专题06 万有引力（专项训练）高中物理力学竞赛

**基本信息** 以“核心知识点-思维导图-题型分类”为框架，系统整合万有引力定律应用，通过5类典型题型实现模型建构与科学推理能力的专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|5个要点|万有引力定律为基础，推导卫星运行规律、变轨条件及多星系统模型|从定律到应用，形成“概念-规律-模型”递进链条| |5类题型|5道典例（难度0.25-0.4）|天体参数计算用几何关系+向心力公式；多星系统用整体法建模；变轨问题结合能量守恒与开普勒定律|题型与方法一一对应，覆盖竞赛高频考点与临界问题|

跑哥物理 力学竞赛专题 专题六 万有引力与宇宙航行 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01 天体参数计算与密度估算 题型02 多星系统与特殊天体模型 题型03卫星变轨与能量守恒 题型04 非惯性系与等效场圆周运动 题型05 相对运动与通信覆盖范围 4、 巩固提升 核心知识点 1．万有引力定律及其在天体运动中的应用，包括中心天体质量、密度的计算。 2．卫星运行规律：线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系；同步卫星与近地卫星的特点。 3．变轨问题：圆轨道与椭圆轨道的转换条件（加速/减速）、能量变化及开普勒定律的应用。 4．多星系统模型：双星、三星及多星系统的受力分析、周期关系与几何约束。 5．天体运动中的几何与临界问题：通信盲区、张角、追及相遇、椭圆轨道极值及曲率半径等综合分析。 思维导图 题型分类 题型一 天体参数计算与密度估算 例题1、将地球视为匀质球体，半径为R，通信卫星1和2绕地球在同一平面做匀速圆周运动，其中卫星1的轨道半径为，卫星2的线速度大小为，卫星1和2运行至某位置时恰好无法直接通信，此时二者之间的距离为，假设两颗卫星之间电磁波信号沿直线传播，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（     ） A．卫星1和2之间的最大间距为 B．卫星1转动的角速度大小为 C．第一宇宙速度的大小为 D．地球的密度为 【答案】D 【难度】0.4 【详解】A．两卫星恰好无法直接通信时，二者连线与地球相切，几何关系如图所示。 卫星1到切点的距离为 故卫星2到切点的距离为 由勾股定理得 两卫星运行过程中的最大间距为，故A错误； B．由临界通信时的几何关系有。卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 由此可得 卫星1的角速度为，故B错误； C．由临界通信时的几何关系有。第一宇宙速度等于卫星在地面附近做圆周运动的线速度，由 整理得，故C错误； D．由临界通信时的几何关系有 对卫星2，由万有引力提供向心力有 解得 地球密度为，故D正确。 故选D。 题型二 多星系统与特殊天体模型 例题2、宇宙中充满许多十分神奇的现象。张时焱在一次天文观测中意外发现M78星云中有9颗神奇的星体，其中8颗小星体两两组合成一个小双星系统，四个小双星系统与一个大黑洞形成五星系统，而对角线的两组双星系统与大黑洞保持五星连珠状态。若八颗小星体质量均为m，双星系统直径2r，四双星系统位于以黑洞为中心的正方形四个顶点，正方形边长为。不考虑其余星体对双星系统内部周期影响，双星系统可视为一个大星体，双星系统内部公转周期与双星绕黑洞公转的周期相等。则黑洞质量M为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.25 【详解】对双星系统进行分析，有 解得 将双星系视为的大星体有 解得 再由 解得 故选A。 题型三 卫星变轨与能量守恒 例题3、发射人造卫星时，通常要先将卫星发射至近地轨道，通过变轨最终送至预定轨道，如图所示为简化的卫星发射轨道示意图。Ⅰ轨道为近地圆形轨道，可认为轨道半径等于地球半径R。将人造卫星发射至轨道Ⅰ后，当卫星经过P点时点火加速，变轨至Ⅱ轨道。Ⅱ轨道是椭圆形，P、Q分别为近地点和远地点。卫星的引力势能可以表示为（其中M为地球质量，m为人造卫星质量，r为卫星到地球球心的距离）。已知：地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，P、Q间距为L。 (1)求：卫星在轨道Ⅰ上运行时的线速度大小。 (2)当卫星运行到P处时点火加速，在极短时间内使卫星加速进入Ⅱ轨道，则： i．求：卫星从P处第一次运动至Q处的时间。 ii．若卫星在P处加速后速度大小变为 但方向不变，则如何求出卫星到达Q处的速度大小。（本问不必计算最后结果，仅需列出方程并加以说明即可。） 【答案】(1) (2)；= 【难度】0.4 【详解】（1）在地球表面，有 卫星在轨道I上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有= 联立解得 （2）i．、分别为椭圆轨道的近地点和远地点，两点间距即为椭圆长轴，故半长轴 由开普勒第三定律，椭圆轨道周期为 由 整理得 卫星从点第一次运动到点所用时间为椭圆轨道周期的一半，故= ii．卫星在点点火后至到达点的过程中只有引力做功，机械能守恒。点到地心的距离为，由、间距为，可知点到地心的距离为 由机械能守恒定律可得= 式中且，因此由上式可求出 题型四 椭圆轨道特性与极值分析 例题4、月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为g月，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（     ） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度为 【答案】BC 【难度】0.35 【详解】A．设椭圆半长轴为，偏心率为，月心为焦点，发射点为远月点。取发射点方向为极轴，点与极轴夹角为 因为点纬度为 所以 椭圆在远月点方向的极坐标关系为 远月点到月心距离为 由，整理得 所以 周期最短即半长轴最小，有= 因为= 所以 此时 此时= 发射点离月面的高度 不是，故A错误； B．由月面重力加速度 椭圆运动周期 取最短周期时，得，故B正确； C．椭圆两焦点之间距离为=，故C正确； D．万有引力场中不能把重力加速度看成恒为。由机械能守恒有= 解得 不是，故D错误。 故选BC。 题型五 相对运动与通信覆盖范围 例题5、“北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统（CNSS），为我国经济发展和国防建设提供了有力保障。建成后的“北斗”卫星导航系统包括5颗静止卫星和30颗一般轨道卫星。北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空，其对地张角为60°，如图所示。已知地球的半径为R，自转周期为T0，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。根据题中条件，可求出（     ） A．卫星a的轨道半径为 B．静止卫星的轨道半径为 C．卫星a的周期为 D．a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为 【答案】BD 【难度】0.38 【详解】A．由几何关系可得 解得卫星a的轨道半径为，故A错误； B．静止卫星周期等于地球自转周期，根据牛顿第二定律得 根据地球表面物体引力约等于重力，可得 联立解得静止卫星的轨道半径，故B正确； C．卫星a做匀速圆周运动引力提供向心力，可得 结合，联立解得卫星a的周期为，故C错误； D．设近地卫星周期为，根据引力提供向心力可得 联立解得 a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间内二者转过的角度满足 即 联立可得二者不能直接通讯的连续时间，故D正确。 故选BD。 巩固提升 1．2025年6月20日20时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将中星9C卫星发射升空，卫星顺利进入预定的地球静止轨道，中星9C卫星是广播电视专用直播卫星。已知地球北极点的重力加速度为，赤道上的重力加速度为，地球的半径为R，电磁波在真空中的传播速度为c，则从中星9C上发出的电视信号到达地球上的最长时间可表示为（忽略地球大气对电磁波传播速度的影响）（     ） A． B． C． D． 2．如图甲所示，神舟二十一号飞船返回地球过程中曾绕远地点相同的、椭圆轨道飞行。飞船在两椭圆轨道上运动过程中受地球引力大小随时间的变化图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 B．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 C．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 D．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 3．某行星的卫星A、B绕以该行星为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，卫星A、B轨道半长轴分别记为 aA、aB，假设A、B只受到行星的引力，下列说法正确的是（     ） A．B与A的绕行周期之比为 B．aA、aB的比值为1∶2 C．aA、aB的比值为1∶3 D．卫星A与卫星B的质量之比为 4．如图所示，P为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为，地球半径为，南极表面重力加速度为。下列说法中正确的是（     ） A．卫星的轨道半径 B．卫星的线速度大小为 C．地球自转的角速度为 D．地球赤道表面的重力加速度为 5．假设在某段时间内，某空间站轨道高度先后进行了两次自然衰减，第一次下降了小高度，第二次下降了小高度。若这两次下降过程中，空间站引力势能的变化量绝对值相等，则两次下降高度和的关系为（     ） A． B． C． D． 6．某同学设计贯通地球的弦线列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为零，P点是隧道中的一点，P到的距离为x，不计空气阻力与摩擦阻力，忽略地球自转的影响，则下列说法中正确的是（　　） A．列车在隧道中A点所受的支持力大小等于 B．列车在隧道中一直加速 C．列车运动过程中的最大速度 D．列车运动到P点时的加速度 7．地球有两个卫星轨道：半径分别为和的低轨道1和高轨道2，中间有一个椭圆变轨轨道，变轨卫星在轨道1上点加速变轨到椭圆轨道，同时高轨卫星在点运行，则两卫星同时到达点，地球质量为，引力常量为，下列说法正确的是（     ） A．卫星在高轨道2的速度 B．椭圆轨道的周期 C． D．1和2两轨道上卫星分别从、开始运行，第一次距离最近的时间 8．如图所示，若宇宙中存在一个稳定的六星系统，由六颗质量均为的恒星组成，它们位于正六边形的六个顶点上，每颗恒星均在万有引力作用下绕正六边形的中心做匀速圆周运动。已知正六边形边长为，引力常量为，忽略其他天体的影响。关于该六星系统，下列说法正确的是（     ） A．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 B．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 C．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变小 D．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大 9．如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，连线延长线上有一点，，空心球内有点，S点，点如图分布，，在球体外点和在空心球内点，S点，点分别单次放置一个质量为的质点，若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量，则球剩余部分对该质点的万有引力（     ） A．质量为的质点在点时，引力大小为 B．质量为的质点在点时，引力大小为 C．质量为的质点在点时，引力大小为0 D．质量为的质点在点时，引力的方向与由点指向的方向平行 10．我国的北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成，若其中两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示；两卫星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示，图中R为地球半径，地球表面重力加速度大小为g，不考虑两卫星之间的作用力，计算时 。下列说法正确的是（     ） A．中轨道卫星与同步卫星的轨道半径之比为1∶2.2 B．中轨道卫星的加速度大小为 C．中轨道卫星的运动周期为 D．图乙中的T为24小时 11．如图所示，假设在太空中有恒星、组成的双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径之比，间引力为，已知的质量为，线速度大小为，为绕逆时针匀速转动的卫星，卫星运动周期为，间的引力大小为，间的引力大小为，且，则以下说法正确的是（     ） A．恒星的质量为 B．与的动能之差为 C．若保持间距离恒定不变，的质量减小而的质量增加，则间引力将增大 D．若、、由图示位置开始经过时间三者下一次共线，则 12．某气象卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为，其轨道平面与地球赤道平面的夹角为。从北极点往下看，该气象卫星的运行方向与地球自转方向相同。已知地球的自转周期为，地球同步卫星的轨道半径为，地球可视作半径为的均质圆球，则下列说法正确的是（     ） A．该卫星绕地球运行的轨道半径为 B．该卫星可以监测到北极点的气象情况 C．该卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空的时间间隔可能为 D．该卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空的时间间隔可能为 13．我国的嫦娥工程现已完成月球样品采运任务，月球有类似于地球的南北两极和纬度，月球半径为，表面重力加速度为，不考虑月球自转。如图为月球着陆器降落月球表面的过程，着陆器先在圆形轨道Ⅰ上绕月匀速圆周运动，运动至月球北极正上方位置时突然改变速度，然后沿着椭圆轨道Ⅱ无动力运动落至纬度为的处。已知椭圆轨道上的任意点到两焦点的距离之和为定值（半长轴的两倍），两焦点之间的距离是焦距。假设月球质量集中在球心点，如果着陆器沿该椭圆轨道运动的周期最短，则（     ） A．着陆器在位置要减速才能进入椭圆轨道Ⅱ B．位置离月面的高度为 C．椭圆轨道Ⅱ的周期为 D．若位置离月面的高度为，变速后的速度为，则着陆器到达处的速度为 14．宇宙中存在一种特殊的天体——双星系统，其特点是绕共同的圆心做周期相等的匀速圆周运动，间距不变。如图1就是一个双星系统，质量相等的甲、乙两颗恒星绕圆心O做匀速圆周运动，圆面内的固定点P与O点间的距离等于两颗恒星间的距离，测得P点到甲、乙所在直线的距离x与恒星转动时间t的关系图像如图2所示，已知引力常量为G，结合图2所给的其他已知信息分析，下列说法正确的是（　　） A．双星运动的周期为 B．双星间的距离为x0 C．恒星甲的质量为 D．恒星甲的质量为 15．北京时间2026年1月16日04时10分，在太原卫星发射中心海上发射团队的组织指挥下，星河动力航天公司于山东附近海域圆满完成谷神星一号海射型（遥七）·希望工程号（任务名：望海潮）发射任务，顺利将“天启星座”06组卫星送入预定轨道。假设其中一颗卫星的简化变轨过程如图所示，先将卫星送入圆形轨道I，在点发动机点火加速，卫星由轨道I进入椭圆轨道II，卫星在椭圆轨道II上经过点再次变轨进入圆轨道III。已知轨道I的半径为，轨道III的半径为，卫星绕轨道III运行周期为，地球的质量为，卫星质量为，万有引力常量为。 (1)求卫星在轨道II运行周期。 (2)在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段圆弧，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆弧的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，卫星运行的引力势能（为卫星到地心的距离）。求卫星在椭圆轨道上点处的机械能。 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 跑哥物理 力学竞赛专题 专题六 万有引力与宇宙航行 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01 天体参数计算与密度估算 题型02 多星系统与特殊天体模型 题型03卫星变轨与能量守恒 题型04 非惯性系与等效场圆周运动 题型05 相对运动与通信覆盖范围 4、 巩固提升 核心知识点 1．万有引力定律及其在天体运动中的应用，包括中心天体质量、密度的计算。 2．卫星运行规律：线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系；同步卫星与近地卫星的特点。 3．变轨问题：圆轨道与椭圆轨道的转换条件（加速/减速）、能量变化及开普勒定律的应用。 4．多星系统模型：双星、三星及多星系统的受力分析、周期关系与几何约束。 5．天体运动中的几何与临界问题：通信盲区、张角、追及相遇、椭圆轨道极值及曲率半径等综合分析。 思维导图 题型分类 题型一 天体参数计算与密度估算 例题1、将地球视为匀质球体，半径为R，通信卫星1和2绕地球在同一平面做匀速圆周运动，其中卫星1的轨道半径为，卫星2的线速度大小为，卫星1和2运行至某位置时恰好无法直接通信，此时二者之间的距离为，假设两颗卫星之间电磁波信号沿直线传播，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（     ） A．卫星1和2之间的最大间距为 B．卫星1转动的角速度大小为 C．第一宇宙速度的大小为 D．地球的密度为 【答案】D 【难度】0.4 【详解】A．两卫星恰好无法直接通信时，二者连线与地球相切，几何关系如图所示。 卫星1到切点的距离为 故卫星2到切点的距离为 由勾股定理得 两卫星运行过程中的最大间距为，故A错误； B．由临界通信时的几何关系有。卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 由此可得 卫星1的角速度为，故B错误； C．由临界通信时的几何关系有。第一宇宙速度等于卫星在地面附近做圆周运动的线速度，由 整理得，故C错误； D．由临界通信时的几何关系有 对卫星2，由万有引力提供向心力有 解得 地球密度为，故D正确。 故选D。 题型二 多星系统与特殊天体模型 例题2、宇宙中充满许多十分神奇的现象。张时焱在一次天文观测中意外发现M78星云中有9颗神奇的星体，其中8颗小星体两两组合成一个小双星系统，四个小双星系统与一个大黑洞形成五星系统，而对角线的两组双星系统与大黑洞保持五星连珠状态。若八颗小星体质量均为m，双星系统直径2r，四双星系统位于以黑洞为中心的正方形四个顶点，正方形边长为。不考虑其余星体对双星系统内部周期影响，双星系统可视为一个大星体，双星系统内部公转周期与双星绕黑洞公转的周期相等。则黑洞质量M为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.25 【详解】对双星系统进行分析，有 解得 将双星系视为的大星体有 解得 再由 解得 故选A。 题型三 卫星变轨与能量守恒 例题3、发射人造卫星时，通常要先将卫星发射至近地轨道，通过变轨最终送至预定轨道，如图所示为简化的卫星发射轨道示意图。Ⅰ轨道为近地圆形轨道，可认为轨道半径等于地球半径R。将人造卫星发射至轨道Ⅰ后，当卫星经过P点时点火加速，变轨至Ⅱ轨道。Ⅱ轨道是椭圆形，P、Q分别为近地点和远地点。卫星的引力势能可以表示为（其中M为地球质量，m为人造卫星质量，r为卫星到地球球心的距离）。已知：地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，P、Q间距为L。 (1)求：卫星在轨道Ⅰ上运行时的线速度大小。 (2)当卫星运行到P处时点火加速，在极短时间内使卫星加速进入Ⅱ轨道，则： i．求：卫星从P处第一次运动至Q处的时间。 ii．若卫星在P处加速后速度大小变为 但方向不变，则如何求出卫星到达Q处的速度大小。（本问不必计算最后结果，仅需列出方程并加以说明即可。） 【答案】(1) (2)；= 【难度】0.4 【详解】（1）在地球表面，有 卫星在轨道I上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有= 联立解得 （2）i．、分别为椭圆轨道的近地点和远地点，两点间距即为椭圆长轴，故半长轴 由开普勒第三定律，椭圆轨道周期为 由 整理得 卫星从点第一次运动到点所用时间为椭圆轨道周期的一半，故= ii．卫星在点点火后至到达点的过程中只有引力做功，机械能守恒。点到地心的距离为，由、间距为，可知点到地心的距离为 由机械能守恒定律可得= 式中且，因此由上式可求出 题型四 椭圆轨道特性与极值分析 例题4、月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为g月，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（     ） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度为 【答案】BC 【难度】0.35 【详解】A．设椭圆半长轴为，偏心率为，月心为焦点，发射点为远月点。取发射点方向为极轴，点与极轴夹角为 因为点纬度为 所以 椭圆在远月点方向的极坐标关系为 远月点到月心距离为 由，整理得 所以 周期最短即半长轴最小，有= 因为= 所以 此时 此时= 发射点离月面的高度 不是，故A错误； B．由月面重力加速度 椭圆运动周期 取最短周期时，得，故B正确； C．椭圆两焦点之间距离为=，故C正确； D．万有引力场中不能把重力加速度看成恒为。由机械能守恒有= 解得 不是，故D错误。 故选BC。 题型五 相对运动与通信覆盖范围 例题5、“北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统（CNSS），为我国经济发展和国防建设提供了有力保障。建成后的“北斗”卫星导航系统包括5颗静止卫星和30颗一般轨道卫星。北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空，其对地张角为60°，如图所示。已知地球的半径为R，自转周期为T0，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。根据题中条件，可求出（     ） A．卫星a的轨道半径为 B．静止卫星的轨道半径为 C．卫星a的周期为 D．a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为 【答案】BD 【难度】0.38 【详解】A．由几何关系可得 解得卫星a的轨道半径为，故A错误； B．静止卫星周期等于地球自转周期，根据牛顿第二定律得 根据地球表面物体引力约等于重力，可得 联立解得静止卫星的轨道半径，故B正确； C．卫星a做匀速圆周运动引力提供向心力，可得 结合，联立解得卫星a的周期为，故C错误； D．设近地卫星周期为，根据引力提供向心力可得 联立解得 a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间内二者转过的角度满足 即 联立可得二者不能直接通讯的连续时间，故D正确。 故选BD。 巩固提升 1．2025年6月20日20时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将中星9C卫星发射升空，卫星顺利进入预定的地球静止轨道，中星9C卫星是广播电视专用直播卫星。已知地球北极点的重力加速度为，赤道上的重力加速度为，地球的半径为R，电磁波在真空中的传播速度为c，则从中星9C上发出的电视信号到达地球上的最长时间可表示为（忽略地球大气对电磁波传播速度的影响）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【详解】北极点物体无随地球自转的向心力，万有引力等于重力，有 得黄金代换式 赤道上物体万有引力一部分提供重力，一部分提供自转向心力，有 代入得 同步卫星角速度等于地球自转角速度，万有引力提供向心力 将、代入得 当信号传播路径与地球表面相切时传播距离最长，此时路径长，传播时间 代入的表达式得 故选A。 2．如图甲所示，神舟二十一号飞船返回地球过程中曾绕远地点相同的、椭圆轨道飞行。飞船在两椭圆轨道上运动过程中受地球引力大小随时间的变化图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 B．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 C．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 D．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为 【答案】D 【难度】0.4 【详解】AB．由万有引力大小为，则 即 由图乙可知飞船在轨道P远地点和轨道Q远地点的引力大小相等且引力最小，均为 飞船在轨道P近地点的引力大小为 飞船在轨道Q近地点的引力大小为 所以轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为，故AB错误； CD．轨道远地点到地心的距离与近地点到地心的距离之比为，故C错误，D正确。 故选D。 3．某行星的卫星A、B绕以该行星为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，卫星A、B轨道半长轴分别记为 aA、aB，假设A、B只受到行星的引力，下列说法正确的是（     ） A．B与A的绕行周期之比为 B．aA、aB的比值为1∶2 C．aA、aB的比值为1∶3 D．卫星A与卫星B的质量之比为 【答案】B 【难度】0.3 【详解】A．由图可知，A卫星的绕行周期为 结合可知B卫星的绕行周期为 因此，故A错误； BC．根据开普勒第三定律 结合 可解得，故B正确，C错误； D．由图可知，卫星A在近星点处受到的万有引力大小为，在远星点处受到的万有引力大小为；卫星B在近星点处受到的万有引力大小为，在远星点处受到的万有引力大小为 根据万有引力定律 可知对于同一绕行轨道，卫星在近星点处受到的万有引力大小与远星点处受到的万有引力大小的比值等于卫星近星距、远星距倒数之平方的比值 设卫星A的近星距为，卫星B的近星距为 由上述分析，可解得， 由于 可知： 根据 可知，当中心天体质量不变时，有 由于卫星A、B在近星点处受到的万有引力大小之比为 结合 可解得卫星A、B质量之比为，故D错误。 故选B。 4．如图所示，P为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为，地球半径为，南极表面重力加速度为。下列说法中正确的是（     ） A．卫星的轨道半径 B．卫星的线速度大小为 C．地球自转的角速度为 D．地球赤道表面的重力加速度为 【答案】D 【难度】0.4 【详解】A．根据几何关系可得卫星的轨道半径满足 可得，故A错误； B．物体在地球南极表面有 对卫星根据万有引力提供向心力有 解得线速度大小为，故B错误； C．地球静止轨道卫星角速度与地球自转角速度相等，对卫星有 解得，故C错误； D．对于赤道表面的物体有 解得，故D正确。 故选D。 5．假设在某段时间内，某空间站轨道高度先后进行了两次自然衰减，第一次下降了小高度，第二次下降了小高度。若这两次下降过程中，空间站引力势能的变化量绝对值相等，则两次下降高度和的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【详解】引力势能的表达式为 其中为空间站到地心的轨道半径。当空间站下降小高度时，轨道半径减小，引力势能变化量的绝对值为 由于很小，可近似 结合轨道处重力加速度 得 第一次下降时轨道平均高度更高，对应的轨道平均半径更大，平均更小。两次相等，因此更小的过程对应更大的，即 故选D。 6．某同学设计贯通地球的弦线列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为零，P点是隧道中的一点，P到的距离为x，不计空气阻力与摩擦阻力，忽略地球自转的影响，则下列说法中正确的是（　　） A．列车在隧道中A点所受的支持力大小等于 B．列车在隧道中一直加速 C．列车运动过程中的最大速度 D．列车运动到P点时的加速度 【答案】C 【难度】0.4 【详解】A．在点，列车位于地球表面，所受的万有引力大小为，方向指向地心，轨道对列车的支持力垂直于隧道，设与的夹角为，则，由几何关系 联立解得，故A错误； B．列车在隧道内距的距离时合力为，是线性回复力。列车从点运动到隧道中点的过程中，回复力指向，与运动方向相同，列车做加速运动。从点运动到点的过程中，回复力指向，与运动方向相反，列车做减速运动，故B错误； C．由，类比弹簧振子回复力，角频率，可得该过程，振幅为 可设以平衡位置为原点，振动方程为，求导有 则最大速度，故C正确； D．设地球的质量为，列车运动到点距地心为，，根据几何关系有 对于质量均匀分布的球体，内部距离球心处的质点只受到半径为的球体质量的引力，而外部球壳对该质点的引力为零，即 根据牛顿第二定律可得列车运动到点加速度 在地表有，联立解得，可见加速度随变化，故D错误。 故选C。 7．地球有两个卫星轨道：半径分别为和的低轨道1和高轨道2，中间有一个椭圆变轨轨道，变轨卫星在轨道1上点加速变轨到椭圆轨道，同时高轨卫星在点运行，则两卫星同时到达点，地球质量为，引力常量为，下列说法正确的是（     ） A．卫星在高轨道2的速度 B．椭圆轨道的周期 C． D．1和2两轨道上卫星分别从、开始运行，第一次距离最近的时间 【答案】AC 【难度】0.39 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得，故A正确； B．由几何关系可知，椭圆轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得，故B错误； C．变轨卫星从P到K经过半个椭圆，则运动时间 卫星在高轨道2的角速度为 则高轨卫星从Q到K转过的角度 则有，故C正确； D．由上述分析同理可得，卫星在轨道1的角速度为 由于，则有 由几何关系可知，第一次相距最近时，相对转过的角度等于初始位置角度差，即 解得，故D错误。 故选AC。 8．如图所示，若宇宙中存在一个稳定的六星系统，由六颗质量均为的恒星组成，它们位于正六边形的六个顶点上，每颗恒星均在万有引力作用下绕正六边形的中心做匀速圆周运动。已知正六边形边长为，引力常量为，忽略其他天体的影响。关于该六星系统，下列说法正确的是（     ） A．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 B．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 C．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变小 D．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大 【答案】AD 【难度】0.4 【详解】AB．每颗恒星做圆周运动的向心力由合外力提供，对单个恒星有，故A正确，B错误； BD．对单个恒星有 整理得 可知若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大，故C错误，D正确。 故选AD。 9．如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，连线延长线上有一点，，空心球内有点，S点，点如图分布，，在球体外点和在空心球内点，S点，点分别单次放置一个质量为的质点，若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量，则球剩余部分对该质点的万有引力（     ） A．质量为的质点在点时，引力大小为 B．质量为的质点在点时，引力大小为 C．质量为的质点在点时，引力大小为0 D．质量为的质点在点时，引力的方向与由点指向的方向平行 【答案】ABD 【难度】0.4 【详解】A．半径为2R的实心大球的质量 半径为R的实心球的质量 质量为的质点在点时，引力大小为，A正确； BC．半径为1.5R的实心大球的质量 半径为0.5R的实心大球的质量 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，可知质量为的质点在S点时，引力大小为 质量为的质点在点时，引力大小为 B正确，C错误； D．质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，质量为的质点在点时，实心大球对P点的引力等于以O1P为半径的实心小球对质点P的引力，以O1P为半径的实心小球的质量为 O1P为半径的实心小球对P点的引力为 则以O2P为半径的实心小球的质量为 则以O2P为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如下图 结合几何关系得 则F合平行于O1O2，故D正确。 故选ABD。 10．我国的北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成，若其中两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示；两卫星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示，图中R为地球半径，地球表面重力加速度大小为g，不考虑两卫星之间的作用力，计算时 。下列说法正确的是（     ） A．中轨道卫星与同步卫星的轨道半径之比为1∶2.2 B．中轨道卫星的加速度大小为 C．中轨道卫星的运动周期为 D．图乙中的T为24小时 【答案】AC 【难度】0.4 【详解】A．设中轨道卫星和同步轨道卫星做匀速圆周运动的半径分别为、，根据图乙可得， 解得， 即有，故A正确； B．由万有引力定律及牛顿第二定律得， 解得中轨道卫星的加速度大小为，故B错误； CD．设中轨道卫星和同步轨道卫星的运行周期分别为、，由图乙可知每隔时间T两卫星距离最近，即每隔时间T，中轨道卫星就比同步轨道卫星多转了一周，则有 根据开普勒第三定律有 联立解得， 由于，所以，故C正确，D错误。 故选AC。 11．如图所示，假设在太空中有恒星、组成的双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径之比，间引力为，已知的质量为，线速度大小为，为绕逆时针匀速转动的卫星，卫星运动周期为，间的引力大小为，间的引力大小为，且，则以下说法正确的是（     ） A．恒星的质量为 B．与的动能之差为 C．若保持间距离恒定不变，的质量减小而的质量增加，则间引力将增大 D．若、、由图示位置开始经过时间三者下一次共线，则 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】A．根据题意可知，双星系统的角速度相同，由恒星A、B间的万有引力提供向心力，即向心力大小相等，则对恒星A、B可得 其中 解得，故A错误； B．恒星A与B的动能之差为 其中，，， 解得，故B正确； C．恒星AB间引力原来为 质量变化后为 恒星AB间引力将减小，故C错误； D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线所需时间为t，由于A星转过的圆心角等于B星转过的圆心角，因此当A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A星转过的圆心角与C星转过的圆心角之和为，有 即 解得，故D正确。 故选BD。 12．某气象卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为，其轨道平面与地球赤道平面的夹角为。从北极点往下看，该气象卫星的运行方向与地球自转方向相同。已知地球的自转周期为，地球同步卫星的轨道半径为，地球可视作半径为的均质圆球，则下列说法正确的是（     ） A．该卫星绕地球运行的轨道半径为 B．该卫星可以监测到北极点的气象情况 C．该卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空的时间间隔可能为 D．该卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空的时间间隔可能为 【答案】AC 【难度】0.38 【详解】A．设卫星的轨道半径为，对该气象卫星和地球同步卫星，根据开普勒第三定律，有 得，A正确； B．依题意，卫星轨道平面与赤道平面夹角为，卫星能到达的最高纬度为，无法到达北极点（纬度）上空，不能监测北极点的气象情况，B错误； CD．依题意，该气象卫星的运行方向与地球自转方向相同，则卫星轨道在赤道平面的投影的运动方向与地球自转方向相同，设该卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空的时间间隔为，此过程卫星转过的角度为，根据角速度的公式，有 得 设地球在同一过程中，转过的角度为，同理可得 卫星两次经过赤道上同一建筑物正上空时，卫星和地球转过的角度的关系为 得 依题意，卫星轨道平面与赤道平面的夹角为，则卫星每绕地球一圈会两次穿过赤道平面，故时间间隔还需满足 综上，存在最小正整数解，时，，C正确，D错误。 故选AC。 13．我国的嫦娥工程现已完成月球样品采运任务，月球有类似于地球的南北两极和纬度，月球半径为，表面重力加速度为，不考虑月球自转。如图为月球着陆器降落月球表面的过程，着陆器先在圆形轨道Ⅰ上绕月匀速圆周运动，运动至月球北极正上方位置时突然改变速度，然后沿着椭圆轨道Ⅱ无动力运动落至纬度为的处。已知椭圆轨道上的任意点到两焦点的距离之和为定值（半长轴的两倍），两焦点之间的距离是焦距。假设月球质量集中在球心点，如果着陆器沿该椭圆轨道运动的周期最短，则（     ） A．着陆器在位置要减速才能进入椭圆轨道Ⅱ B．位置离月面的高度为 C．椭圆轨道Ⅱ的周期为 D．若位置离月面的高度为，变速后的速度为，则着陆器到达处的速度为 【答案】AC 【难度】0.35 【详解】A．着陆器在位置由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，做近心运动，需要减速，故A正确； B．根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，椭圆的半长轴为，焦距为，如图所示。 根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律 可知，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，由于为月球半径，则最短时，最小，即垂直时，最小。 根据几何关系可得， 又 联立得，，，故B错误； C．假设有一个质量为的物体贴着月球表面绕月飞行，不考虑月球自转，万有引力等于重力，万有引力充当向心力，可得 解得 根据开普勒第三定律 在圆形轨道上有 对于同一个中心天体值相同，可得 所以，故C正确； D．由动能定理 因为运动过程中，距离月球中心的距离变小，万有引力增大，不考虑月球自转，万有引力等于重力，所以重力加速度不断增大，最大为，可得 联立得，故D错误。 故选AC。 14．宇宙中存在一种特殊的天体——双星系统，其特点是绕共同的圆心做周期相等的匀速圆周运动，间距不变。如图1就是一个双星系统，质量相等的甲、乙两颗恒星绕圆心O做匀速圆周运动，圆面内的固定点P与O点间的距离等于两颗恒星间的距离，测得P点到甲、乙所在直线的距离x与恒星转动时间t的关系图像如图2所示，已知引力常量为G，结合图2所给的其他已知信息分析，下列说法正确的是（　　） A．双星运动的周期为 B．双星间的距离为x0 C．恒星甲的质量为 D．恒星甲的质量为 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】A．质量相等的甲、乙两颗恒星绕圆心O做匀速圆周运动，甲、乙的运动周期相同，运动半径相同，根据图像可知， 可知双星的运动周期为，故A错误； B．圆面内的固定点P与O点间的距离等于两颗恒星间的距离，P点到甲、乙所在直线最远时，O、P连成的直线与两颗恒星连线垂直并相交于O点，所以两颗恒星间的距离为，故B正确； CD．根据万有引力公式 解得恒星甲的质量，故C错误，D正确。 故选BD。 15．北京时间2026年1月16日04时10分，在太原卫星发射中心海上发射团队的组织指挥下，星河动力航天公司于山东附近海域圆满完成谷神星一号海射型（遥七）·希望工程号（任务名：望海潮）发射任务，顺利将“天启星座”06组卫星送入预定轨道。假设其中一颗卫星的简化变轨过程如图所示，先将卫星送入圆形轨道I，在点发动机点火加速，卫星由轨道I进入椭圆轨道II，卫星在椭圆轨道II上经过点再次变轨进入圆轨道III。已知轨道I的半径为，轨道III的半径为，卫星绕轨道III运行周期为，地球的质量为，卫星质量为，万有引力常量为。 (1)求卫星在轨道II运行周期。 (2)在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段圆弧，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆弧的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，卫星运行的引力势能（为卫星到地心的距离）。求卫星在椭圆轨道上点处的机械能。 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【详解】（1）由开普勒第三定律，轨道II与轨道III绕同一中心天体运动，有 解得 （2）设卫星在轨道II上点的速度为，在点处万有引力沿轨迹法线方向提供向心力，有 由 得 卫星在点的动能为 卫星在点的引力势能为 所以卫星在点的机械能为 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $