专题02 有理数基础运算（11题型突破·举一反三）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以11类题型为框架，系统整合有理数运算方法，通过“规则-典例-变式”三层设计实现算理与技巧的深度融合，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-6（含6类运算）|加减乘除法则、运算律（交换/结合/分配）、拆项法等简便技巧|从单一运算到混合运算，逐步渗透转化思想（减法→加法、除法→乘法）| |综合应用|题型7-11（含5类创新题型）|新定义运算归纳法则、程序流程图转化、算“24”点策略、乘方符号规则|从抽象运算到实际应用，结合跨学科情境（如进制转换），发展模型意识与应用意识|

专题02 有理数基础运算（11题型突破·举一反三） 题型01 有理数加法及其简便运算 题型02 有理数加法新定义运算 题型03 有理数加减混合运算 题型04 有理数加减混合新定义运算 题型05 有理数乘法简便运算 题型06 有理数除法简便运算 题型07 有理数四则混合新定义运算 题型08 算“24”点 题型09 程序流程图与有理数四则计算 题型10 乘方的应用及含乘方的有理数混合运算 题型11 含乘方的有理数混合新定义运算 ▌题型01 有理数加法及其简便运算 1.同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 2.异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值； 3.特殊规则：互为相反数的两个数相加得0；一个数加0仍得原数。 4. 加法交换律： 5. 加法结合律： 6.分数小数统一、相反数结合、同分母结合、凑整数简化计算 【典例1-1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：， （9）解：； （10）解：； （11）解：； （12）解： ． 【典例1-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【典例1-3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 【典例1-4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）有理数加法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-4】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． ▌题型02 有理数加法新定义运算 【典例2-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）若表示不超过的整数中最大的整数，如，．请计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【典例2-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知均为有理数，现规定一种新运算，满足．例如． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：由题意中的新定义得：； （2）解：， 所以 ． 【典例2-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． （2）解： ． 【典例2-4】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【详解】（1）解：两个数相乘加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值； 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：① ； ② ． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【详解】（1）解：观察运算发现当时，； 当时，； 故填：； ． （2），， ， 发现的规律：（为非零实数）． （3），． ，， ． ，． ，， ，． ，， ． 发现的规律：（为非零实数）． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【变式2-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 【变式2-4】（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【变式2-5】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；； (1)归纳运算的法则：同号两数进行运算___________，异号两数进行运算___________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，___________ (2)计算：___________． (3)是否存在有理数、，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：同号两数进行运算，符号为正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行运算，符号为负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：符号为正，并把它们的绝对值相加；符号为负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 【变式2-6】（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）观察下列“☆”运算： ，； ，； ，；… (1)归纳“☆”的运算法则______； (2)计算：； (3)直接写出的计算结果． 【详解】（1）解：归纳“☆”的运算法则：同号得负，异号得正，并把绝对值相加，0与任何数进行“☆”的运算都得这个数的绝对值； 故答案为：同号得负，异号得正，并把绝对值相加，0与任何数进行“☆”的运算都得这个数的绝对值； （2）解：； （3）解：①，原式， ②，原式， ③，原式， 综上，原式． 【变式2-7】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）”，然后他写出了一些按照（加乘） 运算的运算法则进行了运算的算式：；； ；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______ ；______； (2)拓展计算：；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【详解】（1）解：；；； 故答案为：；；； （2）解： ； （3）解：加法的交换律仍然适用，结合律不适用． 加法的交换律： 例如：，， ∴， ∴加法的交换律仍然适用； 结合律： 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． ▌题型03 有理数加减混合运算 核心公式：，本质是将减法转化为加法，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 【典例3-1】（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． （3）原式 ． 【典例3-2】（25-26七年级上·天津静海·期中）阅读材料： ， 根据以上规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算：． 【详解】（1）解：由阅读材料解法可知，， 故答案为：； （2）解： ． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． ▌题型04 有理数加减混合新定义运算 【典例4-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【典例4-2】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）定义新运算“”：． (1)计算； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得． 【变式4-1】（25-26七年级上·重庆江津·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．）根据上述材料解决下列问题： (1)_____，_____． (2)在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是______；有理数减法法则“减去一个数，等于加这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？你能举例说明吗？ 【详解】（1）解：表示9点钟再过6小时，故（时），即为3点钟，故， 表示3点钟之前5小时，故（时），即为10点钟，， 故答案为： （2）因为我们用0点钟代替12点钟，所以在钟表运算中相反数的定义为：相加为12的两数互为相反数， 则5的相反数为 故答案为： 【变式4-2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)____，_____； (2)计算：． 【详解】（1）解：由题意得， ， ． 故答案为：，． （2）解：由题意得， ， ， ． ． 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． ▌题型05 有理数乘法简便运算 1.两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘； 2.多个非零数相乘：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负； 3.特殊规则：任意数与0相乘，积为0。 4. 乘法交换律： 5. 乘法结合律： 6. 乘法分配律：（高频难点：正向运用、逆用、负号分配） 【典例5-1】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例5-2】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式           ． 【变式5-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型06 有理数除法简便运算 核心公式：； 符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任意非零数得0。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算顺序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数乘法法则；②加法交换律；③加法结合律；④乘法对加法的分配律． （有理数除法法则） _________ _________ _________ _________ （有理数加法法则） ． 【答案】④；①；②；③ 【详解】解： （有理数除法法则） __④_______ ___①______ ____②_____ __③_______ （有理数加法法则） ． 故答案为：④；①；②；③． 【典例6-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 【典例6-3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数为 ， 故原式． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 【详解】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配律，运算过程错误； 所以甲、乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故答案为：甲、乙． （2）解：按乙的解法： 原式的倒数               ， ；     ∴．     【变式6-3】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． ▌题型07 有理数四则混合新定义运算 【典例7】（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 【变式7-1】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）对于整数，，有如下规定： ，计算：； 【答案】 【详解】解：， ． 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为． ▌题型08 算“24”点 【典例8-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在学习了有理数的混合运算后，小明玩“点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌去掉大、小王中任意抽取张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，，，，分别代表，，．小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，可以列出运算结果为的算式是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，则表示数字，可以列出运算结果为的算式是； 故答案为：（答案不唯一）． 【典例8-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【变式8-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【详解】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 【变式8-4】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． ▌题型09 程序流程图与有理数四则计算 【典例9-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【答案】3 【详解】解：根据题意得 ． 【典例9-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【详解】（1）解：若输入数字为4时，，得到， ∵， ∴得到相反数为1，倒数为1， ∴输出结果为1； 若输入数字为7时，，得到，得到相反数为，绝对值为2， ∴输出结果为2； 故答案为：1，2； （2）解：根据题意，输入数字为0时， ∴得到相反数为0，不是正数， ∴取绝对值为0， ∴结果为0， 故答案为：0； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负数． 【变式9-1】（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）轩轩在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，求输出的结果的值． 【答案】输出的结果的值为6 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得 ， 第二次：把代入运算程序得 ， 输出的结果的值为6． 【变式9-2】（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【详解】（1）解：． 而， ∴输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． ∵， ∴输出的数是． 【变式9-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 【详解】（1）解：输入4：∵， ∴， ∵， ∴， 为正数， ∴取1的倒数，输出的结果为1； 输入7：∵， ∴， ∵不大于， ∴取相反数， ∵不是正数， ∴取的绝对值，输出的结果为2， 故答案为：，； （2）解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴输入时：不大于，，不是正数，取的绝对值， ∴输入数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：若数大于，经“加上”后运算，后续计算或得正数、或得； 若数不大于，取相反数后为正则取倒数（正数），非正则取绝对值（非负数）．因此不可能输出负数． 故答案为：负； （4）解：输入1：∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入2：∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入3：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入4：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入5：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入6：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入7：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入8： ∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入9：∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 故答案为：或． ▌题型10 乘方的应用及含乘方的有理数混合运算 定义：（为正整数），为底数，为指数； 符号规则：正数的任意次幂为正；负数的偶次幂为正、奇次幂为负； 特殊值：0的正整数次幂为0；，，。 混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减/只有乘除），从左到右依次计算，禁止跳步； 3. 有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 【典例10-1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：原式 ． 【典例10-2】（25-26七年级下·广东茂名·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【典例10-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【典例10-4】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 【典例10-5】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式10-1】（25-26七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式10-2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式10-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 【变式10-5】（24-25七年级上·湖北·期中）小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【详解】（1）解：由题意，算式为：， （2）解：若选择， 可得：， 若选择， 可得：， ∴小聪选择的顺序为． 【变式10-6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． ▌题型11 含乘方的有理数混合新定义运算 【典例11-1】（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【详解】（1）解：； （2）解： 【典例11-2】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 【典例11-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【变式11-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，； （2） ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （3）原式， ， ， ． 【变式11-2】（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 【变式11-3】（25-26七年级上·北京·期中）我国古老的八卦体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0） (1)【观察发现】图中左起第一、二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，_____，_____； (2)【解决问题】日常生活中，我们用十进制来表示数，进制数转换成十进制数的方法是：将进制数的右起．第一位乘以1，右起第二位开始，每一位数乘以的相应次方，即从右往左每一位数依次对应乘以1，，依此类推，然后相加．例如：，． ①按如图所示的运算程序，若输入的八进制数，则_____，最终的输出结果为_____；（用十进制数表示） ②计算机中采用二进制，主要用到两个数码0和1，此时需要把十进制转化为二进制，例如十进制，表示的二进制为．十进制50改写成二进制为_____； ③计算：．（用二进制数表示） 【详解】（1）解：根据观察，发现完整实线代表阳爻，用数字1表示，两条短线段表示阴爻，用数字0表示，继而得到第三个、四个符号表示的二进制数分别为，， 故答案为：，； （2）①根据题意，得输入的八进制数， 得， 不满足， 故， 故答案为,85，35； ②解：根据题意，得， 故表示的二进制为． 故答案为： ． ③解：， ， 故， 故， 故答案为：1． 【变式11-4】（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为176． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数基础运算（11题型突破·举一反三） 题型01 有理数加法及其简便运算 题型02 有理数加法新定义运算 题型03 有理数加减混合运算 题型04 有理数加减混合新定义运算 题型05 有理数乘法简便运算 题型06 有理数除法简便运算 题型07 有理数四则混合新定义运算 题型08 算“24”点 题型09 程序流程图与有理数四则计算 题型10 乘方的应用及含乘方的有理数混合运算 题型11 含乘方的有理数混合新定义运算 ▌题型01 有理数加法及其简便运算 1.同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 2.异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值； 3.特殊规则：互为相反数的两个数相加得0；一个数加0仍得原数。 4. 加法交换律： 5. 加法结合律： 6.分数小数统一、相反数结合、同分母结合、凑整数简化计算 【典例1-1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【典例1-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【典例1-3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【典例1-4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）有理数加法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【变式1-4】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． ▌题型02 有理数加法新定义运算 【典例2-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）若表示不超过的整数中最大的整数，如，．请计算： (1)； (2)． 【典例2-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知均为有理数，现规定一种新运算，满足．例如． (1)求的值； (2)求的值． 【典例2-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． 【典例2-4】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【变式2-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【变式2-4】（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【变式2-5】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；； (1)归纳运算的法则：同号两数进行运算___________，异号两数进行运算___________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，___________ (2)计算：___________． (3)是否存在有理数、，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式2-6】（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）观察下列“☆”运算： ，； ，； ，；… (1)归纳“☆”的运算法则______； (2)计算：； (3)直接写出的计算结果． 【变式2-7】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）”，然后他写出了一些按照（加乘） 运算的运算法则进行了运算的算式：；； ；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______ ；______； (2)拓展计算：；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． ▌题型03 有理数加减混合运算 核心公式：，本质是将减法转化为加法，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 【典例3-1】（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； 【典例3-2】（25-26七年级上·天津静海·期中）阅读材料： ， 根据以上规律，解决下列问题： (1) ； (2)计算：． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算：． 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3) ． (4)． ▌题型04 有理数加减混合新定义运算 【典例4-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【典例4-2】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）定义新运算“”：． (1)计算； (2)若，求的值． 【变式4-1】（25-26七年级上·重庆江津·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．）根据上述材料解决下列问题： (1)_____，_____． (2)在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是______；有理数减法法则“减去一个数，等于加这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？你能举例说明吗？ 【变式4-2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)____，_____； (2)计算：． 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． ▌题型05 有理数乘法简便运算 1.两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘； 2.多个非零数相乘：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负； 3.特殊规则：任意数与0相乘，积为0。 4. 乘法交换律： 5. 乘法结合律： 6. 乘法分配律：（高频难点：正向运用、逆用、负号分配） 【典例5-1】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【典例5-2】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【变式5-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) ； (2)． ▌题型06 有理数除法简便运算 核心公式：； 符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任意非零数得0。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算顺序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数乘法法则；②加法交换律；③加法结合律；④乘法对加法的分配律． （有理数除法法则） _________ _________ _________ _________ （有理数加法法则） ． 【典例6-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【典例6-3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 【变式6-3】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② ▌题型07 有理数四则混合新定义运算 【典例7】（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【变式7-1】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）对于整数，，有如下规定： ，计算：； 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． ▌题型08 算“24”点 【典例8-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在学习了有理数的混合运算后，小明玩“点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌去掉大、小王中任意抽取张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，，，，分别代表，，．小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，可以列出运算结果为的算式是______．（写出一个即可） 【典例8-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【变式8-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【变式8-4】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） ▌题型09 程序流程图与有理数四则计算 【典例9-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【典例9-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【变式9-1】（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）轩轩在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，求输出的结果的值． 【变式9-2】（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【变式9-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． ▌题型10 乘方的应用及含乘方的有理数混合运算 定义：（为正整数），为底数，为指数； 符号规则：正数的任意次幂为正；负数的偶次幂为正、奇次幂为负； 特殊值：0的正整数次幂为0；，，。 混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减/只有乘除），从左到右依次计算，禁止跳步； 3. 有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 【典例10-1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）计算：． 【典例10-2】（25-26七年级下·广东茂名·期末）计算： 【典例10-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【典例10-4】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【典例10-5】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【变式10-1】（25-26七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【变式10-2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2) 【变式10-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【变式10-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【变式10-5】（24-25七年级上·湖北·期中）小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【变式10-6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． ▌题型11 含乘方的有理数混合新定义运算 【典例11-1】（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【典例11-2】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【典例11-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【变式11-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 【变式11-2】（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【变式11-3】（25-26七年级上·北京·期中）我国古老的八卦体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0） (1)【观察发现】图中左起第一、二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，_____，_____； (2)【解决问题】日常生活中，我们用十进制来表示数，进制数转换成十进制数的方法是：将进制数的右起．第一位乘以1，右起第二位开始，每一位数乘以的相应次方，即从右往左每一位数依次对应乘以1，，依此类推，然后相加．例如：，． ①按如图所示的运算程序，若输入的八进制数，则_____，最终的输出结果为_____；（用十进制数表示） ②计算机中采用二进制，主要用到两个数码0和1，此时需要把十进制转化为二进制，例如十进制，表示的二进制为．十进制50改写成二进制为_____； ③计算：．（用二进制数表示） 【变式11-4】（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $