专题01 匀变速直线运动（专项训练）高中物理力学竞赛

**基本信息** 以匀变速直线运动公式为基础，通过图像分析、临界条件等方法系统解决竞赛五大题型，构建从基础公式到综合模型的递进逻辑，培养运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|8个核心概念|公式体系+图像意义+模型条件|从基本公式到特殊运动再到综合应用| |图像分析类|1例题+巩固题|斜率/面积物理意义|运动规律可视化表达| |自由落体与竖直上抛|1例题+巩固题|对称性+分段分析法|重力场中匀变速运动的特例| |多过程综合类|1例题+巩固题|分段分析+衔接条件|多阶段运动的逻辑串联| |追及相遇类|1例题+巩固题|临界条件（速度相等）|相对运动中的位移关系| |特殊模型类|1例题+巩固题|模型转化（如蚂蚁碰撞等效）|实际问题的物理建模|

物 理 力学竞赛专题 专题一 匀变速直线运动的研究 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01 图像分析类 题型02 自由落体与竖直上抛 题型03多过程综合类 题型04 追及相遇类 题型05 特殊模型类 四、巩固提升 五、练习建议 核心知识点 1. 匀变速直线运动的基本公式 • 速度公式：v = v₀ + at • 位移公式：x = v₀t + ½at² • 速度位移关系：v² - v₀² = 2ax • 平均速度：v̄ = (v₀ + v)/2 = x/t 2. 运动图像分析 • v-t图像：斜率表示加速度，面积表示位移 • a-t图像：面积表示速度变化量 • x-t图像：斜率表示速度 3. 自由落体运动 • 初速度为零的匀加速直线运动 • 加速度为重力加速度g • 公式：v = gt，h = ½gt²，v² = 2gh 4. 竖直上抛运动 • 上升阶段：匀减速直线运动 • 下降阶段：自由落体运动 • 对称性：上升时间=下降时间，上升高度=下降高度 5. 多过程问题分析 • 分段分析各阶段的运动性质 • 注意衔接点的速度和位移连续性 • 常用方法：逆向思维、图像法、比例法 6. 追及相遇问题 • 临界条件：速度相等时距离最大或最小 • 判断能否追上：比较位移关系 • 多次相遇：考虑往返运动 7. 相对运动 • 板块模型：摩擦力作用下的相对滑动 • 共速条件：相对速度为零 • 能量转化：摩擦生热Q = f·Δx相对 8. 动量与能量综合 • 弹性碰撞：动量守恒+机械能守恒 • 动能定理：W合 = ΔEk • 功能关系：摩擦力做功转化为内能 思维导图 题型分类 题型一 图像分析类 【题型特点】通过v-t、a-t、x-t等图像分析运动规律，考查图像斜率、面积的物理意义。 【例题】一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【详解】步骤1：分析加速度随时间变化的规律 根据题目中给出的加速度随时间变化的规律图，可以看到加速度在0到1秒内为，在1到2秒内为，之后重复上述加速度。这意味着物体在0到1秒内加速，1到2秒内减速，之后重复前面的运动速度。 步骤2：计算速度随时间变化的规律 由于物体由静止开始运动，其初始速度为0。在0到1秒内，物体以的加速度加速，因此速度随时间线性增加，1秒末速度为1m/s。在1到2秒内，物体以的加速度减速，因此速度随时间线性减少，2秒末速度为0m/s。之后，物体重复前面的运动速度。 步骤3：确定速度随时间变化的图像 根据上述分析，速度随时间变化的图像应该在0到1秒内为一条斜率为1的直线，1到2秒内为一条斜率为的直线，之后重复。因此，正确的图像为选项A。 故选A。 题型二 自由落体与竖直上抛 【题型特点】涉及重力作用下的竖直方向运动，包括自由落体、竖直上抛、竖直下抛等，考查对称性、分段分析等。 【例题】在某次训练时，伞兵（可视为质点）从悬停在距水平地面高度为2915米的飞机上由静止自由落下，经13s后打开降落伞，开伞后到伞兵达到5m/s的安全速度前，可将伞兵在空中的运动视为匀减速直线运动，加速度大小为12.5m/s2，减速到5m/s的速度后做匀速直线运动，最终伞兵以5m/s的速度着陆。全程伞兵的运动轨迹为直线，重力加速度大小取g=10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．若减轻伞兵背的降落伞质量，伞兵做自由落体运动时会运动得更慢 B．伞兵全程的运动时间为289s C．伞兵在匀减速直线运动的最后一秒内、倒数第二秒内、倒数第三秒内的位移大小之比为1∶3∶5 D．若伞兵要以最短时间实现安全着陆，其全程的最大速度大小为180m/s 【答案】D 【难度】0.4 【详解】A．自由下落阶段，伞兵仅受重力作用，加速度为，与质量无关。因此，减轻降落伞质量不会影响自由下落的时间或速度，故A错误； B．自由下落阶段：时间，位移为 末速度 匀减速阶段：初速度，末速度，加速度，时间 位移 匀速阶段：剩余位移 时间 总时间，故B错误； C．匀减速阶段共10秒，计算倒数第1、2、3秒内的位移： 第10秒内：平均速度 位移为； 第9秒内：平均速度 位移为； 第8秒内：平均速度 位移； 位移比为，故C错误； D．为最短时间，伞兵应自由下落至最大速度后立即减速至，总位移满足 解得，故D正确。 故选D。 题型三 多过程综合类 【题型特点】涉及多个运动阶段的组合，如先加速后减速、斜面与水平面结合等，考查分段分析和衔接条件。 【例题】如图为货物“绿色”传输的示意图。工人将货物甲从倾斜轨道AB的顶端静止释放，货物甲无机械能损失地滑上静止在水平面上的节能反弹车，货物甲运动到反弹车的最右端时恰好与反弹车共速，此时反弹车与吸能反弹装置碰撞，货物甲滑上水平工作台，并与静止在C点的货物乙发生弹性正碰，碰撞后货物乙最终停在D点，而反弹车经碰撞后反弹，恰好能返回B点。已知轨道AB的距离、倾角，反弹车右端与反弹装置的距离，工作台C、D间的距离，货物与轨道AB、工作台的动摩擦因数，反弹车与地面的摩擦力为反弹车对地面压力的0.1倍，货物甲、乙是可以看成质点的相同货物，不计空气阻力，重力加速度取，，，求： (1)货物甲在B点的速度大小； (2)反弹车与吸能反弹装置碰撞后的动能与碰撞前的动能比值； (3)货物甲的质量与反弹车的质量比值。 【答案】(1) (2)0.2 (3)1.5 【难度】0.4 【详解】（1）设货物甲的质量为，货物甲从A点到达B点的过程中，由动能定理得 解得货物甲在B点的速度大小为 （2）设货物甲运动到反弹车的最右端时与反弹车刚好共速的速度为，两货物发生弹性碰撞，碰后的速度分别为和，则根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 联立解得， 货物乙从点运动到点的过程中，由动能定理得 解得 设反弹车的质量为，碰后反弹车的速度设为，反弹车从点到达点的过程中，由动能定理得 解得 所以反弹车与吸能反弹装置碰撞后的动能与碰撞前的动能的比值为 （3）货物甲从点到达点的过程中，设时间为，的距离设为，则根据匀变速直线运动的规律可得货物甲的位移为 反弹车的位移为 联立解得， 货物甲从B点到达C点的过程中，设加速度大小为，货物甲与反弹车间的动摩擦因数为，则有 由运动学公式有 联立解得 反弹车从B点到达C点的过程中，设加速度大小为，则有 由运动学公式有 联立解得货物甲的质量与反弹车的质量的比值为 题型四 追及相遇类 【题型特点】涉及两个或多个物体的相对运动，考查临界条件、位移关系、能否追上等判断。 【例题】如图所示，斜面与足够长的水平面平滑连接于点，物块乙静置在靠近斜面底端点的水平面上，物块甲初始位置与点的距离。某一时刻甲、乙同时从静止开始运动，已知甲沿斜面向下以加速度大小做匀加速直线运动，乙在外力作用下向右沿水平面以加速度大小做匀加速直线运动，当甲到达点时乙撤去外力。已知甲通过点时速度大小不变，求： (1)求甲运动到点与乙之间的距离； (2)若甲进入水平面因摩擦阻力以加速度大小做匀减速运动，乙撤去拉力后也因摩擦阻力以加速度大小做匀减速运动。 ①试判断甲能否追上乙？（写出判断理由） ②若能追上，求追上时甲在水平面上的运动时间；若追不上，试分析甲滑上水平面后与乙间的距离如何变化，并求出距离的最小值及最终距离。 【答案】(1) (2)①甲追不上乙，见解析；②甲滑上水平面后两者最小距离为，最终距离为 【难度】0.4 【详解】（1）甲在斜面上匀加速，得 乙在水平面上匀加速，得 即甲运动到B点时二者间距为 （2）①时，甲的速度为，乙的速度为 设经时间，甲乙速度相等 得， 甲运动位移为 乙运动位移为 ，此时，甲、乙之间还有2m的距离，以后因为甲的加速度大于乙的加速度，甲的速度要小于乙的速度，故甲追不上乙。 ②共速前，甲速大于乙速，间距不断减小，速度相等时间距最小 共速后甲速就一直小于乙速，间距又开始增大，甲先静止，乙继续运动直到它们都静止。 甲在水平面上运动的总位移为 乙在水平面上减速运动的位移为 甲乙最终距离为 综上所述，甲滑上水平面后，甲乙间距离从不断减小到，再增大到结束，最终二者间距为。 题型五 特殊模型类 【题型特点】涉及弹簧、蚂蚁碰撞、深坑打夯等特殊物理模型，考查建模能力和创新思维。 【例题】在一根长为L的棍子上有无数只蚂蚁，它们有的向左爬，有的向右爬，所有蚂蚁爬行速率相同；当两个蚂蚁头碰头的时候，他们立马反向，然后继续以原来速度爬行；如果没有碰头，一只蚂蚁从棍子一端到另一端运动的时间是15s；蚂蚁一旦到达棍子端点，就掉下去了。问多长时间后棍子上没有蚂蚁了？ 【答案】 【难度】0.4 【详解】建立直线坐标，以向右为正方向如图1所示，先假设棍子上只有两只蚂蚁，将蚂蚁看成质点，分别位于在处的蚂蚁A和处的蚂蚁B，它们以相同的速率相向而行，两只蚂蚁都可以看成匀速直线运动，用x-t图像很容易描述该过程，如图3所示。易见，当时，两只蚂蚁在处交换速度；当或，蚂蚁就从棍子上掉下； 在时，蚂蚁A从处掉下，蚂蚁B从处掉下。从图2中易见，两个蚂蚁碰撞后各自反方向爬行，跟他们没有碰撞，一直匀速爬行是等价的。 将蚂蚁数量增加为4只，蚂蚁C位于处，向右运动，蚂蚁D位于处，向左运动，如图3所示。作出x-t图像如图4所示，可以看出在和7.5s时各有一次碰撞并交换速度，在时有两次碰撞并交换速度；时蚂蚁A和蚂蚁B分别从和处掉下，时蚂蚁C和蚂蚁D分别从两端掉下。若蚂蚁C向左运动，蚂蚁D向右运动，x-t图像如图5所示，在有两次碰撞，在7.5s时有一次碰撞，时蚂蚁A和蚂蚁B分别从两端掉下，时所有蚂蚁掉下。 将蚂蚁数量增加为6只，两端各有一只蚂蚁A和蚂蚁B相向运动，在和有两只蚂蚁别为C、与D、，蚂蚁C和蚂蚁D向右运动，蚂蚁和D向左运动。将图4和图5合并就可以得到该情景的x-t图像如图6所示，可以看出所有碰撞都发生在7.5s内，在5s、10s、15s各有两只蚂蚁从棍子上掉下。 继续在棍子的不同位置增加蚂蚁数量，我们很容易得到x-t图像如图7；根据图像的对称性可知，当蚂蚁的数量为无数只，x-t图像变得更密集，形状与图7相同；这样就很清楚地看到在7.5s内所有蚂蚁结束碰撞，并且有一半的蚂蚁掉下棍来；剩下的蚂蚁在7.5s后分别由中间朝两头以相同的速率运动，并依次掉下，在15s所有蚂蚁从棍子上掉下。 巩固提升 1．自同一点以相同的初速度先后竖直向上抛出两个物体a和b。分别用和表示在同一时刻物体a、b的高度差和速度差的绝对值，在物体b被抛出至两物体相撞这一段时间内（　　） A．不断减小，也在不断减小 B．不断减小，保持不变 C．在a到达最高点以前保持不变，到达最高点以后不断减小，始终不断减小 D．在a到达最高点以前保持不变，到达最高点以后不断减小，保持不变 【答案】B 【难度】0.4 【详解】设ab的时间差值为，则在t时刻a的速度为 物体b的速度为 故ab的速度差值为，是恒定值。 a的位移为 b的位移为 故ab位移差值为，会随时间不断减小。 所以ACD说法错误，故选B。 2．2023年1月16日，时速600公里的常导磁悬浮列车亮相《奇妙中国》，如图为该列车进站时的图像，进站过程可视为匀变速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．常导磁悬浮列车在进站时的速度为 B．常导磁悬浮列车进站时的加速度大小为 C．常导磁悬浮列车在时刻安全停靠到站台 D．阴影部分的面积表示常导磁悬浮列车在时间内通过的位移 【答案】C 【难度】0.4 【详解】A．常导磁悬浮列车进站过程可视为匀变速运动，根据匀变速运动规律 整理可得 结合图像可知，常导磁悬浮列车在进站时的速度为，故A错误； B．图像的斜率 解得常导磁悬浮列车进站时的加速度为，常导磁悬浮列车进站时的加速度大小为，故B错误； C．由匀变速直线运动规律和上述分析可知，常导磁悬浮列车靠站时间为 故C正确； D．由匀变速直线运动规律和上述分析可知，常导磁悬浮列车在时间内通过的位移为 而阴影部分的面积为 阴影部分的面积与常导磁悬浮列车在时间内通过的位移不相同，故D错误。 故选C。 3．如图所示，小孩把锥形桶放到喷泉上，得到一种新型的玩法。水柱从地面的喷口持续以速度竖直向上喷出，把一个质量为M的锥形桶顶在空中，单位时间从喷泉口喷出的水质量为（设水柱喷到桶顶后以相同的速率反弹，忽略对桶侧壁的影响，重力加速度为g）。锥形桶悬停时，离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【详解】设锥桶悬停时，水柱到达锥桶处的速度为v(竖直向上)，单位时间内，冲击锥桶的水的质量为。水柱碰到锥桶后以速率v反向弹回(速度变为-v) 根据动量定理： 化简得： 锥桶悬停时，水的作用力与重力平衡： 解得 水柱从喷口以初速度竖直上抛，到达高度h时速度为v，由运动学公式： 代入 解得 故选B。 4．嫦娥六号利用向下喷射气体产生的反作用力，能有效地控制探测器着陆过程中的运动状态。其中一段着陆过程中，探测器减速的加速度大小随时间变化的关系如图所示，时刻探测器的速度恰好为零。下列说法中正确的是（　　） A．时间内，探测器做匀减速直线运动 B．时刻探测器的速度大小为 C．探测器在时间内的位移大小是时间内的位移大小的4倍 D．时间内，探测器的位移大小为 【答案】D 【难度】0.4 【详解】A．时间内，加速度均匀减小，故A错误； B．图像用面积求速度变化量，时刻探测器的速度恰好为零，时间内速度的变化量 所以时刻探测器的速度大小为，故B错误； C．时间内速度的变化量 时刻探测器的速度大小为 时间内速度的变化量 0时刻探测器的速度大小为 画出图像如图，由面积法得，时间内的位移大小 时间内的位移大小 由于时间内缺少的面积比时间内缺少的面积多，所以，故C错误； D．时间内，探测器做匀减速直线运动，位移大小，故D正确。 故选D。 5．某同学在一次观看跳水比赛时，想到了一些问题。他将运动员理想化为一个长度的细长圆柱体，以的初速度从跳台竖直向上起跳，向前的速度忽略不计，竖直起跳后没有做任何动作，始终保持竖直状态。运动员从脚接触水到身体全部入水的过程，其速度与入水深度的关系满足（其中为脚入水时的速度）；运动员身体全部入水后做加速度大小为的匀减速直线运动，直到停止均未接触水池底部，重力加速度取。则下列说法正确的是（　　） A．起跳瞬间，运动员所受支持力大于跳台所受压力 B．运动员身体全部入水时的速度大小为 C．水池中的水至少深 D．运动员从起跳至到达最低点的时间为 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】A．起跳瞬间，运动员所受支持力与跳台所受压力是相互作用力，大小相等，A错误； B．从起跳到脚接触水面所经历的时间为t，，得 脚入水时的速度为， 根据 x=L时，全身入水，此时的速度，B正确； C．全身入水后做匀减速运动，再下降的深度 水的最小深度，C错误； D．入水的过程中图像如图所示，图像与x轴围成的面积等于入水所用的时间 入水时间，入水后到停止所用的时间 从起跳到达最低点的过程的总时间，D正确。 故选BD。 6．一物体做直线运动，0时刻位于坐标原点，运动过程中的图像如图所示，一段过程中纵坐标的变化量为m，对应的横坐标变化量为n，且这个过程对应的时间间隔为，这段过程的末时刻与0时刻的时间间隔为4，则（　　） A．物体做匀加速直线运动，加速度等于 B．从零时刻开始，第一个内位移大于 C．第内位移为 D．零时刻速度为 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】A．根据 整理得 可知图像斜率 解得，故A错误； B．若物体做初速为零的匀加速直线运动，根据题意可知，物体运动的时间间隔为，而第四个内的位移为n，由初速为零的匀加速直线运动规律可知 可知第一个内的位移 根据图像纵截距可知物体初速度并不为零，故第一个内的位移大于，故B正确； CD．由题意可知这一段过程的位移为n，对应的时间为，则这段过程的平均速度为 根据匀变速直线运动的规律可知，中点时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，则这段过程中点时刻的瞬时速度为 解得零时刻速度为 则第内位移 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 7．如图所示，倾角的光滑斜面上有一质量的足够长的木板A，在A的上端有一质量的物块B（可视作质点），物块B与木板A间的动摩擦因数，斜面底端有一挡板P，木板与挡板P碰撞后会等速率反弹。现将木板与物块同时由静止释放，释放时木板前端与挡板相距，取重力加速度大小，，。 (1)木板A第1次碰挡板P时的速度多大； (2)求从木板A第1次碰到挡板到木板A第1次减速为零的时间；并求出在此过程中，物块B与木板A间因摩擦产生的热量。 【答案】(1)2m/s (2)0.25s；6.5J 【难度】0.4 【详解】（1）分析可知，释放后A、B一起加速下滑，由牛顿第二定律 可得 设木板碰挡板时速度为v，则 代入数据解得 （2）碰后木板A减速上滑，设其加速度大小为，由牛顿第二定律 解得 故所求时间 木板A上滑距离 此过程中，物块B加速下滑，设其加速度大小为，由牛顿第二定律 解得 物块B下滑距离 故摩擦生热 8．如图所示，质量分别为和的两物块栓接在轻弹簧两端（劲度系数为），初始时静止在水平面上，现对物块施加竖直向上的外力，使其以恒定加速度做匀加速直线运动，直至物块刚要离开水平面（即对水平面的压力为零）。试分析： (1)物体做匀加速直线运动的时间？ (2)分析拉力和物体的位移大小间的定量关系？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【详解】（1）初始状态：对受力分析有 解得 此时弹簧处于压缩状态。 末状态与地面分离的瞬间对受力分析有： 解得 此时弹簧处于伸长状态。 从初态到末状态，做匀加速直线运动： 由以上几式解得时间 分离的瞬间的速度 （2）当力刚作用在物块上的瞬间对有 解得 当弹簧在压缩阶段有 解得 当弹簧在伸长阶段有 解得 综上得：外力随的位移均匀增加（线性正相关）。 9．一辆摩托车在平直的道路上以某一速度匀速行驶。在行驶过程中，骑手突然看见前方有一位老人正在过马路，立即刹车。刹车过程中，摩托车的加速度随时间的变化过程可简化为图1中的图线。如图中，时间段为从骑手发现老人到采取刹车的反应时间；时间段为刹车系统的启动时间；从时刻开始摩托车的刹车系统开始稳定工作，直到摩托车停止前进。已知时刻之后的第1s内摩托车的位移，第4s内的位移。 (1)求时刻摩托车的速度大小及此后的加速度大小； (2)已知，求骑手发现警示牌到采取措施的反应距离。 【答案】(1)， (2) 【难度】0.4 【详解】（1）在时刻之后摩托车做匀减速直线运动，若在第4s末摩托车的速度恰好为零，则第1s内摩托车的位移与第4s内的位移的比值为7:1，而实际上第1s内摩托车的位移与第4s内的位移的比值为 由此可知，摩托车在第4s末之前速度就已经为零，停止了运动。设时刻摩托车的速度为，在时刻以后经过时间t，速度减到0，摩托车的加速度大小为a。 运用逆向思维将运动看作反方向的初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式可得：第4s内的位移 第1s内的位移 解得， 则 （2）由a-t图象与时间轴围成的面积表示速度变化量，可得时间段摩托车速度减小量为 时间段摩托车的速度为 骑手发现警示牌到采取措施的反应距离为 10．将小球以30m/s的初速度竖直上抛，每隔1s抛出一球。假设空气阻力可以忽略不计，而且升、降球并不相碰（g取）。问： (1)最多能有几个球在空中？ (2)设在时将第一个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？ 【答案】(1)6个 (2)见解析 【难度】0.15 【详解】（1）由题意 每隔1s抛出一球，容易得出最多能有6个球在空中。 （2）两球在空中相遇时，即是达到同一高度（位置）的时刻。 解法1：球1与其它各球机遇时，即到抛出点两球位移相同，则当球1与球2相遇时 即 当球1与球3相遇时， 即 同理可得球1与球4、5、6相遇时有 将代入以上各式可分别求得球1与其它各球相遇的时刻是 解法2：当球1与球2相遇时，有 即 当球1与球3相遇时，有 即 同理有球1与球4，5.6相遇时速度关系式（略）。由以上各式同样可解得 解法3：分析知球1与其它各球相遇一定发生在球从最高点下落过程中。球1上升到最高点的时间 因为上抛各球的速度相同。根据时间对称性。 当球1与球2相遇时，球1从最高点到相遇位置的时间，应等于球2从相遇位置到最高点的时间，即 且。 所以 则球1、2相遇时刻 同理球1与球3相遇时 且 所以 则球1、3相遇时刻为 以此类推求出 解法4：取第一球抛出时间。作出6个球运动的速率一时间图像如图。则图线①与其它各线交点对应的横会标值即为所求时刻。 利用此图还可算出任意两球相遇的时刻，如第3球与第5球相遇时刻为6s。 11．如图，甲、乙两车在同一水平道路上，开始时乙车在甲车前处，该时刻甲车匀速行驶，乙车停在路边，甲车开始匀减速运动准备停车。已知从甲车减速时开始计时，第1秒内位移为32m，第5秒内位移为1m。从甲车减速开始1秒末乙车开始运动，与甲车同向行驶，其v-t图像如图所示，甲乙相遇时会错车而过，不会相撞。求： (1)乙车从静止开始加速到最大速度时间内，行驶的位移大小和加速度大小； (2)甲车匀减速运动的加速度大小和从开始减速至停下的时间； (3)甲车刚开始减速时的速度大小； (4)从甲车减速时开始计时，甲乙两车相遇的时刻。 【答案】(1)18m，4m/s2 (2)8m/s2，0.5s (3)36m/s (4)2s或4.75s 【难度】0.4 【详解】（1）乙车从静止加速到最大速度时间内，利用平均速度计算行驶的位移得 设乙车加速度为a2，由图像斜率得 （2）设甲车减速第5s末速度为v，甲车减速的加速度大小为a，按甲车逆运动为匀加速，第5s内 第1s内             且     将 代入以上三式，联立解得 说明第5秒内甲车已经停下。设第5秒内甲车运动了△t，则     解得 甲运动总时间t甲=4s+△t=4.5s （3）设甲车刚减速时速度为 v0，则 解得 （4）设从甲车减速开始经过t1甲车乙车相遇，由位移公式     甲乙两车的位移关系     解得 （合理）或 （乙车已匀速，不合理舍去）     由题意和以上结果可知，甲车乙车还会第二次相遇，设甲车减速阶段位移为 此过程中乙车的位移为 解得 可得     即甲车停下时甲车乙车还没有第二次相遇，之后甲静止，乙车匀速运动，即 得t'=0.25s 甲车乙车第二次相遇时间为t=t'+4s+△t=4.75s 12．如图所示，一足够长的木板在水平面上滑动，速度时，将一相对于地面静止的物块轻放到木板右端，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间动摩擦因数，g取10m/s2，求： (1)若地面光滑，经过多长时间物块相对木板停止运动； (2)若地面光滑，从木板开始运动到两者相对静止，物块发生的位移大小； (3)若地面光滑，从木板开始运动到两者相对静止，板块之间的相对位移d； (4)若木板与地面间动摩擦因数，木板与物块相对静止后还能向前滑行的距离。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.4 【详解】（1）放上物块后，由牛顿第二定律， 解得， 设经过时间速度相同，根据速度时间公式得 解得 （2）根据匀变速直线运动位移与时间的关系 解得 （3）根据匀变速直线运动位移与时间的关系 解得 板块之间的相对位移 （4）若木板与地面间动摩擦因数为，由牛顿第二定律 解得 设经过时间速度相同，根据速度时间公式得 解得 共同速度为 共速后两者一起运动，由牛顿第二定律 解得 由速度与位移的关系，木板与物块相对静止后还能向前滑行的距离 13．“深坑打夯机”的工作示意图如图所示。首先，电动机带动两个摩擦轮匀速转动，将夯杆从深坑提起；当夯杆的下端刚到达坑口时，两个摩擦轮将夯杆松开；夯杆因惯性继续运动，在自身重力的作用下，落回坑底；这样周而复始地进行，就可以达到将坑底夯实的目的。已知两摩擦轮边缘的线速度v=4 m/s，对夯杆的压力均为F=2×104 N，与夯杆的动摩擦因数μ=0.3，夯杆的质量m=1.0×103 kg，坑深h=6.4 m，重力加速度g=10 m/s2，不计夯实坑底引起的深度变化，不计空气阻力，请计算： (1)每个打夯周期中，夯杆受摩擦轮带动的作用时间t； (2)每个打夯过程的周期T； (3)每个打夯周期中，因带动夯杆向上运动，电动机多消耗的电能。 【答案】(1)2.6s (2)4.2s (3)120000J 【难度】0.4 【详解】（1）刚开始，夯杆受到向上的摩擦力      根据牛顿第二定律f                    解得 夯杆加速到与摩擦轮线速度 根据匀变速运动规律       可得加速时间          加速位移 匀速上升位移 同理可得匀速上升时间     所以夯杆在被摩擦轮带动上升阶段用时t （2）方法1：夯杆竖直上抛阶段，夯杆以速度做竖直上抛运动，则有（，）     可得上升时间      上升高度       夯杆下落阶段，从最高点下落的总高度 根据自由落体运动规律 可得下落时间        打夯周期      方法2：竖直上抛及回落过程的位移为（以向上为正方向）。 根据公式 可得（时间不能为负，另解舍去） 打夯周期 （3）方法1：夯杆在坑口时，动能     重力势能    机械能增加量    摩擦轮在加速阶段的位移 夯杆加速位移 相对位移 则克服摩擦力产生的热量      电动机多消耗的电能      方法2：摩擦轮多克服的摩擦力做的功为=W克1+ W克2 其中， 代入数据解得 14．红绿灯是城市里交叉路口的重要交通指挥工具，某城市道路汽车行驶限速＝15 m/s，如图是该市一个十字路口前红灯时的情况，第一辆车的车头与停止线齐平，该路口绿灯时间是Δt＝30s，已知每辆车长均为L＝4.5m，绿灯亮后，每辆汽车都以加速度a＝1.5m/s2匀加速到最大限速，然后做匀速直线运动；为保证安全，前后两车相距均为L0＝1.5 m，绿灯亮时第一辆车立即启动，后一辆车启动相对前一辆车均延后t0＝1s。交通规则：黄灯亮时，只要车头过停止线就可以通行。求： (1)绿灯亮后，第一辆汽车的车尾经过多长时间到达停止线？ (2)绿灯亮后，停止线后第3辆车的车头经过多长时间到达停止线？ (3)绿灯亮后，通过计算判断：停止线后第17辆车在本次绿灯期间能否通过该路口？ 【答案】(1) (2)6s (3)见解析 【难度】0.4 【详解】（1）绿灯亮后，设第一辆汽车的车尾经过t秒匀加速通过停止线，则 解得 汽车加速到最大限速的时间 可知假设成立，即绿灯亮后，第一辆汽车的车尾经过s到达停止线。 （2）在绿灯亮后，设第三辆车等待时间为，运行时间为，则 因为 解得 停止线后第3辆车车头过停止线的时间。 （3）绿灯亮后，设第17辆车经过时间t3启动，车头与停止线距离为x1，则t3＝16t0＝16s 则x1＝16(L＋L0)＝96m 设第17辆车经过时间t4速度达到限速vm＝15m/s，通过的距离为x2，则vm＝at4， 联立解得t4＝10 s，x2＝75 m 匀速时间t5＝＝1.4 s＜Δt－t3－t4 所以第17辆车在本次绿灯能通过该路口。 15．如图所示，竖直平面内，光滑斜面与水平轨道由一小段光滑圆弧平滑连接，长。以水平轨道末端为坐标原点建立平面直角坐标系轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，坐标系内点坐标为，），点左下方的点坐标为。一小物块从斜面上不同位置由静止下滑，通过坐标系中的不同位置。小物块与水平轨道间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若小物块刚好运动到点就停下，求小物块在水平轨道上运动的时间； (2)若小物块通过点，求小物块下滑初始位置相对水平轨道的高度； (3)若小物块下滑初始位置相对水平轨道高度为时通过点，且通过点的动能与通过点的动能相等。判断与的大小关系，并求与的关系式。 【答案】(1) (2) (3)； 【难度】0.4 【详解】（1）由受力分析可知，小物块在水平轨道上 解得，可知小物块在上做匀减速直线运动且刚好到点停下，则 解得 （2）若小物块能过点，则小物块过点后做平抛运动，由平抛水平方向位移 满足公式 竖直方向位移且满足公式 联立可解得，即平抛运动的初速度也是到点的速度。从初始位置到点，由动能定理可知 解得 （3）由图可知，由于，根据自由落体运动规律，可判断小物块做平抛运动时间，由于，由匀速运动规律，可判断小物块在点速度，小物块从点到点由动能定理 可判断。小物块从点到点做平抛运动，水平方向 竖直方向 可得 小物块从点到点做平抛运动，同理可得，由于通过点的动能和点动能相等 由上一问知，，解得 由，解得 练习建议 1. 先独立完成所有题目，不要急于看答案 2. 对于错题，标注错误原因（概念不清/计算错误/思路偏差） 3. 重点复习图像分析类和追及相遇类题目 4. 多过程综合题要画出运动过程示意图 5. 定期回顾，形成知识网络 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 物 理 力学竞赛专题 专题一 匀变速直线运动的研究 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01 图像分析类 题型02 自由落体与竖直上抛 题型03多过程综合类 题型04 追及相遇类 题型05 特殊模型类 四、巩固提升 五、练习建议 核心知识点 1. 匀变速直线运动的基本公式 • 速度公式：v = v₀ + at • 位移公式：x = v₀t + ½at² • 速度位移关系：v² - v₀² = 2ax • 平均速度：v̄ = (v₀ + v)/2 = x/t 2. 运动图像分析 • v-t图像：斜率表示加速度，面积表示位移 • a-t图像：面积表示速度变化量 • x-t图像：斜率表示速度 3. 自由落体运动 • 初速度为零的匀加速直线运动 • 加速度为重力加速度g • 公式：v = gt，h = ½gt²，v² = 2gh 4. 竖直上抛运动 • 上升阶段：匀减速直线运动 • 下降阶段：自由落体运动 • 对称性：上升时间=下降时间，上升高度=下降高度 5. 多过程问题分析 • 分段分析各阶段的运动性质 • 注意衔接点的速度和位移连续性 • 常用方法：逆向思维、图像法、比例法 6. 追及相遇问题 • 临界条件：速度相等时距离最大或最小 • 判断能否追上：比较位移关系 • 多次相遇：考虑往返运动 7. 相对运动 • 板块模型：摩擦力作用下的相对滑动 • 共速条件：相对速度为零 • 能量转化：摩擦生热Q = f·Δx相对 8. 动量与能量综合 • 弹性碰撞：动量守恒+机械能守恒 • 动能定理：W合 = ΔEk • 功能关系：摩擦力做功转化为内能 思维导图 题型分类 题型一 图像分析类 【题型特点】通过v-t、a-t、x-t等图像分析运动规律，考查图像斜率、面积的物理意义。 【例题】一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 自由落体与竖直上抛 【题型特点】涉及重力作用下的竖直方向运动，包括自由落体、竖直上抛、竖直下抛等，考查对称性、分段分析等。 【例题】在某次训练时，伞兵（可视为质点）从悬停在距水平地面高度为2915米的飞机上由静止自由落下，经13s后打开降落伞，开伞后到伞兵达到5m/s的安全速度前，可将伞兵在空中的运动视为匀减速直线运动，加速度大小为12.5m/s2，减速到5m/s的速度后做匀速直线运动，最终伞兵以5m/s的速度着陆。全程伞兵的运动轨迹为直线，重力加速度大小取g=10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．若减轻伞兵背的降落伞质量，伞兵做自由落体运动时会运动得更慢 B．伞兵全程的运动时间为289s C．伞兵在匀减速直线运动的最后一秒内、倒数第二秒内、倒数第三秒内的位移大小之比为1∶3∶5 D．若伞兵要以最短时间实现安全着陆，其全程的最大速度大小为180m/s 题型三 多过程综合类 【题型特点】涉及多个运动阶段的组合，如先加速后减速、斜面与水平面结合等，考查分段分析和衔接条件。 【例题】如图为货物“绿色”传输的示意图。工人将货物甲从倾斜轨道AB的顶端静止释放，货物甲无机械能损失地滑上静止在水平面上的节能反弹车，货物甲运动到反弹车的最右端时恰好与反弹车共速，此时反弹车与吸能反弹装置碰撞，货物甲滑上水平工作台，并与静止在C点的货物乙发生弹性正碰，碰撞后货物乙最终停在D点，而反弹车经碰撞后反弹，恰好能返回B点。已知轨道AB的距离、倾角，反弹车右端与反弹装置的距离，工作台C、D间的距离，货物与轨道AB、工作台的动摩擦因数，反弹车与地面的摩擦力为反弹车对地面压力的0.1倍，货物甲、乙是可以看成质点的相同货物，不计空气阻力，重力加速度取，，，求： (1)货物甲在B点的速度大小； (2)反弹车与吸能反弹装置碰撞后的动能与碰撞前的动能比值； (3)货物甲的质量与反弹车的质量比值。 题型四 追及相遇类 【题型特点】涉及两个或多个物体的相对运动，考查临界条件、位移关系、能否追上等判断。 【例题】如图所示，斜面与足够长的水平面平滑连接于点，物块乙静置在靠近斜面底端点的水平面上，物块甲初始位置与点的距离。某一时刻甲、乙同时从静止开始运动，已知甲沿斜面向下以加速度大小做匀加速直线运动，乙在外力作用下向右沿水平面以加速度大小做匀加速直线运动，当甲到达点时乙撤去外力。已知甲通过点时速度大小不变，求： (1)求甲运动到点与乙之间的距离； (2)若甲进入水平面因摩擦阻力以加速度大小做匀减速运动，乙撤去拉力后也因摩擦阻力以加速度大小做匀减速运动。 ①试判断甲能否追上乙？（写出判断理由） ②若能追上，求追上时甲在水平面上的运动时间；若追不上，试分析甲滑上水平面后与乙间的距离如何变化，并求出距离的最小值及最终距离。 题型五 特殊模型类 【题型特点】涉及弹簧、蚂蚁碰撞、深坑打夯等特殊物理模型，考查建模能力和创新思维。 【例题】在一根长为L的棍子上有无数只蚂蚁，它们有的向左爬，有的向右爬，所有蚂蚁爬行速率相同；当两个蚂蚁头碰头的时候，他们立马反向，然后继续以原来速度爬行；如果没有碰头，一只蚂蚁从棍子一端到另一端运动的时间是15s；蚂蚁一旦到达棍子端点，就掉下去了。问多长时间后棍子上没有蚂蚁了？ 巩固提升 1．自同一点以相同的初速度先后竖直向上抛出两个物体a和b。分别用和表示在同一时刻物体a、b的高度差和速度差的绝对值，在物体b被抛出至两物体相撞这一段时间内（　　） A．不断减小，也在不断减小 B．不断减小，保持不变 C．在a到达最高点以前保持不变，到达最高点以后不断减小，始终不断减小 D．在a到达最高点以前保持不变，到达最高点以后不断减小，保持不变 2．2023年1月16日，时速600公里的常导磁悬浮列车亮相《奇妙中国》，如图为该列车进站时的图像，进站过程可视为匀变速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．常导磁悬浮列车在进站时的速度为 B．常导磁悬浮列车进站时的加速度大小为 C．常导磁悬浮列车在时刻安全停靠到站台 D．阴影部分的面积表示常导磁悬浮列车在时间内通过的位移 3．如图所示，小孩把锥形桶放到喷泉上，得到一种新型的玩法。水柱从地面的喷口持续以速度竖直向上喷出，把一个质量为M的锥形桶顶在空中，单位时间从喷泉口喷出的水质量为（设水柱喷到桶顶后以相同的速率反弹，忽略对桶侧壁的影响，重力加速度为g）。锥形桶悬停时，离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 4．嫦娥六号利用向下喷射气体产生的反作用力，能有效地控制探测器着陆过程中的运动状态。其中一段着陆过程中，探测器减速的加速度大小随时间变化的关系如图所示，时刻探测器的速度恰好为零。下列说法中正确的是（　　） A．时间内，探测器做匀减速直线运动 B．时刻探测器的速度大小为 C．探测器在时间内的位移大小是时间内的位移大小的4倍 D．时间内，探测器的位移大小为 5．某同学在一次观看跳水比赛时，想到了一些问题。他将运动员理想化为一个长度的细长圆柱体，以的初速度从跳台竖直向上起跳，向前的速度忽略不计，竖直起跳后没有做任何动作，始终保持竖直状态。运动员从脚接触水到身体全部入水的过程，其速度与入水深度的关系满足（其中为脚入水时的速度）；运动员身体全部入水后做加速度大小为的匀减速直线运动，直到停止均未接触水池底部，重力加速度取。则下列说法正确的是（　　） A．起跳瞬间，运动员所受支持力大于跳台所受压力 B．运动员身体全部入水时的速度大小为 C．水池中的水至少深 D．运动员从起跳至到达最低点的时间为 6．一物体做直线运动，0时刻位于坐标原点，运动过程中的图像如图所示，一段过程中纵坐标的变化量为m，对应的横坐标变化量为n，且这个过程对应的时间间隔为，这段过程的末时刻与0时刻的时间间隔为4，则（　　） A．物体做匀加速直线运动，加速度等于 B．从零时刻开始，第一个内位移大于 C．第内位移为 D．零时刻速度为 7．如图所示，倾角的光滑斜面上有一质量的足够长的木板A，在A的上端有一质量的物块B（可视作质点），物块B与木板A间的动摩擦因数，斜面底端有一挡板P，木板与挡板P碰撞后会等速率反弹。现将木板与物块同时由静止释放，释放时木板前端与挡板相距，取重力加速度大小，，。 (1)木板A第1次碰挡板P时的速度多大； (2)求从木板A第1次碰到挡板到木板A第1次减速为零的时间；并求出在此过程中，物块B与木板A间因摩擦产生的热量。 8．如图所示，质量分别为和的两物块栓接在轻弹簧两端（劲度系数为），初始时静止在水平面上，现对物块施加竖直向上的外力，使其以恒定加速度做匀加速直线运动，直至物块刚要离开水平面（即对水平面的压力为零）。试分析： (1)物体做匀加速直线运动的时间？ (2)分析拉力和物体的位移大小间的定量关系？ 9．一辆摩托车在平直的道路上以某一速度匀速行驶。在行驶过程中，骑手突然看见前方有一位老人正在过马路，立即刹车。刹车过程中，摩托车的加速度随时间的变化过程可简化为图1中的图线。如图中，时间段为从骑手发现老人到采取刹车的反应时间；时间段为刹车系统的启动时间；从时刻开始摩托车的刹车系统开始稳定工作，直到摩托车停止前进。已知时刻之后的第1s内摩托车的位移，第4s内的位移。 (1)求时刻摩托车的速度大小及此后的加速度大小； (2)已知，求骑手发现警示牌到采取措施的反应距离。 10．将小球以30m/s的初速度竖直上抛，每隔1s抛出一球。假设空气阻力可以忽略不计，而且升、降球并不相碰（g取）。问： (1)最多能有几个球在空中？ (2)设在时将第一个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？ 11．如图，甲、乙两车在同一水平道路上，开始时乙车在甲车前处，该时刻甲车匀速行驶，乙车停在路边，甲车开始匀减速运动准备停车。已知从甲车减速时开始计时，第1秒内位移为32m，第5秒内位移为1m。从甲车减速开始1秒末乙车开始运动，与甲车同向行驶，其v-t图像如图所示，甲乙相遇时会错车而过，不会相撞。求： (1)乙车从静止开始加速到最大速度时间内，行驶的位移大小和加速度大小； (2)甲车匀减速运动的加速度大小和从开始减速至停下的时间； (3)甲车刚开始减速时的速度大小； (4)从甲车减速时开始计时，甲乙两车相遇的时刻。 12．如图所示，一足够长的木板在水平面上滑动，速度时，将一相对于地面静止的物块轻放到木板右端，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间动摩擦因数，g取10m/s2，求： (1)若地面光滑，经过多长时间物块相对木板停止运动； (2)若地面光滑，从木板开始运动到两者相对静止，物块发生的位移大小； (3)若地面光滑，从木板开始运动到两者相对静止，板块之间的相对位移d； (4)若木板与地面间动摩擦因数，木板与物块相对静止后还能向前滑行的距离。 13．“深坑打夯机”的工作示意图如图所示。首先，电动机带动两个摩擦轮匀速转动，将夯杆从深坑提起；当夯杆的下端刚到达坑口时，两个摩擦轮将夯杆松开；夯杆因惯性继续运动，在自身重力的作用下，落回坑底；这样周而复始地进行，就可以达到将坑底夯实的目的。已知两摩擦轮边缘的线速度v=4 m/s，对夯杆的压力均为F=2×104 N，与夯杆的动摩擦因数μ=0.3，夯杆的质量m=1.0×103 kg，坑深h=6.4 m，重力加速度g=10 m/s2，不计夯实坑底引起的深度变化，不计空气阻力，请计算： (1)每个打夯周期中，夯杆受摩擦轮带动的作用时间t； (2)每个打夯过程的周期T； (3)每个打夯周期中，因带动夯杆向上运动，电动机多消耗的电能。 14．红绿灯是城市里交叉路口的重要交通指挥工具，某城市道路汽车行驶限速＝15 m/s，如图是该市一个十字路口前红灯时的情况，第一辆车的车头与停止线齐平，该路口绿灯时间是Δt＝30s，已知每辆车长均为L＝4.5m，绿灯亮后，每辆汽车都以加速度a＝1.5m/s2匀加速到最大限速，然后做匀速直线运动；为保证安全，前后两车相距均为L0＝1.5 m，绿灯亮时第一辆车立即启动，后一辆车启动相对前一辆车均延后t0＝1s。交通规则：黄灯亮时，只要车头过停止线就可以通行。求： (1)绿灯亮后，第一辆汽车的车尾经过多长时间到达停止线？ (2)绿灯亮后，停止线后第3辆车的车头经过多长时间到达停止线？ (3)绿灯亮后，通过计算判断：停止线后第17辆车在本次绿灯期间能否通过该路口？ 15．如图所示，竖直平面内，光滑斜面与水平轨道由一小段光滑圆弧平滑连接，长。以水平轨道末端为坐标原点建立平面直角坐标系轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，坐标系内点坐标为，），点左下方的点坐标为。一小物块从斜面上不同位置由静止下滑，通过坐标系中的不同位置。小物块与水平轨道间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若小物块刚好运动到点就停下，求小物块在水平轨道上运动的时间； (2)若小物块通过点，求小物块下滑初始位置相对水平轨道的高度； (3)若小物块下滑初始位置相对水平轨道高度为时通过点，且通过点的动能与通过点的动能相等。判断与的大小关系，并求与的关系式。 练习建议 1. 先独立完成所有题目，不要急于看答案 2. 对于错题，标注错误原因（概念不清/计算错误/思路偏差） 3. 重点复习图像分析类和追及相遇类题目 4. 多过程综合题要画出运动过程示意图 5. 定期回顾，形成知识网络 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $