精品解析：陕西咸阳市乾县杨汉中学2025-2026学年第二学期高一质量检测数学试卷

2025~2026学年第二学期高一质量检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由三角函数的定义可得. 2. 已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则，， ， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为． 3. 已知，，且，则的坐标是（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设，由可求出的值，进而得解. 【详解】由，，可设， 又，所以，解得， 所以或. 故选：D 4. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法得到，，再根据面积公式可求出结果. 【详解】由斜二测画法可知该三角形为直角三角形，， 根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半， 因为，所以， 所以，所以三角形的面积为． 故选：A 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，利用正弦和角公式求出，再结合正弦定理求解即可． 【详解】，设， ，解得， 即， ， ． 6. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解. 【详解】因为平面BCD， 所以，， ∴， 在中，， ∴， ∴. 如图所示： 三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球， 设球O的半径为R，则， 解得， 所以球O的表面积为， 故选：A. 7. 5G是中国的一张名片，据报道，中国在5G时代领先德国的时间至少在两年以上.某地为加强5G网络建设拟修建一信号塔.如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，.且，，三点在同一水平线上，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡比为，米.某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为（人的身高忽略不计），则信号塔的高度为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，） A. 54米 B. 58米 C. 76米 D. 85米 【答案】D 【解析】 【分析】中，求出，再在中，利用正弦定理求出，在中，由即可求解. 【详解】，. 在中，（米）. 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中， （米）. 故选：D. 8. 已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可分类讨论确定与的关系，再根据三角函数的性质可判定选项. 【详解】若，由函数单调性可知， 此时显然，符合题意； 若，由函数的单调性知， 则不符合题意. 故，可排除C、D选项， 又， 此时在上单调递减， 则， 综上可知. 故选：A 【点睛】本题关键在于利用函数的单调性讨论确定，再结合三角函数的性质计算即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程有两个不相等的实数根，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】确定，，根据得到，计算，得到AB错误，确定CD正确，得到答案. 【详解】方程有两个不相等的实数根，，，， 则，， ，解得. 对选项A：，即，，错误； 对选项B：，，错误； 对选项C：，即，正确； 对选项D：，正确； 故选：CD 10. 正五角星是非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设O是正五边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得，可判断A；由可判断B；由投影向量可判断C；延长与交于点，根据对称性知，由正五边形的性质可得，求解与的数量关系，再由可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，因为，故A错误； 对于B选项，，因为在正五边形中，， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，在正五边形中，，且交于的中点， 由投影向量的定义可知，在上的数量投影为， 故，故C正确； 对于D选项，延长与交于点， 根据对称性知，，由正五边形的性质可得， 正五边形的外角为，故，， 所以， 因为，所以，故D错误. 11. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为菱形，，分别是，的中点，在上，且，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 若上一点在平面内，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先从平面展开图还原出四棱锥的空间结构，明确各点位置，通过中位线和平行线传递垂直可判断A选项，通过分析异面直线可判断B选项，通过取中点构造中位线找到平面内与平行的直线从而证明线面平行可判断C选项，延长和找到平面与底面的交线，利用平行线分线段成比例确定点的位置得到线段比例关系可判断D选项. 【详解】将四棱锥的平面展开图还原成如图所示的直观图，连接， 因为分别是的中点，所以，又四边形为菱形，所以， 所以，所以A正确； 由平面，平面，，平面，得与是异面直线，所以B不正确； 设，连接交于点，则为的中点，且为的中点， 如图，连接，取的中点，连接， 因为，为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，所以C正确； 如图，延长、交于点，延长、交于点，取的中点，连接， 所以，又，所以，所以为线段的三等分点， 同理可得为线段上靠近点的三等分点，连接，交于， 所以，所以，即， 所以， 所以为的中点，则，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，复数，若的虚部为，则________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，复数的虚部为， 所以，解得. 13. 已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ． 【答案】 【解析】 【详解】设AC与BD交于点O． 在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1． 过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求． 由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°． 在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE＝． 14. 已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解. 【详解】 如图所示，设 所以，, 因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为， 所以 所以， 所以四点共圆. 在△中，由正弦定理得 所以因为. 在△中，由余弦定理得， 所以. 所以的最大值为60. 故答案为：60 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值； （2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1），，；（2）最小值为，最大值为1. 【解析】 【分析】 （1）由函数的部分图象求解析式,由周期求出,代入求出的值,可得函数的解析式； （2）由以上可得,,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数的最值. 【详解】（1）根据函数的部分图象, 可得，解得， ， 将代入可得，解得； （2）由以上可得, ， ，，， 当时,即,函数取得最小值为. 当时,即,函数取得最大值为1. 【点睛】本题考查三角函数部分图象求解析式，考查三角函数给定区间的最值，属于基础题. 16. 记的内角A，，的对边分别为，，，已知 （1）求证：； （2）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理化角为边后整理可得证； （2）由余弦定理写出，把第（1）小题结论代入已知和求值式可得． 【小问1详解】 ∵，∴ ； 【小问2详解】 由，∴． 17. 已知平行四边形中，，，，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合数量积的运算得到，再利用线性运算得到，即可求解； （2）根据（1）和条件得到，，由垂直关系得到，从而得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 在平行四边形中，，，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以， 则， 故的值为. 【小问2详解】 由（1）知：，， 则，， 又因为， 则， 即， 即，解得：， 故的值为. 18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 在中，因为E、M分别为、的中点 所以且． 又为的中点，，所以且， 即且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 当N为的中点时，平面平面． 证明：连接，． 因为N，F分别是和的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明后证得线面平行； （2）N为的中点时，平面平面．由线面平行的判定定理证明与平面平行后可得证面面平行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数，其中向量，． （1）求的解析式及对称中心和单调减区间； （2）不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1），对称中心为，单调减区间是 （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函数的性质即可求解； (2)由题意可得：在上恒成立，求出的最值，转化为，解之即可. 【小问1详解】 令，对称中心 又令， 所以单调减区间是 【小问2详解】 不等式在上恒成立， ，即在上恒成立， ， 因为 ，所以， 当，即时，取得最小值， 最小值为， 当，即时，取得最大值， 最大值为， 即，得， 即实数m的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高一质量检测卷 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则的坐标是（ ）． A. B. 或 C. D. 或 4. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 5G是中国的一张名片，据报道，中国在5G时代领先德国的时间至少在两年以上.某地为加强5G网络建设拟修建一信号塔.如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，.且，，三点在同一水平线上，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡比为，米.某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为（人的身高忽略不计），则信号塔的高度为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，） A. 54米 B. 58米 C. 76米 D. 85米 8. 已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程有两个不相等的实数根，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 正五角星是非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设O是正五边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为菱形，，分别是，的中点，在上，且，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 若上一点在平面内，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，复数，若的虚部为，则________________． 13. 已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ． 14. 已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值； （2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值. 16. 记的内角A，，的对边分别为，，，已知 （1）求证：； （2）若，求的值. 17. 已知平行四边形中，，，，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中向量，． （1）求的解析式及对称中心和单调减区间； （2）不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $