第一章 有理数全章高频重点题型突破（十三大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数全章高频题型，通过基础-核心-综合三级进阶训练，系统构建概念应用与解题方法体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|13题型|覆盖正数负数、数轴距离、绝对值等基础概念，强调概念辨析与基本运算|从概念定义到简单应用，形成"概念-性质-运算"的认知链条| |核心提升|8题型|包含数轴动点/翻折、绝对值最值、规律计算等综合题型，突出数形结合与逻辑推理|以数轴和绝对值为核心，延伸至动态问题与代数推理，体现知识迁移| |综合攻坚|多题综合|结合实际应用与新定义问题，融合跨知识点综合考查，培养应用意识|整合全章知识，通过实际情境与创新题型实现知识结构化与系统化|

第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴上两点之间的距离 题型4 利用数轴比较大小 题型5 求绝对值 题型6 绝对值的非负性 题型7 相反数 题型8 有理数的混合运算 题型9 有理数的简便运算 题型10 有理数四则混合运算的实际应用 题型11 有理数的乘方运算 题型12 程序流程图与有理数计算 题型13 算24点 核心提升：重难题型归纳 题型1 数轴上的动点问题 题型2 数轴上的翻折问题 题型3 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 题型4 绝对值的几何意义（最值） 题型5 绝对值的综合应用 题型6 二进制计算 题型7 有理数的规律计算 题型8 有理数的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正数与负数 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）在1，，0，4中，属于负数的是（　　） A．1 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查负数的基本概念，注意0既不是正数也不是负数．负数是指小于零的数，因此只需判断各数是否小于零． 【详解】解：∵负数定义为小于零的数， ∴在1，，0，4中， ∵， ∴属于负数的是． 故选：C． 2．（2026·河南许昌·一模）中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正负数可表示一对相反意义的量，题目中零上记为正，则零下记为负，据此即可作答． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 3．（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． ◆题型2 有理数的分类 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填在相应的圈内： ，，0，12，，， 正数：{                                ……}； 负分数：{                                ……}； 非负整数：{                                ……}； 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据大于0的数为正数、小于0的分数是负分数、非负整数包括0和正整数，据此解答即可得． 【详解】解：正数：； 负分数：； 非负整数：． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各数填入相应的集合内 2，，，2024，，，0，，，． 负整数集合：{                      …} 正数集合：{                      …} 整数集合：{                      …} 非正数集合：{                      …} 非负整数集合：{                      …} 【答案】负整数：；正数：2，，2024，；整数：2，2024，0，；非正数：，，0，，，；非负整数：2，2024，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．根据负整数，正数，整数，非正数，非负整数定义进行求解即可． 【详解】解：负整数集合：{}； 正数集合：{2，，2024，}； 整数集合：{2，2024，0，}； 非正数集合：{，，0，，，}； 非负整数集合：{2，2024，0}． 6．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． ◆题型3 数轴上两点之间的距离 7．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 8．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 【答案】5 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，则可得到的长，根据点C在点B的右侧，可知点C表示的数为点B表示的数加上点B与点C之间的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的右侧， ∴点C表示的数为． 9．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； 【答案】(1)7 (2)4 (3)2或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可； （4）直接根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在右侧时，； ②当另一个点在左侧时，， 综上，另一个点表示的数为2或． 故答案为：2或； （4）解：数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段． 故答案为：． ◆题型4 利用数轴比较大小 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）数m，n在数轴上的位置如图所示，用“”把m，，n，连接起来为 ______________．    【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点越向右越大． 【详解】解：由数轴可知，，且， 故． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·河北保定·期末）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、根据数轴比较有理数的大小等知识点，掌握数轴上点的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“＜”连接起来即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“＜”连接起来为． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）按要求画数轴，并回答问题． (1)画出数轴，并在数轴上表示这些数，0，，，，，将这些数用“”连接起来； (2)将这些数填入相应的数集圈里． 【答案】(1)数轴见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，利用数轴表示有理数和有理数的大小比较，绝对值，化简多重符号，解题的关键是掌握有理数的分类，有理数的大小比较方法． （1）先化简、，然后在数轴上表示各数，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可进行有理数的大小比较； （2）利用正数，整数，负数的定义解答． 【详解】（1）解： ，， ∴数轴表示为： ； （2）解：填表如下： ◆题型5 求绝对值 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 14．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． ◆题型6 绝对值的非负性 16．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，掌握非负数的最小值为0是解题的关键. 要找到表达式 的最小值，需分别分析平方项和绝对值项的最小值。 【详解】∵平方项和绝对值项具有非负性，即他们的最小值都是0 ∴的最小值是 故选：B. 18．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． ◆题型7 相反数 19．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 20．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点与点之间的距离为， ，解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 21．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． ◆题型8 有理数的混合运算 22．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 23．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1.6 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． ◆题型9 有理数的简便运算 25．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题，能简便运算的要简便运算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，在运算过程中可以运用运算律进行简便计算． 去掉绝对值符号，再根据有理数的加法法则进行计算； 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再运用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合起来进行计算； 把拆成，再利用乘法结合律进行简便计算； 利用乘法分配律，把与括号里面的各数分别相乘再相加； 把拆成，再利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 26．（25-26七年级上·内蒙古兴安·阶段检测）计算（能简便运算的尽量简便运算） (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数加减乘除运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 27．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ◆题型10 有理数四则混合运算的实际应用 28．（25-26七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 【答案】(1)二，102； (2)； (3)电商这一周一共赚了1428元． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解题意列出算式． （1）先求出表格中每天记录的数据的绝对值，再比较绝对值的大小，从而判断并解答即可； （2）观察表格，找出销量最多的一天和销量最少的一天，然后列出算式进行计算即可； （3）先求出这一周销售的总克数和每千克的纯利润，然后根据利润千克数每千克的纯利润，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，， ∵， ∴实际最接近原计划一天的销售量的是星期二，这天的销售量为：， 故答案为：二，102； （2）解：由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期日， ∴销量最多的一天比销量最少的一天多销售的千克数为：； （3）解：这一周的实际销售总量比计划总量多的千克数为： ， （元）， ∴ （元）， 答：电商这一周一共赚了1428元． 29．（25-26七年级上·河北保定·期末）出租车司机王师傅某日上午从A地出发，在南北方向的公路上行驶营运．下表是这天上午行驶的里程（单位：千米，规定向北走为正，向南走为负；○表示空载，√表示载有乘客）． 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 乘客 ○ √ √ ○ √ (1)王师傅走完第5次里程后，他在A地的什么方向？离A地多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.08升，王师傅开始营运前油箱里有14升油，若油箱里剩余油量8升时则会提醒加油，请通过计算说明王师傅这天上午是否会被提醒加油？ (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米后，超过的部分每千米收费1.9元，求王师傅这天上午的营业总额． 【答案】(1)正南方向，离A地12千米 (2)王师傅这天上午不会被提醒加油 (3)86.7元 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算及实际问题的处理，读懂题意，熟练运用有理数的运算是关键． （1）通过计算所有里程的代数和，确定方向与距离； （2）计算总行驶里程的绝对值之和，求耗油量，再比较剩余油量与8升的关系； （3）仅计算载客行程的收费，根据里程绝对值应用收费规则求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，（千米）， 所以，王师傅走完第5次里程后，他在A地的正南方向，离A地12千米． （2）解：由题意得，（千米）， ， 所以，王师傅这天上午不会被提醒加油． （3）解：由题意得，（元） 答：王师傅这天上午的营业总额为元． 30．（25-26七年级上·河北邢台·期末）某电商平台举办“水果节”促销活动，主播嘉嘉负责推广某品牌精品橙子，下表记录了她在一周内每日的销售量与标准销售量（每日销售标准为100箱）的差值（单位：箱，超额记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售的差值（箱） 根据表格回答下列问题： (1)嘉嘉在这一周实际共卖出多少箱橙子？ (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少箱？ (3)平台薪酬制度如下：日完成销售90箱以上的任务，每日均有800元底薪；超过100箱的部分每箱奖励25元，不足100箱的部分每箱扣40元．求这一周嘉嘉的总薪酬是多少元？ 【答案】(1)嘉嘉在这一周实际共卖出725箱橙子 (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售23箱 (3)这一周嘉嘉的总薪酬是5970元 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，正负数的应用，有理数减法的应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （3）可求出这七天每天的销售量都大于90箱，算出七天的底薪再加上奖励的总钱数，然后减去未完成部分扣的钱数，即可作答． 【详解】（1）解： （箱）， 答：嘉嘉在这一周实际共卖出725箱橙子； （2）解： （箱）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售23箱； （3）解：， ∴这七天每天的销售量都大于90箱， （元）， 答：这一周嘉嘉的总薪酬是5970元． ◆题型11 有理数的乘方运算 31．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 先算乘方、再运用有理数混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 33．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算：． 【答案】 5 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键．先乘方，再乘除，有括号的先算括号，最后进行减法运算即可． 【详解】解：原式 ． ◆题型12 程序流程图与有理数计算 34．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，我们看到第一次输出的结果为9．第二次输出的结果为3，……，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查的是程序流程图和有理数的运算，找出输出结果的规律是解题的关键．根据运算程序的示意图，依次计算每次输入后的输出结果，找出输出结果的规律，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序的示意图， 可得第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 从前面的计算结果可以看出，从第2次开始，输出结果以3,1两个数为一组进行循环， 故，， 说明第2026次输出的结果是循环节的第一个数，即为3． 故选：B． 35．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 【答案】 4 【分析】此题考查了程序的流程图，有理数的混合运算，解方程，弄清题中的程序流程是解本题的关键．根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3，将代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果；输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，即，解方程即可． 【详解】解：把代入可得： ， ， ， ， ∵， ∴再把代入可得： ， ， ， ， 故最后输出的结果是； ∵输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为， ∴， ， ， ， ． 故答案为：，4． 36．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． 【答案】(1)输出结果是9，计算说明见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数运算，解一元一次方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意计算出的结果，若结果为正，则输出结果，若结果非正，则取绝对值输出，据此求解即可； （2）设被墨水污染的数为x，再分两种情况：的结果为正数和的结果为负数，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴他的输出结果是； （2）解：设被墨水污染的数为x， 当的结果为正数时，则，解得， 当的结果为负数时，则，解得， 综上所述，或 ∴被墨水污染的数为或． ◆题型13 算24点 37．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 38．（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2)见详解 【分析】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）解：由题意得：； ； ． 39．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据有理数的四则运算法则求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． ◆题型1 数轴上的动点问题 40．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 41．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段的长度、代数式表示动点位置以及分类讨论思想，关键是根据运动速度和时间表示出各点表示的数，再结合距离公式推导数量关系． （1）数轴上两点距离为右边的数减去左边的数，点表示，点表示6，直接计算； （2）先表示运动秒后点、的表示的数：点向左运动，表示的数为；点向右运动，表示的数为．两点距离为右边表示的数减左边表示的数，即； （3）先表示运动秒后点、、的表示的数：A为，为，为．分别计算、、的距离表达式：，，，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故； （3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ∴，，． 当时，，则； 当时，，则； 综上，当时，；当时，． 42．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． ◆题型2 数轴上的翻折问题 43．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，，则点，两点之间的距离为．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知，且． (1)_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒. ①若点、点分别以每秒2个单位长度的速度和每秒4个单位长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距2个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)①当为时，点追上点；②点，在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了非负数的性质、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得点表示的数为，点的表示的数为，结合题意求出点表示的数为，求出折叠的点表示的数为，即可得出结果； （3）①由题意可得，秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果；②由题意可得，秒后，点表示的数为，点表示的数为，再结合点，相距2个单位长度，得出，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）可得：点表示的数为，点的表示的数为， ∵，且点在点的右侧， ∴点表示的数为， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠的点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为； （3）解：①由题意可得，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 故当为时，点追上点； ②由题意可得，秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点，相距2个单位长度， ∴， 解得：或， 当时，点，在数轴上表示的数分别为和；当时，点，在数轴上表示的数分别为和， 综上所述，点，在数轴上表示的数分别为和或和． 44．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)12 (4)①，；②当时，的值为定值，定值为． 【分析】本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数； （3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。 （4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值,据此求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：当时，，当时，有最小值16； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值20； 综上，的最小值为12； （4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 45．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)①；②2；③，8 (2)①2；②6或8 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，折叠的特点，数轴上表示数，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的两个数到折痕点数的距离相等，数轴上两点间的距离是解题的关键， （1）①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反，计算即可； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，由此得到，得到，计算即可； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，点B表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可； （2）根据题意，得，根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得,列式计算即可； ②根据题意，得到点P表示的数为，结合，两点之间的距离为2个单位长度，得到，计算即可． 【详解】（1）解：①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反， ∴数对应的点与数对应的点重合， 故答案为：； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设折叠后与0重合的数为x， 由此得到， 解得， 故答案为：2； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，点B表示的数是， 根据折叠的性质，得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动， 设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得 ∴， 解得； ②根据题意，得到点P表示的数为，根据，两点之间的距离为2个单位长度， 得， 解得或． ◆题型3 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 46．（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 47．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 48．（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【分析】（1）根据数轴上点的位置直观判断各点对应数到原点的距离，得出离原点最近和最远的数即可； （2）先由数轴确定各代数式的符号，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数混合运算得出结果即可； （3）将式子转化为数轴上点到、、三点的距离之和，利用奇数个点取中间点求最值的方法，代入计算即可得最小值； （4）先算、首次相遇时间，再求相遇后到第秒的时间差与此时的间距，最后根据改向后的相向运动速度和，即可计算出相遇所需时间． 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 【点睛】本题考查了数轴的综合应用，数轴上点到原点的距离、绝对值的代数化简与几何意义、有理数的混合运算，以及数轴上的分段动点相遇问题，将抽象的数与数轴上的点对应，结合数轴直观判断数的符号与大小关系，对动点问题按运动状态分阶段拆解并运用相对速度计算是解题的关键． ◆题型4 绝对值的几何意义（最值） 49．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 50．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 51．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3） （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． ◆题型5 绝对值的综合应用 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，见解析 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）解：设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 53．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 54．（25-26八年级下·全国·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值有关的问题，根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ， 最后输出的结果是2，故①错误； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， 此时输出结果为4，故②错误； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ， 此时输出结果为0，为最小值，故③正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得(负值舍去)， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； ③④正确，正确的个数是2个， 故选B． ◆题型6 二进制计算 55．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 56．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解不同进制数转换的方法． （1）利用除以2取余数的方法求解即可； （2）根据二进制加法计算法则（进位1）计算求解即可； （3）根据八进制乘法满8进1求解即可． 【详解】解：（1），余数为0； ，余数为1； ，余数为0； ，余数为1； ，余数为1； ，余数为1， ∴将58转换为二进制数的结果为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）八进制乘法满8进1， 则，记2，进位1； ，记7，无进位； ，记0，进位1， ∴ 故答案为：． 57．（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了十进制数与二进制数之间的转化，理解进制数的表示是解题的关键．根据进制数的表示方法及转化方法求解即可． 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． ◆题型7 有理数的规律计算 58．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据式子规律即可求解； （2）按照（1）中规律拆成两个分数的差的形式，再相加即可； （3）与（2）同理； （4）每项拆成的形式，即可相加． 【详解】（1）解：由式子规律得：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ． 59．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 60．（25-26七年级上·山东济南·期中）根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，据此即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（1）的思路可解答． （4）类比（2）的思路可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴， ， 故答案为：； （2）∵，，…， ∴ ； （3）∵， ， 同理，， 故答案为； （4）∴ ． ◆题型8 有理数的新定义问题 61．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：，故正确； ，故正确； 当时，，故错误； 当时，，故错误； ，，解得：，的值可以是，故正确． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 62．（25-26七年级上·广东广州·期末）19世纪中叶，代数学迎来蓬勃发展．伽罗瓦、阿贝尔等数学家为破解方程可解性难题，突破了四则运算的局限，形成一种“自定义运算”的思想，让代数从具体的数字运算迈入抽象的结构研究，开启了现代代数的新纪元．小天和小河运用这种思想开展了相关问题研究． 定义：对于任意的有理数，，定义新运算令． (1)探究性质： ①填空：当，时，计算________； ②当时，化简；并直接写出时的值． (2)性质应用： ①计算：________； ②若，，求的值； ③解方程：． 【答案】(1)①4；②当时，；当时， (2)①5；②；③ 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程等知识，解题的关键是： （1）①按照题目规定的新运算法则求解即可； ②按照题目规定的新运算法则求解即可； （2）①按照（1）②中结论求解即可； ②先化简b，然后根据作差法判断出，然后根据（1）②中结论求解即可； ③分三种情况讨论：当时；当时；当时，然后根据（1）②中结论和新定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， 故答案为：4； ②当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：①∵，当时，， ， 故答案为：5； ②∵ ， 又 ∴ ， ∴， ∴由（1）②知：； ③当时，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴， 解得， 综上，． 63．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 【答案】（1）点是点A，B的“关联点”，见解析；（2）①点所表示的数为0或或；②点所表示的数为8或14或5 【分析】本题主要考查了实数和数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分当点在点与点之间时和当点在点的左侧时两种情况进行讨论即可； ②分三种情况进行讨论，即当点分别为“关联点”的时候进行求解． 【详解】解：（1）点是点A，B的“关联点” 理由：点与点之间的距离为， 点与点之间的距离为， ∵ ∴点是点A，B的“关联点”； （2）由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． ①当点在点与点之间时： 点与点之间的距离为， 或点与点之间的距离为， 所以此时点表示的数为或； 当点在点的左侧时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍． 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为0或或． ②当点为点A，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧，点在点的左侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，A的“关联点”时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍或， 又因为点在点的右侧， 所以此时点所表示的数为或． 综上可知，点所表示的数为8或14或5． 1．（2026·河北唐山·二模）能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 【答案】A 【分析】因为，且2和3互质，所以能被6整除的数需要同时满足能被2整除和能被3整除，根据能被2、3整除的数的特征即可判断选项． 【详解】解：∵，2和3互质， ∴能被6整除的数需同时被2和3整除． 根据能被2整除的数的特征，个位为偶数才能被2整除． 选项中只有A选项222的个位是偶数，B，C，D的个位均为奇数，都不能被2整除，因此排除B，C，D． ∵222各位数字和为，6是3的倍数， ∴222能被3整除． 因此222同时满足被2和3整除，即能被6整除． 2．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 3．（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义、相反数的定义、倒数的定义、有理数的混合运算． 根据相反数和倒数的定义，得到，，根据绝对值和乘法运算法则，得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：a、b互为相反数，c、d互为倒数， ，， ，，且， ，或，， ， ． 故选：D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）按下面的程序计算： 如果值为非负整数，最后输出的结果为，则开始输入的值可能有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【分析】此题主要考查一元一次方程，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：第一个数：，解得， 第二个数：，解得， 第三个数：，解得， 第四个数：，解得， 第五个数：，解得， 由值为非负整数可知的值可能为这5种情况， 故选A． 6．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 7．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算与一元一次方程在幻方数字和问题中的应用，解题关键是通过总数字和确定相等的和，再列方程求解未知量． 先计算所有数字的总和，确定横、竖及正方形顶点数字之和的定值，再通过列方程依次求出b、，最后结合内正方形顶点数字和的关系求出c的值． 【详解】计算所有数字的总和为： ； 因为横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等， 所以每个“和”为． 先看竖列：，即， 解得． 再看外正方形顶点：，即， 解得． 剩下的数字为、3、、， 因为，而剩下的两个数字， 所以和分别为和（顺序可换）． 最后看内正方形顶点：， 已知，代入得，即， 解得． 故选：C． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．若机器人搭载了个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘___________个苹果． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．工作时间1小时秒，有个机械手的机器人1小时内采摘苹果总数为个，工人在秒内采摘苹果数为个，计算采摘数量差即可． 【详解】解： ∵机器人每个机械手每8秒采摘1个苹果， ∴每个机械手在秒内采摘苹果数为个， ∵机器人有m个机械手， ∴机器人采摘苹果总数为个， ∵工人每5秒采摘1个苹果， ∴工人在秒内采摘苹果数为个． ∴机器人比工人多采摘的苹果数为个． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南开封·期中）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 【答案】11001 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．本题的关键点是考生要在十进制的基础上理解二进制的表示方式，发现规律，应用规律，此题较为新颖，是近几年的常考题.根据题意，结合题意，将十进制数25表示为，继而得解． 【详解】解：，因此最高位为1，剩余； ，因此下一位为1，剩余； ，因此下一位为0； ，因此下一位为0； ，因此最后一位为1， ∴， ∴二进制表示为11001， 故答案为：11001． 10．（25-26七年级上·山东·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出、、，找出规律．根据题目中给出的信息，依次算出、、，然后找出规律，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ，，……， ∴每3次运算结果循环出现一次， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的数字规律问题，找出圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律是解决此类题目的关键．根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知，圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ， 每四个数2，3，0，1一个循环， ， 数轴上表示2025的点与循环数中第一个数2的点重合， 故答案为：2． 12．（24-25六年级上·上海·期中）若三个非零有理数a，b，c满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，根据，得到的符号为一负两正，进而得到，根据绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为一负两正， ∴， ∴. 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有__________个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（25-26七年级上·河北·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达A，再向右爬了2个单位长度到达点B．然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，并标出A、B、C三点在数轴上的位置； (2)写出A、B、C三点表示的数；并把这三个数用“”号从小到大连接起来． (3)根据点C在数轴上的位置，C点可以看作蚂蚁从原点出发向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (4)若蚂蚁从点C出发沿着数轴爬了3个单位长度到达点D，则点D表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)A点表示，B点表示，C点表示； (3)向左爬行了个单位长度 (4)点D表示的数是或 【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出数，然后再比较出大小即可； （3）根据点C的位置求解即可． （4）分两种情况求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：点C在坐标原点左边四个单位处，则C点可以看作蚂蚁从原点出发向左爬行了个单位长度得到的； （4）解：当蚂蚁从点C出发沿着数轴向左移动爬了3个单位长度到达点D，则点D代表的数为：， 当蚂蚁从点C出发沿着数轴向右爬了3个单位长度到达点D，则点D代表的数为：， 则点D表示的数是或． 17．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【答案】(1)①2；②这3个数字的和为 (2)计算结果的最大值为13 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； （2）解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 19．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 (1)求飞机完成上述四个表演动作后，飞机的高度是多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降千米需消耗升燃油，而航空燃油每升元，那么飞机在这个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？ (3)若另一架飞机在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机在完成第个动作后与飞机完成个动作后的高度相同，问飞机的第个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)元 (3)飞机的第个动作是下降千米 【分析】本题主要考查有理数加减法与乘法的实际应用 （1）通过计算飞机四次高度变化数值的代数和，得到最终高度； （2）先求出飞机飞行的总路程（各高度变化的绝对值之和），再结合每千米耗油量与油价计算总燃油费用； （3）先算出飞机前三次动作后的高度，再与飞机的最终高度对比，确定第四个动作的升降方向及距离． 【详解】（1）解： 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机的高度是 （2）解： (元) 答：飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要元 （3）解：飞机完成前个动作后的高度为： ∵飞机完成个动作后的高度是 飞机的第个动作是下降千米 答：飞机的第个动作是下降千米 20．（25-26七年级上·河北衡水·期末）某校为推进“阳光大课间”运动，举行了一分钟跳绳联赛．比赛规则如下：以每分钟160次为标准，每位参赛代表的基础分为10分．超过标准，每多跳1次加1分；未达到标准，每少跳1次扣分．七年级（1）班选派了10名代表参赛．赛后以160次为标准，将超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，记录了如下成绩（单位：次）： 参赛代表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 (1)这10名参赛代表之间成绩最多相差多少次？ (2)平均每人一分钟跳绳多少次？ (3)大赛组委会规定：一个班级的跳绳总积分由基础分和加减分构成，若总积分超过100分，即可获得“团体优胜奖”．请你通过计算判断七年级（1）班能否获得该奖项． 【答案】(1)26次 (2)164次 (3)七年级（1）班能获得该奖项 【分析】本题考查了正数和负数意义以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据题意列式计算求出该班的总积分，再与100比较即可． 【详解】（1）解：， （次）， 答：这10名参赛代表之间成绩最多相差26次． （2）解： （次）， 答：平均每人一分钟跳绳164次． （3）解： （分）， 因为， 所以七年级（1）班能获得该奖项． 21．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)请写出第5个等式：________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）________； (3)根据上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律可得 ； （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式为： ∴第5个等式为： 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ． 22．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【分析】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴上两点之间的距离 题型4 利用数轴比较大小 题型5 求绝对值 题型6 绝对值的非负性 题型7 相反数 题型8 有理数的混合运算 题型9 有理数的简便运算 题型10 有理数四则混合运算的实际应用 题型11 有理数的乘方运算 题型12 程序流程图与有理数计算 题型13 算24点 核心提升：重难题型归纳 题型1 数轴上的动点问题 题型2 数轴上的翻折问题 题型3 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 题型4 绝对值的几何意义（最值） 题型5 绝对值的综合应用 题型6 二进制计算 题型7 有理数的规律计算 题型8 有理数的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正数与负数 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）在1，，0，4中，属于负数的是（　　） A．1 B．0 C． D．4 2．（2026·河南许昌·一模）中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） ◆题型2 有理数的分类 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填在相应的圈内： ，，0，12，，， 正数：{                                ……}； 负分数：{                                ……}； 非负整数：{                                ……}； 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各数填入相应的集合内 2，，，2024，，，0，，，． 负整数集合：{                      …} 正数集合：{                      …} 整数集合：{                      …} 非正数集合：{                      …} 非负整数集合：{                      …} 6．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） ◆题型3 数轴上两点之间的距离 7．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 8．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 9．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； ◆题型4 利用数轴比较大小 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）数m，n在数轴上的位置如图所示，用“”把m，，n，连接起来为 ______________．    11．（25-26七年级上·河北保定·期末）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）按要求画数轴，并回答问题． (1)画出数轴，并在数轴上表示这些数，0，，，，，将这些数用“”连接起来； (2)将这些数填入相应的数集圈里． ◆题型5 求绝对值 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 14．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 ◆题型6 绝对值的非负性 16．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 18．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 ◆题型7 相反数 19．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 20．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 21．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． ◆题型8 有理数的混合运算 22．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 23．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 24．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ◆题型9 有理数的简便运算 25．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题，能简便运算的要简便运算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 26．（25-26七年级上·内蒙古兴安·阶段检测）计算（能简便运算的尽量简便运算） (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 27．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) ◆题型10 有理数四则混合运算的实际应用 28．（25-26七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 29．（25-26七年级上·河北保定·期末）出租车司机王师傅某日上午从A地出发，在南北方向的公路上行驶营运．下表是这天上午行驶的里程（单位：千米，规定向北走为正，向南走为负；○表示空载，√表示载有乘客）． 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 乘客 ○ √ √ ○ √ (1)王师傅走完第5次里程后，他在A地的什么方向？离A地多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.08升，王师傅开始营运前油箱里有14升油，若油箱里剩余油量8升时则会提醒加油，请通过计算说明王师傅这天上午是否会被提醒加油？ (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米后，超过的部分每千米收费1.9元，求王师傅这天上午的营业总额． 30．（25-26七年级上·河北邢台·期末）某电商平台举办“水果节”促销活动，主播嘉嘉负责推广某品牌精品橙子，下表记录了她在一周内每日的销售量与标准销售量（每日销售标准为100箱）的差值（单位：箱，超额记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售的差值（箱） 根据表格回答下列问题： (1)嘉嘉在这一周实际共卖出多少箱橙子？ (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少箱？ (3)平台薪酬制度如下：日完成销售90箱以上的任务，每日均有800元底薪；超过100箱的部分每箱奖励25元，不足100箱的部分每箱扣40元．求这一周嘉嘉的总薪酬是多少元？ ◆题型11 有理数的乘方运算 31．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）计算 (1)； (2) 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：． 33．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算：． ◆题型12 程序流程图与有理数计算 34．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，我们看到第一次输出的结果为9．第二次输出的结果为3，……，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 35．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 36．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． ◆题型13 算24点 37．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 38．（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 39．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． ◆题型1 数轴上的动点问题 40．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 41．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 42．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． ◆题型2 数轴上的翻折问题 43．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，，则点，两点之间的距离为．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知，且． (1)_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒. ①若点、点分别以每秒2个单位长度的速度和每秒4个单位长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距2个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 44．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 45．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ ◆题型3 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 46．（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 47．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 48．（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ ◆题型4 绝对值的几何意义（最值） 49．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 50．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 51．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． ◆题型5 绝对值的综合应用 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 53．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 54．（25-26八年级下·全国·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆题型6 二进制计算 55．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 56．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 57．（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． ◆题型7 有理数的规律计算 58．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 59．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 60．（25-26七年级上·山东济南·期中）根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． ◆题型8 有理数的新定义问题 61．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 62．（25-26七年级上·广东广州·期末）19世纪中叶，代数学迎来蓬勃发展．伽罗瓦、阿贝尔等数学家为破解方程可解性难题，突破了四则运算的局限，形成一种“自定义运算”的思想，让代数从具体的数字运算迈入抽象的结构研究，开启了现代代数的新纪元．小天和小河运用这种思想开展了相关问题研究． 定义：对于任意的有理数，，定义新运算令． (1)探究性质： ①填空：当，时，计算________； ②当时，化简；并直接写出时的值． (2)性质应用： ①计算：________； ②若，，求的值； ③解方程：． 63．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 1．（2026·河北唐山·二模）能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 2．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）按下面的程序计算： 如果值为非负整数，最后输出的结果为，则开始输入的值可能有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 6．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 7．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．若机器人搭载了个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘___________个苹果． 9．（25-26七年级上·河南开封·期中）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 10．（25-26七年级上·山东·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是__________． 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 12．（24-25六年级上·上海·期中）若三个非零有理数a，b，c满足，则______． 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有__________个． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1)； (2) 16．（25-26七年级上·河北·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达A，再向右爬了2个单位长度到达点B．然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，并标出A、B、C三点在数轴上的位置； (2)写出A、B、C三点表示的数；并把这三个数用“”号从小到大连接起来． (3)根据点C在数轴上的位置，C点可以看作蚂蚁从原点出发向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (4)若蚂蚁从点C出发沿着数轴爬了3个单位长度到达点D，则点D表示的数是多少？ 17．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 19．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 (1)求飞机完成上述四个表演动作后，飞机的高度是多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降千米需消耗升燃油，而航空燃油每升元，那么飞机在这个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？ (3)若另一架飞机在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机在完成第个动作后与飞机完成个动作后的高度相同，问飞机的第个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 20．（25-26七年级上·河北衡水·期末）某校为推进“阳光大课间”运动，举行了一分钟跳绳联赛．比赛规则如下：以每分钟160次为标准，每位参赛代表的基础分为10分．超过标准，每多跳1次加1分；未达到标准，每少跳1次扣分．七年级（1）班选派了10名代表参赛．赛后以160次为标准，将超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，记录了如下成绩（单位：次）： 参赛代表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 (1)这10名参赛代表之间成绩最多相差多少次？ (2)平均每人一分钟跳绳多少次？ (3)大赛组委会规定：一个班级的跳绳总积分由基础分和加减分构成，若总积分超过100分，即可获得“团体优胜奖”．请你通过计算判断七年级（1）班能否获得该奖项． 21．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)请写出第5个等式：________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）________； (3)根据上述规律，计算：． 22．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $