精品解析：陕西咸阳市乾县阳洪高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

高一期末教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定大于1且小于50的整数个数和质数个数，即可解出. 【详解】大于1且小于50的整数共有48个， 其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个， 因此所求概率为. 故选：C. 3. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：10，13，14，23，24，25，27，40，46，48．则该组数据的第41百分位数为（ ） A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求值即可. 【详解】一组数据按照从小到大的顺序排列如下：10，13，14，23，24，25，27，40，46，48， 因为， 所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24. 故选：B. 4. 在中，，的平分线交于，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理，求得，得到，得出为直角三角形，结合，列出方程，即可得到的长，得到答案. 【详解】在中，， 由余弦定理得， 所以，所以，则为直角三角形，所以， 如图所示，设，因为， 可得，即， 解得，所以. 故选：D． 5. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 【答案】C 【解析】 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球形容器的直径为，则半径为， 所以球形容器的体积， 底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为， 所以圆柱形水杯的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯. 故选：C 6. 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（ ） A. 0.017，0.048 B. 0.017，0.48 C. 0.17，0.048 D. 0.17，0.48 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 故选：A 7. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解. 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积． 详解：∵三棱锥中两两垂直， ∴以为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 又是边长为的正三角形， ∴， ∴长方体的体对角线为，即球的直径为， ∴球的体积为． 故选A． 点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分） 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若满足条件，的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据选项中的条件，利用三角形内角范围，正弦定理等结论逐一判断即可. 【详解】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误； 对于B，由和正弦定理，，即， 因，则，即，故B正确； 对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正， 而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确； 对于D，由满足条件，的有两个，可知，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 【答案】AC 【解析】 【分析】应用模长关系计算结合垂直的向量表示判断A，应用特殊值法计算判断B，D，根据投影向量及向量数量积公式计算判断C. 【详解】为非零向量，且，左右两边平方得出， 所以，则，A选项正确； 当，则，则不一定是等腰三角形，B选项错误； 因为，所以，则在上的投影向量为，C选项正确； 当两个非零向量的夹角是0时，，但是两个非零向量的夹角不是锐角，所以D选项错误； 故选：AC. 11. 如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 平面 C. 直线与直线所成角是 D. 在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【解析】 【分析】由图形容易说明，在同一平面内判断A，由及线面垂直的判定定理判断B；由及异面直线所成角的概念求解判断C；取的中点，则，易证平面，判断D． 【详解】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知的直观图是直角边长为2的等腰直角三角形，，那么的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】根据的直观图作出的平面图为： 因为，所以， 又，且， 则. 故答案为：. 13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 14. 已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱侧面积解析式，利用基本不等式求解最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为， 由题知，解得，由圆柱的轴截面性质知，    所以该圆柱的侧面积为， 当且仅当时等号成立，即该圆柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接与交于点，连接； 因为为的中点，为的中点. 所以， 又平面，平面. 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面. （2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积. 【详解】（1） （2）由于点到平面的距离为1， 故三棱锥的体积. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题. 16. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． 【小问2详解】 因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 17. 已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． （1）求B； （2）求的面积； （3）求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件和正弦定理即可求出b，再根据余弦定理求出cosB，从而可求B； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）利用向量及其数量积计算法则即可计算. 【小问1详解】 ∵ ∴根据正弦定理得， 又∵，. 根据余弦定理得， 又∵， 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ∵E是中点， ， ∴. 18. 在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. （1）求m的值; （2）设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； （3）从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由图知，可得； 【小问2详解】 由图，， ， 所以； 【小问3详解】 由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 19. 如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【小问1详解】 如图，连接，连接交于点，连接， 因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面． 【小问3详解】 如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接， 由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：10，13，14，23，24，25，27，40，46，48．则该组数据的第41百分位数为（ ） A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 4. 在中，，的平分线交于，则 （ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 6. 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（ ） A. 0.017，0.048 B. 0.017，0.48 C. 0.17，0.048 D. 0.17，0.48 7. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分） 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若满足条件，的有两个，则的取值范围为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 11. 如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 平面 C. 直线与直线所成角是 D. 在直线上存在点，使平面 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知的直观图是直角边长为2的等腰直角三角形，，那么的面积为________． 13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 14. 已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 17. 已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． （1）求B； （2）求的面积； （3）求线段的长度． 18. 在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. （1）求m的值; （2）设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； （3）从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 19. 如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $