第20章 二次根式 同步练习 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 这份二次根式同步练习通过基础巩固、能力提升、思维拓展三层设计，覆盖从概念辨析到综合运算的知识路径，适配单元复习需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式定义、最简与同类判断、有意义条件|单选题1-8题（如最简二次根式判断）、填空题12-13题，直接应用概念，难度0.85| |提升层|化简运算、混合运算、分母有理化|填空题14-22题（如根号外因式移到根号内）、解答题24-33题，强化运算能力，难度0.65| |拓展层|复合二次根式化简、阅读材料应用|解答题25-35题（如构造完全平方式化简），培养推理意识与创新思维，难度0.51-0.65|

二次根式 一、单选题（共22分） 1．（本题2分）下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（本题2分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题2分）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 8．（本题2分）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．（本题2分）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（本题2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（本题2分）若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共22分） 12．（本题2分）若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 13．（本题2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14．（本题2分）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 15．（本题2分）若，则的值为______________． 16．（本题2分）若，则______． 17．（本题2分）已知的三边分别为，化简_______． 18．（本题2分）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简：__________． 19．（本题2分）化简：________． 20．（本题2分）化简二次根式______． 21．（本题2分）化简：当时，___________． 22．（本题2分）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是_______． 三、解答题（共108分） 23．（本题10分）已知，化简：． 24．（本题8分）计算： (1)； (2)． 25．（本题8分）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 26．（本题8分）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 27．（本题8分）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 28．（本题8分）观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 29．（本题8分）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 30．（本题8分）计算： (1)； (2)． 31．（本题10分）计算 (1)； (2) 32．（本题8分）计算： (1)； (2) 33．（本题8分）计算： (1) (2) (3) 34．（本题8分）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 35．（本题8分）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年07月19日数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D C B D C D B 题号 11 答案 A 1．C 【难度】0.85 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市龙江县五校联考2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算、二次根式的除法 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．A 【难度】0.85 【来源】云南省昆明市五县区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查二次根式判断，涉及二次根式定义，根据最简二次根式的定义，按照满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐项判断即可得到答案，熟记二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数，无平方因子，且非分数，符合最简二次根式条件，符合题意； B、中被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C、中被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．C 【难度】0.85 【来源】湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年九年级上学期期末教育质量监测数学试题（县直） 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义， 熟练掌握定义是解题的关键．根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不能合并，符合题意；     C. ，与是同类二次根式，能合并，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 4．D 【难度】0.85 【来源】湖南省衡阳市城区初中联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意； B、，故是二次根式，本选项不符合题意； C、，故是二次根式，本选项不符合题意； D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 5．C 【难度】0.85 【来源】贵州省铜仁市江口县2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试题 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 6．B 【难度】0.85 【来源】江苏省苏州工业园区星湖初级中学2025-2026学年八年级上学期第12周周练数学卷 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 7．D 【难度】0.85 【来源】上海市静安区市北初级中学2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟试卷 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 8．C 【难度】0.85 【来源】福建省漳州市龙海区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、, 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．D 【难度】0.65 【来源】广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 10．B 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 11．A 【难度】0.85 【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为，被开方数不能为负数． 根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：； 故选：A． 12． 【难度】0.85 【来源】湖南省永州市2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 当时，，，二者均为最简二次根式，符合题意， 故； 故答案为：． 13． 【难度】0.94 【来源】贵州省铜仁市印江县2024-2025学年八年级上学期期末测试数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而列出不等式求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得，解得． 故答案为：． 14．且 【难度】0.65 【来源】四川省达州市达川中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解． 【详解】∵ 代数式 在实数范围内有意义， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 15． 【难度】0.85 【来源】湖南省常德市安乡县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 【详解】解：因为 且 ，且 ， 所以 且 ， 解得 ，， 因此 ， 故答案为：． 16． 【难度】0.65 【来源】湖南省永州第十二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 17．4 【难度】0.65 【来源】2024年四川省乐山市沙湾区九年级调研考试数学试题　 【知识点】利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 18． 【难度】0.65 【来源】重庆市沙坪坝区凤鸣山中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟1试题 【知识点】求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 19． 【难度】0.65 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简． 由题意可得，将变形为，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可得，，即， ∴． 故答案为：． 20． 【难度】0.65 【来源】上海市民办文绮中学2025-2026学年上学期上学期12月月考八年级数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． 21． 【难度】0.51 【来源】上海市上海市杨浦区复旦大学第二附属学校2025-2026学年八年级上学期数学学情自测试题 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】由，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】掌握是解题的关键． 22． 【难度】0.65 【来源】上海市市北初级中学北校2025-2026学年八年级上学期数学期中模考练习试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知，，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 23． 【难度】0.65 【来源】【智】07第十九章本章小结（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 24．(1) (2) 【难度】0.85 【来源】2024-2025学年人教版数学八年级下册期末评价卷 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 25．(1)①，② (2) (3) 【难度】0.65 【来源】山东省德州市庆云县第二中学2024--2025学年八年级数学下学期3月月考试题 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 26．(1)； (2) 【难度】0.65 【来源】四川省巴中市巴州区巴中棠湖外语实验学校2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 27．(1) (2) 【难度】0.85 【来源】湖南省花垣县华鑫教育集团2023-2024学年八年级下学期月考数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 28．(1)， (2)；理由见解析 【难度】0.65 【来源】辽宁省大连市第五十五中学2023-2024学年八年级下学期数学3月份月考试题 【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 29．(1) (2) (3)或． 【难度】0.65 【来源】江苏省淮安市清江浦区20232024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 30．(1) (2) 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年北师大版数学八年级上册期中测试卷- 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．(1) (2) 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年北师大版八年级上册数学期末考试考前热身卷 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 32．(1) (2) 【难度】0.65 【来源】上海市文来中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】山东省青岛市胶州市洋河中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 34．(1) (2)8 【难度】0.65 【来源】专题03二次根式的运算（专项训练）数学北师大版2024八年级上册 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式进行运算，分母有理化，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据运用平方差公式进行运算，将分母有理化； （2）对每一项分母有理化，再去括号，合并同类二次根式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ． 35．(1) (2) 【难度】0.65 【来源】专题03二次根式的运算（专项训练）数学北师大版2024八年级上册 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值、分母有理化、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $