第20章 二次根式全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 该专项以“基础-拔高”分层设计，系统归纳二次根式9类高频基础题型与6类重难专项，提炼性质应用、分母有理化等核心方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|9题型（每题型4-5题）|性质化简、运算技巧、代入求值法|从定义（有意义条件）到性质（化简），再到运算（乘除/加减/混合），形成概念-性质-运算的递进链条| |综合攻坚|6重难专项（每题型4-5题）|参数方程思想、分母有理化、分子有理化、配方法|以基础运算为依托，拓展至参数问题、复合型化简、实际应用，实现知识迁移与综合能力提升|

第20章 二次根式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求二次根式的值 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 利用二次根式的性质化简 题型4 二次根式的乘除混合运算 题型5 化为最简二次根式 题型6 二次根式的加减运算 题型7 二次根式的混合运算 题型8 已知字母的值，化简求值 题型9 已知条件式，化简求值 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次根式中参数问题重难专项 题型2 二次根式中分母有理化问题重难专项 题型3 复合型二次根式的化简问题重难专项 题型4 二次根式的大小比较重难专项 题型5 二次根式与数轴重难专项 题型6 二次根式的应用重难专项 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． 2．当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入， 得． 3．当时，的值是_________． 【答案】 【详解】当时，． 4．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 5．与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． ◆题型2 二次根式有意义的条件 6．函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，列不等式即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得． 7．在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 8．若代数式有意义，则点在平面直角坐标系中的第_______象限． 【答案】三 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出关于，的不等式，判断，的符号，再根据平面直角坐标系象限的坐标特征确定点所在的象限． 【详解】解：代数式有意义， 且，解得且与同号， 当时，，分式分母为零，无意义， ， ， 平面直角坐标系中，横坐标小于，纵坐标小于的点位于第三象限， 点位于第三象限． 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得被开方数为非负数，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 10．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵函数有意义， ∴且， 解得：且， ∴自变量的取值范围是且． ◆题型3 利用二次根式的性质化简 11．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合绝对值的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得． 12．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知． ∴ ∴． 13．若，则a的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ． 14．如果，那么满足的条件是__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 15．下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 因此A正确，B、C错误； 根据二次根式性质可得，当时，，因此D错误． ◆题型4 二次根式的乘除混合运算 16．计算：． 【答案】 【详解】解：． 17．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 18．化简______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：原式 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ◆题型5 化为最简二次根式 21．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式的定义：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即为最简二次根式，对各选项逐一化简判断即可． 【详解】解：对于选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，故B不是最简二次根式； 对于选项C：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式； 对于选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式． 22．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，中间小正方形的边长为，再根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵图中是四个全等的直角三角形， ∴， 故小正方形的边长为， 由勾股定理，得. 23．计算：__________．（填写最简的运算结果） 【答案】4 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算，先将根号里的数相乘，再开方即可求出答案． 【详解】解： 24．如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体右面向前面展开，再由两点之间线段最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：将正方体右面向前面展开，如图所示： 正方体的棱长为， ， ． 25．将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． ◆题型6 二次根式的加减运算 26．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 27．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式合并规则、二次根式乘除法则、二次根式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误； 选项B：，故B计算错误； 选项C：，故C计算错误； 选项D：，故D计算正确． 28．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 29．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 30．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A正确； B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； C、，故C错误； D、与不是同类二次根式，不能合并，故D错误． ◆题型7 二次根式的混合运算 31．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：， ， ， ． 32．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 33．计算： 【答案】 【详解】解：原式 34．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用、先计算根式乘除，再化简根式，合并同类二次根式； （2）先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，最后合并有理数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型8 已知字母的值，化简求值 36．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 37．已知，，求的值． 【答案】 【分析】将原式化为，然后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵，， ∴原式 ． 38．已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再将所求式子进行因式分解，整体代入计算即可得出结果； （2）求出，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴ （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴． 39．某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将每一项分母有理化，再计算加减法即可； （2）①先求出，再化简，代入计算即可； ②先求出，，再将转化为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：①∵， ∴， ∴，即， ∴ ． ②由（2）①已得：， ∴， ∴ ． 40．已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入字母的值进行计算即可； （2）估算得到，，求出，，即可求出的值． 【详解】（1）解：原式＝ = ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ◆题型9 已知条件式，化简求值 41．计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则可得：，可得：原式，根据有理数的加法法则计算； （2）把分母有理化，可得：，移项可得：，整理可得：，再用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 两边平方得：， ， ． 42．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ， ， ， 43．已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 44．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 45．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． ◆题型1 二次根式中参数问题重难专项 1．代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 2．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 3．当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 4．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． ◆题型2 二次根式中分母有理化问题重难专项 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 6．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)2024 (3)10 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 7．先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；按照运算顺序，通分，因式分解，约分是解题的关键.先把括号里分式通分，后变除法为乘法，因式分解后进行约分即可，将代入． 【详解】原式 ， 当时，原式． 8．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为： ， ， ， ， ， ． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． ◆题型3 复合型二次根式的化简问题重难专项 9．化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 10．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 11．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 12．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)时， 有最大值为5． 【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征求解即可； （2）将等式平方得到，再结合、均为正整数得到方程，求解即可； （3）仿照题干，将代数式配方，得到，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 、均为正整数， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，即， 当，即时，有最大值为，此时有最大值为5． ◆题型4 二次根式的大小比较重难专项 13．比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14．如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 【答案】矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 15．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 16．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵ ∴ ∴ （3）解： ∴ ∴ ． ◆题型5 二次根式与数轴重难专项 17．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 18．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 19．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简．    【答案】 【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，， ， 原式 ． 【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符号是解题的关键． 20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． ◆题型6 二次根式的应用重难专项 21．在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)本次实验不会触发红色警报． 理由如下： ∵，， ∴本次实验不会触发红色警报． 【分析】（1）先把代入公式即可得出v的值． （2）先计算出，然后再和30比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：，负值舍去． 答：该物体的入水速度为． （2）解：略； 22．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】（1）根据题中公式求解即可； （2）根据海伦-秦九韶公式计算即可； 【详解】（1）解：在中，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 23．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可求出答案； （2）用长方形面积减去正方形面积即可． 【详解】（1）解：小正方形的边长为：， 大正方形的边长为：， 所以长方形的周长为：． （2）解：由第一问可知： 长方形的长为，长方形的宽为， 长方形的面积为：， 所以阴影部分的面积和为：． 24．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给予我们以协调、匀称的美感，如图1，已知黄金矩形纸片，长． (1)求的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形； (3)在图2中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； (3) 【分析】（1）由题意得，，据此计算即可； （2）根据正方形的性质得到，则可得到，证明，即可证明矩形是黄金矩形； （3）连接，设点D到线段的距离为h，求出；由勾股定理得，根据，求出h的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图2所示，连接， 设点D到线段的距离为h， 由正方形的性质可得， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴点D到线段的距离为． 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 2．设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 3．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式每一项做分母有理化，再利用裂项相消规律化简左边，最后解方程得到整数的值． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， 移项得， 两边平方得， 即整数的值为． 4．如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据折叠的性质可得，，为中点；设，在和中利用勾股定理列方程求出，进而求出的长；最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，，如图， 四边形是正方形，边长为6， ，， 在中，，， ， ， 由折叠的性质可知，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ，解得， ， ， ， 在中，． 5．下列说法正确的是（    ） A．分式，，的最简公分母是 B．能被15整除，但不能被13整除 C．设m为正奇数，不能被8整除 D．二次根式，化简后为 【答案】D 【分析】根据可得最简公分母是，即可判断A，根据平方差公式因式分解判断B,C选项，计算，即可判断D选项． 【详解】解：选项A：∵， ∴三个分式的最简公分母是，不是，A错误． 选项B：∵， ∴能同时被13和15整除，B错误． 选项C：∵是正奇数，可设，为非负整数， ∴， ∵和是相邻整数，必有一个是偶数， ∴是2的倍数， ∴是8的倍数，即能被8整除，C错误． 选项D：计算 ， ∵ ∴，D正确． 6．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 7．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形面积求出两种正方形的边长，结合图形结构确定外围大长方形的长和宽，算出大长方形的面积后，减去三个正方形的面积和，即可得到两块阴影部分的面积和． 【详解】根据正方形面积公式计算边长： 面积为的正方形边长： ， 面积为的正方形边长：， 确定外围大长方形的长和宽： 由图形结构可得， 大长方形的长小正方形边长大正方形边长； 大长方形的宽两个小正方形的边长和； 计算阴影面积和：阴影面积和大长方形面积三个正方形面积和大长方形面积： ， 三个正方形面积和为， ∴阴影面积和为． 8．如图，点是正方形内一点，连接、、，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，证明和都是等腰直角三角形，求得，利用勾股定理求得，，过点作的垂线分别交和于点和，利用等积法求得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，，，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， 过点作的垂线分别交和于点和，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 9．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数满足，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 10．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 11．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先列出前几次操作的结果，计算每次操作后所有二次根式的和，找出周期规律，再逐一验证三个结论即可． 【详解】 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 12．对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据新运算的分段定义，逐个验证四个命题的正误，用到二次根式运算，分母有理化，裂项相消求和，绝对值化简和分类讨论思想，最后统计正确命题个数得到答案． 【详解】解：①计算： ，由定义得， ∴①正确； ②化简求和验证： 对任意正整数，， ， 则 左边 右边，左边右边， ∴②正确； ③当时，， 当时，， ，故③正确； ④解方程，分情况讨论： 情况1：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 情况2：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 综上，方程的解为或，与命题给出的不符，故④错误． 因此正确的命题共3个． 13．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 14．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 15．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 二、填空题 16．若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性可判断，则化简第二个式子可得，与第一个式子消元可得 ，分类讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时， ∴； 当时， （舍）； ∴ 17．已知实数x，y满足，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系． 设，，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设 ，， ∴，， ∴① ∵② ∴由①②得：，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在轴的正半轴上，点落在第一象限内，将绕原点逆时针旋转，得到，再将绕原点逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据所给旋转方式，可得出每旋转八次，点（为正整数）的位置便循环一次，再结合便可解决问题． 【详解】解：由所给旋转方式可知， ， ∴每旋转八次，点（为正整数）的位置便循环一次． ∵， ∴的坐标与的坐标相同． ∵等腰直角的斜边， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 19．一组数按如下规律排列： 照此规律，回答下列问题： （1）_________． （2）如果记作有序数对，记作有序数对，则记作有序数对_________． 【答案】 【分析】（1）将所有数统一转化为的形式，观察被开方数得到规律，从而求出的值； （2）正确理解有序数对的含义，先求出是整体中的第几个数，再结合（1）确定所在的行和列，从而得出记作的有序数对． 【详解】解：（1）第1行（1个数）： 第2行（2个数）：、 第3行（3个数）：、、 第4行（4个数）：、、 由此得出； （2）根据题意得：， 由（1）可知，是整体的第30个数， 第行有个数， 前7行共有：个数， 前8行共有：个数， 第30个数位于第8行，且该数在第8行的位置为，即第2个数， 记作有序数对为． 20．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 21．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 22．如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 【答案】 【分析】观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第的第个数为，即，进而求出第（是整数，且）行从左向右数第个数即可. 【详解】解：观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第行的第个数为，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是. 三、解答题 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算括号内分式减法，再将除法转化为乘法约分，最后合并化简；再根据绝对值、负整数指数幂法则求出的值，代入最简分式计算结果． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 24．解答下列各题 (1)已知， 求的值 (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先整理原方程组可得，再根据计算即可； （2）可化为，左右两边同时平方可得，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：方程组可化为： ， 得：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 25．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据相邻两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：； （3）解：原式 26．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 27．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 28．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求二次根式的值 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 利用二次根式的性质化简 题型4 二次根式的乘除混合运算 题型5 化为最简二次根式 题型6 二次根式的加减运算 题型7 二次根式的混合运算 题型8 已知字母的值，化简求值 题型9 已知条件式，化简求值 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次根式中参数问题重难专项 题型2 二次根式中分母有理化问题重难专项 题型3 复合型二次根式的化简问题重难专项 题型4 二次根式的大小比较重难专项 题型5 二次根式与数轴重难专项 题型6 二次根式的应用重难专项 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为__________． 2．当时，二次根式的值为______． 3．当时，的值是_________． 4．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 5．与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． ◆题型2 二次根式有意义的条件 6．函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 8．若代数式有意义，则点在平面直角坐标系中的第_______象限． 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 ◆题型3 利用二次根式的性质化简 11．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 13．若，则a的值为_______． 14．如果，那么满足的条件是__________． 15．下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型4 二次根式的乘除混合运算 16．计算：． 17．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 18．化简______． 19．计算： 20．计算： (1)． (2)． ◆题型5 化为最简二次根式 21．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 23．计算：__________．（填写最简的运算结果） 24．如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 25．将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． ◆题型6 二次根式的加减运算 26．计算：． 27．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 28．计算： 29．计算： 30．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型7 二次根式的混合运算 31．计算： (1)； (2)； 32．计算：． 33．计算： 34．计算：． 35．计算： (1)； (2)． ◆题型8 已知字母的值，化简求值 36．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 37．已知，，求的值． 38．已知，． (1)求的值． (2)求的值． 39．某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 40．已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． ◆题型9 已知条件式，化简求值 41．计算： (1)； (2)已知，求的值． 42．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 43．已知，求的值． 44．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 45．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． ◆题型1 二次根式中参数问题重难专项 1．代数式的值为0时，的值为____________． 2．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 4．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． ◆题型2 二次根式中分母有理化问题重难专项 5．先化简，再求值：，其中． 6．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 7．先化简，再求值： ，其中 8．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为： ， ， ， ， ， ． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． ◆题型3 复合型二次根式的化简问题重难专项 9．化简的结果为____． 10．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 11．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 12．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． ◆题型4 二次根式的大小比较重难专项 13．比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 14．如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 15．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 16．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． ◆题型5 二次根式与数轴重难专项 17．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 18．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 19．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简．    20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． ◆题型6 二次根式的应用重难专项 21．在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 22．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 23．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 24．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给予我们以协调、匀称的美感，如图1，已知黄金矩形纸片，长． (1)求的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形； (3)在图2中，连接，求点到线段的距离． 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 3．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．分式，，的最简公分母是 B．能被15整除，但不能被13整除 C．设m为正奇数，不能被8整除 D．二次根式，化简后为 6．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是正方形内一点，连接、、，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 10．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 11．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 14．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 15．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 16．若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 17．已知实数x，y满足，则_______． 18．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在轴的正半轴上，点落在第一象限内，将绕原点逆时针旋转，得到，再将绕原点逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为_________． 19．一组数按如下规律排列： 照此规律，回答下列问题： （1）_________． （2）如果记作有序数对，记作有序数对，则记作有序数对_________． 20．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 21．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 22．如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 三、解答题 23．先化简，再求值：，其中． 24．解答下列各题 (1)已知， 求的值 (2)已知，求的值 25．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 26．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 27．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 28．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $