第14章全等三角形【章节复习】练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定与性质，通过基础辨析、作图原理、综合应用题型，系统构建从概念到应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与性质|约6题|判定条件选择、性质应用计算|以SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定为核心，关联对应边、角关系推导| |作图与原理|2题|尺规作图依据、角平分线作图原理|从操作过程抽象全等判定方法，体现数学思维的严谨性| |综合应用与证明|约8题|折叠问题、实际测量、动态旋转证明|结合图形变换与实际情境，强化全等在复杂问题中的应用意识|

1. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，是的中点，平分 ，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，， ，图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示，在中， ，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，中，平分，平分，，相交于点，连接，则有（ ）． A. ≌ B. C. 平分 D. 5. 如图，已知与，与相交于点，若，，， ，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，的三边、、分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，等腰直角与等腰直角共点于，连接、，则线段、具有什么样的数量关系和位置关系（ ）． A. 相等且垂直 B. 相等但不垂直 C. 不等但垂直 D. 不等且不垂直 1. 如图，在中，，，平分，，交的延长线于 ，为垂足．则结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 2. 已知梯形中，，、分别平分、，下列说法正确的有 ． （ ）；（）；（）点为中点；（）；（） 梯形． 3. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形 ，与交于点，与交于点，与交于点，连结，以下六个结论： ①；②；③；④；⑤ ；⑥平分 ，恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）． 4. 如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，如果以、、为顶点的三角形与全 等，则 ． 1. 在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 度数． 2. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中， ．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证： ． 3. 已知，如图所示，于，于，且． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证：点在的角平分线上． 4. 如图，已知平分，，是的中点，证明：平分． 5. 如图，在四边形中，平分，于，且 ．请你猜想 和有什么数量关系？并证明你的猜想． 6. 如图，为的中线，在上，交于，且．求证：． 7. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．图 （ 1 ）请你写出的取值范围 ． （ 2 ）如图，在中，是边上的中点，，交于点，交于点 ，连接． 求证：． 图 （ 3 ）如图，在四边形中， 点作一个的角，角的两边分别交 、 ， 于、 ， 两点，连接 ，以为顶 ，则线段、、 之间的数量关系为 ． 图 $ 1. 如图，在和中，满足， ，如果要判定这两个三角形全等，那么添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. D 本题考查全等三角形判定定理，根据对应关系很显然 答案不对， “ ”不能证明全等． 故选 ． 【知识点】多解或多种判定混合 2. 如图，≌ ，，，则等于（ ）． A. B. C. D. B ∵ ≌ ∴ ∴在故选 中， ， ， ． ． 10 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ）． A. B. C. D. A 作图的步骤：①以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 ， ； ②任意作一点 ，作射线 ，以 为圆心， ③以 ④过点所以 在 ∴ ∴ 为圆心， 作射线 长为半径画弧，交前弧于点 ， 长为半径画弧，交 ； 于点 ； 就是与 与 ≌ ， 相等的角， ， ， ， ， ， 显然运用的判定方法是 ，故选： ． 【知识点】作图依据 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点 ，作、的垂线，交点为，画射线，则平分， 这个过程中，运用了三角形全等的判定方法是 （ ）． A. B. C. D. D ∵ ， ， ∴ 在 和 ， ， 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， 平分 ． 故选 ． 【知识点】HL 5. 如图，，与相交于点，则下列结论正确的为（ ）． A. B. C. D. ≌ B ∵ ∴ 由由 错误． ， ，故 正确； ，无法推出 ， ，故 错误； ， ，无法推出 ≌ ，故无法推出 ，故 、 【知识点】三角形内角和的应用 6. 如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）． A. B. C. D. D ∵ ≌ 沿 ， 折叠，使 点落在 边上的 处， ∴ ∴ 又∵ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形折叠 7. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的中线长的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 C 延长 ， 至 ，使 ， ，连接 ， 易证 ∴在即 ∴ ∴ ≌ ， ， 中，根据三边关系可知， ， ， ． ， 故答案为 ． 【知识点】求三角形第三边的取值范围；中点类辅助线 1. 如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 ，的距离，如果≌，则只需测出其中线 的长度． ∵ ≌ ， ∴ ， ∴求得 的长，只需求得线段 的长． 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 如图，点，在线段上，且，．若要使≌ ，则还需补充一个条件 ． 答案不唯一，可补充的条件有三个： 或 或 ∵ ∴ 故填 补充 ， ≌ ， ， ， ， ． 【知识点】SAS 3. 如图，在边上，≌，，则的度数为 ． ∵ ≌ ， ∴ 又 ∴ ∴ 且 ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 4. 如图，点、、共线，，．，，，则 ． ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ， ， ， ∴ 在 和 ， 中， ， ∴ ∴ 所以 ≌ （ ， ）， ， ． 1. 如图，点、、、在同一直线上，且，，，请将下面说明 ≌ 的过程和理由补充完整．解：∵（ ）， 【知识点】全等三角形的对应边与角 ∴， 即， 在和中， ， ∴≌ （ ）． 证明见解析． ∵ ∴ 即在 （已知）， ， ， 和 中， （已知） （已知） ， ∴ ≌ （ ）． 【知识点】SSS 2. 如图，，，，求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ， ∴在 和 ， 中， ， ∴ ∴ ≌ （ ）， ． 【知识点】ASA 3. 如图，在中， ，，于，于点， ，，求的长． ． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴在 ， ， ， ， ， 与 ， 中， ， （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴在 ∵ ， 和 ， ， 中， 【知识点】全等三角形的对应边与角 ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】AAS 【能力】推理论证能力 4. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且 ． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 度数． ∴ ≌ （）． （ 2 ）∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ． 5. 如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点 在边上，且． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）连接 ，判断 与 的位置关系并说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ∵ 为 中点， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ ． ≌ ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 6. 如图，在中，，延长至，使，过作于，交 于．连接． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，求的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）在 和 中， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ≌ （ ）， ， ， ， ． （ 2 ）由（ ）知， ， ∵在 和 ， ， 中， ∴ ∴ ∵ ∴设则则 ∴ ≌ （ ）， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 7. 如图，已知中，，，是过的一条直线，且、在的异侧，于，于． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若直线绕点旋转到图位置时（），其余条件不变，问与、的数量关系如何？请给予证明； 图 （ 3 ）若直线绕点旋转到图位置时（），其余条件不变，问与、的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明． （ 4 ）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达与、的数量关系．图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）当 、 在 ． ． 的同侧时， ． ，当 、 在 的异侧时， （ 1 ）∵ ∴ ∴ 又∵ ， ， ， ， ， ∴ ∴ 在 与 ，中 ， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ． ， （ 2 ）∵ ∴ ， ， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ， ， ， ， 在 与 中 ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ． ， （ 3 ）同（ ）的方法得出， ． （ 4 ）归纳：由（ ）（ ）（在的异侧时， ）可知：当 、在 ． 的同侧时， ，当、 【知识点】旋转型全等 $ 1. 如图，在和中，满足， ，如果要判定这两个三角形全等，那么添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，≌ ，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点 ，作、的垂线，交点为，画射线，则平分， 这个过程中，运用了三角形全等的判定方法是 （ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5. 如图，，与相交于点，则下列结论正确的为（ ）． A. B. C. D. ≌ 6. 如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）． A. B. C. D. 7. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的中线长的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 1. 如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 ，的距离，如果≌，则只需测出其中线 的长度． 2. 如图，点，在线段上，且，．若要使≌ ，则还需补充一个条件 ． 3. 如图，在边上，≌，，则的度数为 ． 4. 如图，点、、共线，，．，，，则 ． 1. 如图，点、、、在同一直线上，且，，，请将下面说明 ≌ 的过程和理由补充完整．解：∵（ ）， ∴， 即， 在和中， ， ∴≌ （ ）． 2. 如图，，，，求证：． 3. 如图，在中， ，，于，于点， ，，求的长． 4. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且 ． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 度数． 5. 如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点 在边上，且． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）连接，判断与的位置关系并说明理由． 6. 如图，在中，，延长至，使，过作于，交 于．连接． （ 1 ）求证： （ 2 ）若 ． ，求 的度数． 7. 如图 ，已知侧， 于 中， ， ，，是过的一条直线，且、在的异 于． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若直线绕点旋转到图位置时（），其余条件不变，问与、的数量关系如何？请给予证明； 图 （ 3 ）若直线绕点旋转到图位置时（），其余条件不变，问与、的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明． （ 4 ）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达与、的数量关系．图 $D 过点 作 ， 【知识点】角分线性质定理 1. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，是的中点，平分 ，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. ∵ 平分 ，且是 的中点， ∴ ，又 ，且， ∴ ≌ ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ， 即 ， ， ∴ ． 10 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，， ，图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ， ， ∴ ∴ ∴在 ． ， ， 和 ． 中， ， ∴ ∴ 同理 ≌ （ ）． ， ． ， ． ． ∴ ∴ 梯形 ． 阴影 梯形 ． 【知识点】全等三角形的周长与面积 3. 如图所示，在中， ，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. A 在 与 中， ， ∴ ∴ ∴ 故答案为 ≌ ， ， ， ． ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 4. 如图，中，平分，平分，，相交于点，连接，则有（ ）． A. ≌ B. C. 平分 D. C 过 作 于， 于 ， 于 ， ∵ ∴ ∴ ∴ 平分 ， 平分 ， ， ， ， 平分 ． 故选 ． 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 5. 如图，已知与，与相交于点，若，，， ，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C 在 与 中 ∴ ∴ ∴ 即又∵ ∴ ≌ （ ， ） ， ， ∵ ∴ ∴ ， ． 【知识点】SSS 6. 如图，的三边、、分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）． A. B. C. D. B 过点 作 ∵点 是内心， ∴ ∴ 于 ， 于 ， 于 ， ， ， 故选： ． 【知识点】角分线性质定理 【能力】运算能力 7. 如图，等腰直角与等腰直角共点于，连接、，则线段、具有什么样的数量关系和位置关系（ ）． A. 相等且垂直 B. 相等但不垂直 C. 不等但垂直 D. 不等且不垂直 A ∵在等腰直角 ， ． 和等腰直角 ， 中， ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ． ， ． ∴由 字模型可得， ． ∴ ． 故选 ． 【知识点】等腰直角三角形的手拉手模型 1. 如图，在中，，，平分，，交的延长线于 ，为垂足．则结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． ①②④ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ，在 和 中 ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴正确的有：①②④故答案为：①②④． 【知识点】ASA 2. 已知梯形中，，、分别平分、，下列说法正确的有 ． （ ）；（）；（）点为中点；（）；（） 梯形． （ ）、（ ）、（ ）、（ ）在 上截取 ， ∵ ， 平分 ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ≌ ，又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，（ ）正确； ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 易得 梯形 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形 ，与交于点，与交于点，与交于点，连结，以下六个结论： ①；②；③；④；⑤ ；⑥平分 ，恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）． ①②③⑤⑥ 如图： ∵ ∴ ∴在 和 ， 均为正三角形， ， ． 中， ， 和 ， ∴ ∴ ∵ ∴ 易得 ∴ ∵ ∴ （ ）， ，①正确， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ，②正确， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，③正确， ∴ ， ∴④不正确， ∵ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴⑤正确， 过点作 于 ， 于， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ， ∴ 平分 ， ∴⑥正确． 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 【知识点】SAS 4. 如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，如果以、、为顶点的三角形与全 等，则 ． 或 由题意， 若 和 则有 ≌ 满足全等， 或 ， ≌ ， 此时：① ≌ ． ② ≌ ， ． 【知识点】解直角三角形的综合应用 1. 在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴在 ∵ ， 和 ， ． 中， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ≌ ， （ ）． ， ． ， ∴ ． ∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ． 2. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中， ．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证： ．证明见解析． ∵ 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ≌ ， ， 平分 ． ， ． ， 【知识点】SSS 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】HL 3. 已知，如图所示，于，于，且． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）求证：点 在 的角平分线上． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）在 和 中， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ≌ ． （ 2 ）连接 ， 由（ ）知， ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ 平分 ， ∴ 在 的角平分线上． 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 【知识点】AAS 【知识点】对应边 【知识点】对应角 4. 如图，已知平分，，是的中点，证明：平分． 证明见解析． 在 上截取 ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∵ 是 中点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ 平分 ． 【知识点】全等三角形之二次全等 5. 如图，在四边形中，平分，于，且 ．请你猜想 和有什么数量关系？并证明你的猜想． ；证明见解析． 过 ∵ ∴ 猜想： 点作 ， ， ， 延长线于点 ， 平分 ， 在 ∵ 和 ， ， 中， ∴ ∴ ∵ ≌ ． ， ， ， ∴ 在 ． 和 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 6. 如图，为的中线，在上，交于，且．求证：． 证明见解析． 延长 至 使 ，连接 ， ∵ 是 的中线， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】中点类辅助线 7. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．图 （ 1 ）请你写出的取值范围 ． （ 2 ）如图，在中，是边上的中点，，交于点，交于点 ，连接． 求证：． 图 （ 3 ）如图，在四边形中， 点作一个的角，角的两边分别交 、 于 ， 、 ， 两点，连接 ，则线段 ，以 、 为顶 、 之间的数量关系为 ． 图 （ 1 ） （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） （ 1 ）∵ 是 的中点， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）如图 ，延长 到 ，使得 ，连接 、 ． ∵ ， ， ∴ ≌ （ ）． ∴ ． ∵ ， ， ∴ 是 的垂直平分线． 图 ∴ ． 在 中， ∵ ， ∴ ． （ 3 ） ． 如图 ，延长 到 ，使得 ，连接 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ≌ （ ）． 图 ∴ ， ． 依题意可知： ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴≌ （ ）． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 【知识点】对应边 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】三角形的三边关系 $