1.1.1 集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念第1课时，涵盖元素与集合的含义、元素的确定性互异性无序性特征、元素与集合的关系及常用数集记法。通过6个实例引导学生观察共同特点，从具体对象抽象出元素与集合概念，搭建从实例到定义的学习支架。 其亮点在于问题驱动与实例分析结合，如“AI·思考辨析”中“著名高等院校能否构成集合”助学生理解确定性，例2方程根集合问题强化互异性，体现数学眼光的抽象能力和数学思维的推理意识。知识梳理用表格清晰呈现特征与数集记法，课堂小结归纳方法与误区，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源。

第1课时 集合的概念 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.(重点) 2.识记常见数集的表示符号. 学习目标 元素与集合的概念 一 下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 问题1 提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等. 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 元素 集合 集 知识梳理 对集合概念的理解 1.描述性：“集合”是一个原始的、不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面” 等概念一样，都只是描述性的说明. 2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看 作“对象”，即集合的元素.它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、 物等. 3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象. 4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成 了集合，这个集合就是这些对象的总体. 6 AI·思考辨析 “我国著名的高等院校”能构成一个集合吗? 提示 不能.因为“著名的高等院校”判断标准不明确. 体验新知 1.判断下列每组对象能否构成一个集合: (1)不超过36的非负数; (2)方程x2-10=0在实数范围内的解; (3)某校2026年在校的所有成绩好的同学; (4)π的近似值的全体. 解 (1)对任意一个实数能判断出其是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合. (2)能构成集合. (3)“成绩好”无明确的标准,对于某个同学算不算成绩好无法客观地判断,因此不能构成一个集合. (4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值,所以不能构成集合. 二 集合中元素的特征 问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 问题2 提示　都能构成集合.(1)2，4，6，8，10；(2)立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的点；(5)1，2；(6)太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋. 1.集合中元素的特征： ， ， . 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合是相等的. 确定的 互不相同的 无序的 一样的 知识梳理 特性 含义 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分. 13 AI·思考辨析 改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗? 提示 是. 例1 ［多选题，教材改编P2引例］下列各对象可以组成集合的是( ) ACD A.1到20内的所有质数 B.中国著名的数学家 C.我国古代四大发明 D.某学校今年入学的高一学生 判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准. 【解析】 选项 分析 结果 A 1到20内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，是确定的. √ B 如何才算著名？标准不明确. C 我国古代四大发明为造纸术、指南针、火药、印刷术，是确定的. √ D 集合中元素明确，能构成集合. √ 15 例2(1)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有　　　　　个元素. (2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.   2 解 因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0, 此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1. (1)判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 反 思 感 悟 元素和集合之间的关系 三 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 _____ a不属于集合A a∈A a∉A 特别提醒 1.对于元素与集合，在与 这两种情况中必有一种且只有一种情况成立. 2.符号“ ”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系,注意开 口方向.（开口方向都向着集合） 知识梳理 特性 含义 示例 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也 就是说，给定一个集合，那么一个元素在 或不在这个集合中就确定了. 若用集合 表示中国各省的省 会，则郑州，洛阳 . 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的，也 就是说，集合中的元素是不重复出现的. 若实数,是集合 中的两个元 素，则 . 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分. 由1，0构成的集合和由0，1构 成的集合是同一个集合. 20 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的（与元素顺序无关，即无序性），我们就称这两 个集合是相等的.集合与集合相等记作 . 知识剖析 （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可能相等.比如由所有大 于0且小于5的自然数构成的集合与由1，2，3，4构成的集合相等． 集合的分类 21 AI·思考辨析 1.如何准确理解符号“∈”和“∉”? 提示 符号“∈”和“∉”用于表示元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. 2.设集合A表示“10以内的所有素数”组成的集合,则3和4这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示? 提示 3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4∉A. 例3 ［教材改编P5习题1.1 T1］用符号“ ”和“ ”填空： （1）设集合是正整数的集合，则0___，___ ； 【解析】正整数是不包含0的自然数，如1,2,3, ,显然0和都不属于 . （2）设集合是小于的所有实数的集合，则___,___ . 【解析】因为，所以属于；因为 ，所以 不属于 ． 23 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ____ 或N+ ____ ____ R N N* Z Q 知识梳理 特别提醒 <m></m>，<m></m>,<m></m>的区别与联系 1.<m></m>为非负整数集（或自然数集），而<m></m>或<m></m>表示正整数集，不同之处就是<m></m>包括0， 而<m></m>不包括0. 2.<m></m>和<m></m>的含义是一样的，注意不要误记.（*在右上角（天上）,<m></m>在右下角 （地下）） 25 (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 注 意 点 <<< 26 体验新知 用符号“∈”或“∉”填空: 0　　　　　N,0　　　　　N*,  -1　　　　　N,-1　　　　　Z,  3.14　　　　　Q,π　　　　　Z,  ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉ 例3 ［多选题,教材改编P5练习T2］下列表示正确的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有 ，故A正确； 不是整数，即有 ，故B错误； 是负整数，即有 ，故C错误； 是无理数，即有 ，故D正确. 28 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 判断元素和集合关系的方法 反 思 感 悟 重难探究·能力素养速提升 三 能力提升点一　集合的概念 【例1】 (1)(2026河北邯郸阶段练习)下列对象能组成集合的是(　　) A.善良的人 B.所有的直角三角形 C.比较大的数 D.有趣的书 B 解析 因为善良、比较大、有趣都没有具体的衡量标准,不符合集合中元素的确定性,故A,C,D错误;直角三角形的标准明确,故B能组成集合.故选B. (2)(多选题)下列各组中集合P与Q,表示的集合相同的是(　　) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的集合 AD 解析 因为选项A,D中集合P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示的集合相同,而选项B,C中集合P,Q的元素不相同,所以P与Q表示的集合不相同.故选AD. 能力提升点二　元素与集合的关系 【例2】 (1)(多选题)已知不超过5的实数组成的集合为M,a=,则 (　 　) A.a∈M B.a+1∉M C.∈M D.a2∉M ACD 解析 对于A,因为a==4<5,所以a∈M,故A正确; 对于B,因为a+1=+1<+1=4+1=5,所以a+1∈M,故B错误; 对于C,因为a=,所以<5,所以∈M,故C正确; 对于D,因为a=,所以a2==5+2>5,所以a2∉M,故D正确.故选ACD. (2)关于x的不等式x-m<0的解集为M,若0∈M,则实数m满足(　　) A.m<0 B.m>0 C.m≠0 D.不确定 B 解析 x-m<0,即x<m,因为0∈M,所以m>0.故选B. 变式训练2　(多选题)下列关系正确的是(　　) A.∈R B.|-3|∉N C.-∉Q D.∈Q AC 解析 对于A,是实数,即∈R,故A正确; 对于B,|-3|=3∈N,故B错误; 对于C,-是无理数,所以-∉Q,故C正确; 对于D,不是Q的元素,故D错误.故选AC. 1.知识清单： (1)元素与集合的概念. (2)集合中元素的特征. (3)元素与集合的关系. (4)常用数集的记法. 2.方法归纳：直接法、推理法. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素.集合中忽略互异性的判断. 课堂小结 随堂演练 四 知识点一 集合的概念 1.（多选）[2026山东邹城实验中学月考]下列各组对象能组成集合的是 ( ) BC A.我校高一年级所有聪明的学生 B.所有的平行四边形 C.所有不小于3的正整数 D.与3接近的数 【解析】 集合中的元素是确定的.但对于A,D，“聪明”“与3接近”都没有确 定的标准，所以元素无法确定，故A,D不满足要求.所有的平行四边形都可 以被明确定义，即两组对边分别平行的四边形，B能组成集合.所有不小于 3的正整数可以被明确定义，C能组成集合.故选 . 39 2. （2026湖南邵阳期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组 成集合的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，A中字母 重复（ 不满足集合中元素的互异性特 征）,B中字母和重复，C中字母 重复,故A,B,C都不可以以自身包含的所有字母为元素 组成集合； 字母没有重复，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合. 40 题组二　元素与集合的关系 3.[教材习题改编]给出下列关系:①π∈R;② ∈Q;③-3∉Z;④|-3|∉N;⑤0∉Q.其中正确的个数为  ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 A     解析　易知仅有π∈R正确. 4.（2026天津武清区期中）给出下列关系:；； ； ； .其中正确的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ，，， 分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集. 是正整数，即 ； 是整数，即 ； 是无理数，故 ； 是实数，故 ； 1.21是有理数，故 . 42 5.[2026天津武清区杨村四中期中]给出下列关系： ； ；；； .其中正确的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ,,, 分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集. 是正整数，即，故①错误；0是整数，即 ，故②错 误；是无理数，则，故③错误；是实数，即 ，故④正 确；1.21是有理数，即 ,故⑤正确.正确的个数为2，故选B. 43 6.[2026吉林东北师范大学附属中学月考]已知关于x的不等式3ax-2≤0的解集为A,若1∈A且2∉A,则  ( ) A. <a< 　    B.a<0 C. <a≤ 　    D.a>      C     解析　由1∈A且2∉A可得  解得 <a≤ . $