2.2 函数的单调性和最值（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 精选2015-2024年高考真题，聚焦函数单调性与最值，覆盖基础到综合应用，适配一轮复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|15题（4-5分/题）|函数单调性（复合函数、分段函数、奇偶性结合）、最值（基本不等式、导数应用）|复合函数单调性分析（2023新课标Ⅰ第1题）、分段函数单调递增求参数（2024新课标Ⅰ第2题）、基本不等式求最值（2021全国乙文第8题），体现真题梯度与高考命题趋势|

2.2函数的单调性和最值 考点1 函数的单调性 1.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2]　　　　B.[-2,0) C.(0,2]　　　　D.[2,+∞) 答案　D　f(x)=2x(x-a)=,由复合函数的单调性知函数y=-在(0,1)上单调递减,所以≥1,解得a≥2,即a的取值范围是[2,+∞),故选D. 2.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 答案　B 当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上单调递增,所以则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. 3.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=.记a=f ,b=f ,c=f ,则 (　　) A.b>c>a　　　　B.b>a>c C.c>b>a　　　　D.c>a>b 答案　A　∵f(x)=是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又知f(2-x)====f(x), ∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f =f , 又∵<2-<<1,∴f <f <f , 即a<c<b,故选A. 4.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A. f(x)=-ln x　　　　B. f(x)= C. f(x)=-　　　　D. f(x)=3|x-1| 答案　C　对于A, f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 对于B, f(x)=在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 对于C, f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 对于D, f(x)=3|x-1|=在(0,+∞)上不单调.故选C. 5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 (　　) A. f(x)=-x　　　　B. f(x)= C. f(x)=x2　　　　D. f(x)= 答案　D　解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项. 解析　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意; 对于f(x)=,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意; 对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意; 对于f(x)=,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D. 方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减. 指数函数y=ax(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减. 幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减. 6.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　　) A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3] 答案　D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图: 当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 7.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=　　　　　B.y=2-x C.y=lox　　　　　D.y= 答案　A　本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是直观想象. A选项,>0,所以幂函数y=在(0,+∞)上单调递增. B选项,指数函数y=2-x=在(0,+∞)上单调递减. C选项,因为0<<1,所以对数函数y=lox在(0,+∞)上单调递减. D选项,反比例函数y=在(0,+∞)上单调递减. 解题关键　熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键. 8.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　) A.y=　　　　　B.y=cos x C.y=ln(x+1)　　　　　D.y=2-x 答案　D　选项A中,y==的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意. 评析　本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题. 9.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　) A. B.∪(1,+∞) C. D.∪ 答案　A　当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,∴f '(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|), ∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A. 10.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(　　) A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b 答案　B　依题意得f(a)≥2a, 若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b, 又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B. 11.(2023北京,15,5分,难)设a>0,函数f(x)=给出下列四个结论: ①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减; ②当a≥1时, f(x)存在最大值; ③设M(x1, f(x1))(x1≤a),N(x2, f(x2))(x2>a),则|MN|>1; ④设P(x3, f(x3))(x3<-a),Q(x4, f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　②③ 解析　f(x)的大致图象如图所示, 易知f(x)在(-∞,-a)上单调递增,在[-a,0)上单调递增,在[0,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调递减. 对于①,当<a<1时,f(x)在(a-1,0)上单调递增,故①错误. 对于②,当x<-a时, f(x)<-a+2≤1,当-a≤x≤a时,0≤f(x)≤a,当x>a时, f(x)<--1≤-2. 综上,x=0时, f(x)取得最大值a,故②正确. 对于③,令M'(a,0),N'(a,--1), 显然|MN|>|M'N'|=+1>1,故③正确. 对于④,若|PQ|存在最小值,则点(0,0)到直线x+2=y的距离大于a,且直线y=-x与y=x+2的交点(-1,1)在射线y=x+2(x<-a)上,则>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④错误. 综上,所有正确结论的序号是②③. 12.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-), f(-)=f(),所以f(2|a-1|)>f(),所以2|a-1|<,解之得<a<. 考点2函数的最值（值域） 1.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　　) A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x　　　　D.y=ln x+ 答案　C　解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断. 解析　对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x|+,t∈(0,1],易知y=t+在(0,1]上单调递减,故t=1时,ymin=1+=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+,t>0,易知y=t+在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C. 2.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　.  答案　2 解析　解法一:∵f '(x)=,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法二:∵f(x)===1+, ∴f(x)的图象是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法三:由题意可得 f(x)=1+. ∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1, ∴1<1+≤2,即1<≤2. 故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2. 评析　本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题. 3.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))=　　　　, f(x)的最小值是　　　　.  答案　-;2-6 解析　f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+-6=-. 当x≤1时, f(x)=x2≥0, 当x>1时,f(x)=x+-6≥2-6, 当且仅当x=时,等号成立, 又2-6<0,所以f(x)min=2-6. ( 第 9 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $