性完全相同，多用于两步及以上随机试验。 标准解题步骤 1 判断试验结果是否为等可能； 2 列表或画树状图，不重不漏列出所有等可能结果； 3 统计符合题意的结果数量、全部结果总数； 4 代入概率公式：P(A)= 知识点 4 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 5 游戏公平性判断方法 判断依据：若游戏双方获胜概率相等，则游戏公平；若双方获胜概率不相等，则游戏不公平。 标准答题步骤： 1 分别计算两名参与者各自获胜的概率； 2 对比两个概率的大小； 3 写出公平 / 不公平的文字结论。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点7高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 不等可能试验直接套用P= 计算前先验证 “结果有限、机会均等” 两个条件 分子分母颠倒，总结果数写在分子位置 分子为有利结果数m，分母为全部总结果数n 将无放回抽取当成有放回，多出重复组合 不放回抽取不会出现两次完全相同物品 绘制树状图、列表时漏分支、重复统计总结果n 树状图仅统计最末端完整分支，不重复不漏数 有利情况数量多仍逐个硬数，计算繁琐 直接使用1-对立事件概率简化计算 不计算概率，仅凭主观感受判定游戏公平 必须算出双方获胜概率，对比后再下结论 随机事件的概率错写为 0 或 1 必然事件P=1、不可能事件P=0，随机事件0<P<1 计算时阴影面积、总面积比值写反 概率 = 目标区域度量 ÷ 整体区域总度量 题型1.随机试验的所有可能结果 【典例】在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____． 【跟踪专练1】我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【跟踪专练2】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【跟踪专练3】飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型2.由概率公式计算概率 【典例】在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外没有任何区别．充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是____________． 【跟踪专练1】如图，方框表示座位（座位随机分配），小明座位靠近过道的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明和小颖利用一枚均匀的六面体骰子做游戏．若规则为：每人投掷一次骰子，谁掷出的点数大谁就获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为______． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 题型3.根据概率作判断 【典例】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【跟踪专练1】用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 题型4.已知概率求数量 【典例】一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【跟踪专练3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5.几何概率 【典例】如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是____________． 【跟踪专练1】如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【跟踪专练3】一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 题型6.列举法求概率 【典例】在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【跟踪专练1】将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【跟踪专练3】从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 题型7.列表法或树状图法求概率 【典例】电影院上映了四部影片，甲、乙两同学用抽卡的方式决定观看哪部，四张卡片正面分别是影片名称，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是___． 【跟踪专练1】某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【跟踪专练3】围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 题型8.游戏公平性 【典例】小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练1】甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【跟踪专练2】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练3】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 题型9.概率随机事件平均发生次数 ．【典例】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【跟踪专练1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【跟踪专练2】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【跟踪专练1】如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【跟踪专练3】某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 题型11.概率在比赛中的应用 【典例】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【跟踪专练1】某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型12.概率的其他应用 【典例】2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【跟踪专练1】“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【跟踪专练3】取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．学校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合实践活动，七年级组准备从环草海段、海晏村两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级组准备从环草海段、海晏村、宝丰湿地、海埂大坝四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择“环草海段”为A，选择“海晏村”为B，选择“宝丰湿地”为C，选择“海埂大坝”为D，七年级组的选择为x，八年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数． (2)求该校七年级组，八年级组选择的地点互不相同的概率． 2．在一个不透明的袋子中装有5个红球和7个黑球，这些球除颜色外其他都相同． (1)若从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是多少？ (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和摸到黑球的概率相等，那么应放入几个红球，几个黑球？请说明理由． 3．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 4．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 5．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 6．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 7．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $