1.1.2 集合的表示 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，通过“课代表集合”“不等式解集”等问题导入，衔接自然语言法，搭建从具体到抽象的学习支架，系统讲解列举法和描述法的概念及应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光、思维与语言，如“思考辨析”深化抽象能力，“方程与集合”例题强化推理意识，“变式训练”结合生活实例提升应用意识。小结梳理知识与方法，助力学生系统掌握，教师可通过分层训练提升教学效率。

第2课时 集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.(重点) 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(难点) 学习目标 用列举法表示集合 一 用A表示“本班所有的课代表”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 问题1 提示　①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有课代表的名字写出来，或者把所有课代表的学号一一写出. 列举法——把集合的所有元素 出来，并用花括号“｛　｝”括起来表示集合的方法叫做 . 一一列举 列举法 知识梳理 知识剖析 使用列举法表示集合时的注意点 1.花括号“”表示“所有”“整体”的含义.如实数集可以写为{实数 ，不能写成{实数 集，全体实数， }. 2.列举元素时注意元素的互异性.如方程 有两个相等实数根，但它的 根构成的集合只能表示为 . 3.根据集合中元素的无序性，元素的书写一般不考虑顺序.如由1,2,3构成的集合可表 示为，， . 6 4.用列举法表示集合时要遵循以下规则： （1）元素个数少且有限时，全部列举，如,，2，3， ； 与是不同的，是集合的元素，集合是由一个元素组成的集合 （2）元素个数多且有限时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为 代表，其他元素用省略号表示，如“从1到100的所有自然数”可以表示为 ，2，3， ， ； （3）元素个数无限但有规律时，可类似于（2），如自然数集可以表示为 ，1， 2，3， . 不是所有集合都能用列举法表示. 7 AI·思考辨析 1.a与{a}有什么区别? 2.使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序有要求吗? 提示 a是一个元素,{a}是集合. 提示 由于集合中的元素具有无序性,因此使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序没有要求. 例1 用列举法表示下列集合： （1） }=_____________; ，3，4， 【解析】 , 且能整除6. 又, ,3,4,5， ，3，4， . （2） }=_____________. ，2，3， 【解析】由（1）知，当为0，3，4，5时， 相应的值分别为1，2，3，6，都是自 然数，，2，3，.（集合的代表元素是,注意与集合 区分） 9 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 用列举法表示集合的三个步骤 反 思 感 悟 二 用描述法表示集合 不等式x-7<3的集合能用列举法表示吗？为什么？ 问题2 提示　不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为｛x∈R|x<10｝. 仿照上面的例子以及阅读课本，请表示出偶数集. 问题3 提示　｛x∈Z|x=2k，k∈Z｝. 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法. ｛x∈A|P(x)｝ 知识梳理 对描述法的几点说明 1.描述法还有文字描述法，即用文字描述元素具有的特征，再用“ ”括起来表示集 合的方法，如{自然数}= . 15 2.使用描述法表示集合时要注意： ①竖线前写清元素的代表符号，如不能写成 ; ②竖线后用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式等； ③不能出现未被说明的字母，如中 未被说明，故元素是不确定的； ④所有描述的内容都要写在花括号内，如“, ”不符合要求，应 写为, ; ⑤如果从上下文的关系看，，是明确的，那么， 可以省略，只 写元素，如集合也可表示为 . 3.多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如 或 等. 16 AI·思考辨析 集合A={x∈R|x>5}与B={t∈R|t>5}是否表示同一个集合? 提示 是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合. 例2 用描述法表示下列集合： （1）{，，，， }； 【解析】可表示为，且 ． （2）偶数集； 【解析】可表示为，}．（奇数集可表示为, }） （3）被3除余2的正整数组成的集合； 【解析】可表示为， }． 设被3除余2的数为，则，，但此题要求 为正整数，故 ，，也可以写成，.（注意此时 从1开始） . . 18 （4），，，， ． 【解析】可表示为， ． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为， ，也可以写成 ，．（注意此时 从0开始） . . 19 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示. (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. (3)用花括号括起来：一般格式为｛x|p(x)｝或｛x∈A|p(x)｝.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件. 用描述法表示集合的三个步骤 反 思 感 悟 方程与集合 三 例3 已知集合A=｛x|ax2+2x+1=0｝，若A中只有一个元素，求a的值. 当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=-，符合题意； 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程， 当Δ=4-4a=0，即a=1时，原方程的解为x=-1，符合题意. 故当A中只有一个元素时，a的值为0或1. 22 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 延伸探究 1 A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素. 当A中只有一个元素时，由例题可知，a=0或a=1. 当A中没有元素时，Δ=4-4a<0，且a≠0，即a>1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为｛a|a=0或a≥1｝. 23 在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合｛1｝相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 延伸探究 2 24 ∵A=｛1｝，∴1∈A， ∴a+2+1=0，即a=-3. 又当a=-3时，由-3x2+2x+1=0， 得x=-或x=1， 即方程ax2+2x+1=0有两个根-和1， 此时A=，与A=｛1｝矛盾. 故不存在实数a，使A=｛1｝. 25 (1)集合中元素的个数即为方程的不等实根的个数. (2)解方程ax2+bx+c=0时注意对a的讨论. 根据已知的集合求参数的关注点 反 思 感 悟 二 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合: (1)方程x2-4=0的所有实数根组成的集合; 解 由x2-4=0可得x=2或x=-2, 所以方程x2-4=0的所有实数根组成的集合为{-2,2}. (2)不等式3x-4<2的所有正整数解组成的集合; 解 由3x-4<2可得x<2,由于x为正整数,所以x=1, 故不等式3x-4<2的所有正整数解组成的集合为{1}. (3)一次函数y=x+3的图象与坐标轴的所有交点组成的集合. 解 令y=0,则x+3=0,x=-3,故y=x+3的图象与x轴的交点为(-3,0), 令x=0,则y=3,故y=x+3的图象与y轴的交点为(0,3),因此一次函数y=x+3的图象与坐标轴的所有交点组成的集合为{(0,3),(-3,0)}. 变式训练1 用列举法表示下列集合(只写结果). (1)大于10而小于20的合数组成的集合; 解 {12,14,15,16,18}. (2)由所有正整数组成的集合; 解 {1,2,3,4,…}. (3)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合; 解 {-1,0}. (4)方程+|2y+1|=0的解集. 解 {x=,y=-}. 能力提升点二　用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合: (1)不等式2x-3<1的解组成的集合A; 解 A={x|2x-3<1}={x|x<2}. (2)被3除余2的正整数的集合B; 解 B={x|x=3n+2,n∈N}. (3)C={2,4,6,8,10}; 解 C={x|x=2n,n≤5且n∈N*}(答案不唯一). (4)平面直角坐标系内第一或第三象限的点组成的集合D. 解 D={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}. 变式训练2 (苏教版教材例题改编)用描述法表示下列集合: (1)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合; (2)2和3的所有公倍数构成的集合; 解 平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合, 由于集合的代表元素是点,因此用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}. 解 2和3的最小公倍数是6, 因此2和3的所有公倍数构成的集合是{x|x=6n,n∈N*}. (3)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; 解 设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为{x∈R|x2-2=0}. (5)大于1的所有偶数组成的集合; (6)不等式2x-3>5的解集. 解 设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N*. 因此,这个集合表示为A={x|x=2k,k∈N*}. 解 由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x|x>4,x∈R}. 能力提升点三　集合表示方法的选择与转换 【例3—1】 选择适当方法表示下列集合: (1)由小于8的所有自然数组成的集合A; 解 列举法表示为A={0,1,2,3,4,5,6,7},描述法表示为A={x∈N|x<8}. (2)自然数的平方组成的集合B; 解 描述法表示为B={x|x=n2,n∈N}. (3)方程组的解组成的集合C; 解 方程组解得 所以用列举法表示为C={(2,1)},描述法表示为C=. (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 解 描述法表示为D={(x,y)|y=x2+2x-10}. 【例3—2】 用列举法表示下列集合: (1)★A={x|(x-1)2(x+1)=0}; 解析 ∵(x-1)2(x+1)=0, ∴x=1或x=-1,∴A={1,-1}. (2)★★B={x∈N|∈N}. 解析 ∵x∈N,∈N,∴x=0,3,4,5,∴B={0,3,4,5}. 变式训练3　(多选题)下列四个命题中正确的是(　　) A.由(a,b,c∈R)所确定的实数集合为{-3,-2,-1,1,2,3} B.同时满足的整数解的集合为{-1,0,1,2} C.集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}可以化简为{(0,8),(2,5),(4,2)} D.A={a|∈N,a∈Z}中含有三个元素 BC 解析 对于选项A, 当a,b,c都是正数时,原式=1+1+1=3; 当a,b,c都是负数时,原式=-1-1-1=-3; 当a,b,c两正一负时,原式=1+1-1=1; 当a,b,c两负一正时,原式=-1-1+1=-1,故A错误; 对于选项B,由得-2<x≤2, 所以符合条件的整数解的集合为{-1,0,1,2},故B正确; 对于选项C,由3x+2y=16,x∈N,y∈N, 可以得到符合条件的数对有(0,8),(2,5),(4,2),故C正确; 对于选项D,当a=2时,=6∈N;当a=1时,=3∈N; 当a=0时,=2∈N;当a=-1时,∉N; 当a=-2时,∉N;当a=-3时,=1∈N, 所以集合A含有四个元素2,1,0,-3,故D错误.故选BC. 能力提升点四　方程(不等式)的解集 【例4】 设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A. (1)若2∈A,则A中至少还有几个元素? (2)集合A是否为双元素集合?请说明理由. 解 (1)由2∈A,得=-1∈A,则∈A,因此=2∈A, 所以A中至少还有两个元素为-1,. (2)不是双元素集合.理由如下: 由x∈A,得∈A,则∈A, 而x≠1且x≠0,x2-x+1=>0,即x2-x+1≠0,x(1-x)≠1, 于是x≠,由x2-2x+1≠-x,得(x-1)2≠-x,则, 因此集合A中至少有3个元素,所以集合A不是双元素集合. 变式训练4　已知集合M={(a,b)|ab=16,a,b∈N*},则M中元素的个数为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 解析 依题意,M={(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)},所以M中元素的个数为5.故选C. 1.知识清单： (1)列举法. (2)描述法. (3)方程与集合的关系. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程. 课堂小结 随堂演练 四 题型一 集合的表示方法 1.（多选/2026安徽部分学校联考）方程 的解集可表示为( ) BC A. B.或 C., D., 【解析】 由可得 ，所以根据描述法、列举法可得方程的解集为 或,( A选项不符合描述法: ). 44 2.（2025河北省高碑店市第一中学月考）图中阴影部分 （含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ___________ ____________________. ,且 【解析】 设集合中的代表元素是 . 由题意,,且 , 因此所求集合,且 . 45 3. （2026河南信阳高级中学开学考试）用适当的方法表示下列集合: （1） 大于 且小于10的偶数组成的集合； 【答案】 用列举法表示为 . （2） 满足的 构成的集合； 【答案】 用描述法表示为 . （3） 被3除余2的正整数组成的集合； 【答案】 用描述法表示为, }. （4） 一次函数和 图象的交点组成的集合. 【答案】 由解得 用列举法表示为{(-,}( 该集合中的元素是点,需要用实数对 表示). . . 46 题型二 互异性在求参中的应用 4.（2025广东广州阶段检测）设为实数,,,,,若与相等,则 ___. 0 【解析】 因为集合中的元素必须满足互异性,且两集合相等,所以,且 , ,故 . 47 5.（多选）若集合,,,则实数 的值可能为( ) CD A. B.3 C.0 D.5 【解析】 因为集合中的元素必须满足互异性,所以集合 中的三个元素互不相等,即 解得所以且 .故0,5满足题意. 48 6.（多选/2026广东期末）若集合,,，且，则 的值可能是 ( ) BD A. B. C.2 D.4 【解析】 49 由，,, ，知应有三种情况： ①若，则或（ 解出的 值需要检验是否满足互异性）， 当时，集合,4, 不符合题意，舍去， 当时，集合 符合题意. ②若，则，此时集合,4, 不符合题意，舍去. ③若，即，解得或 ， 当时，集合 符合题意， 当时，集合 不符合题意，舍去. 综上所述，或 . 50 7.已知集合中含有两个元素和 . （1） 若是集合中的元素,试求实数 的值. 【答案】 因为是集合中的元素,所以 或（由集合中元素的确定性和 无序性分两种情况讨论） . 若,则,此时集合中含有两个元素 ,1,满足互异性,符合要求； 若,则,此时集合中含有两个元素, ,满足互异性,符合要求. 综上,满足题意的实数的值为1或 . 51 （2） 能否为集合 中的元素？若能,试求出该集合中的所有元素；若不能,请说明理由. 【答案】 不能.理由如下： 若为集合中的元素,则或 . 当时,解得,此时 ,显然不满足集合中元素 的互异性； 当时,解得,此时 ,显然也不满足集合中元素的互异性. 综上,不能为集合中的元素（事实上,由集合中元素的互异性知 ,即 ,而令或，得到的均为,与 相矛盾）. . . 52 题型三 确定集合中的元素或元素的个数 8.（2026广东江门开学考试）已知集合, ，则( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,，所以，，， ， 则，，， ，所以A选项正确. 53 9.（2026辽宁部分学校期中联考）已知集合,, ，则 中元素的个数为( ) C A.7 B.6 C.5 D.4 【解析】 因为，所以，又，所以 ,0,1，结合 ，可得，当时，；当时，,0,1；当 时， ； 所以,,,,，所以 中元素的个数为5. 54 10.（多选/2026福建漳州检测）已知集合,,则满足 中有8个 元素的 的值可能为( ) AC A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 由,,可知,依次讨论为6,7,8,9时集合 中的元素个数. 时,满足,的的值为6,3,2,1,,,,,故集合 中有8个元素； 时,满足,的的值为7,1,,,故集合 中有4个元素； 时,满足,的的值为8,4,2,1,,,,,故集合 中有8个元素； 时,满足,的的值为9,3,1,,,,故集合 中有6个元素. 55 11.（多选/2025四川成都检测）已知集合， ，则( ) BD A. B. C.存在，，使得 D.存在，，使得 【解析】 因为，所以是偶数， 是奇数，所以集合中的元素都是奇 数， 将,2,3,4， 代入可得,5,7,17， . 由上述分析可知. 若,，则可以推出,都是奇数，故是偶数，所以 不可能 在集合中；是奇数，所以可能在集合中，例如,, . 能力提升 56 2.（多选/2025安徽合肥一六八中学月考）已知, ,且 ,,则 的值可能为( ) BCD A. B.0 C.1 D.2 【解析】 当时,,,故, ； 当时,,,故, ； 当时,,,故, ； 当时,,,故, . 由题意可知，则成立，，则 不成立，即 成立，因此可得可解得，又，所以 ,1,2，经 检验, ,1,2符合题意. 57 3.（多选/2026河南信阳高级中学开学考试）下列四个命题中正确的是( ) BC A.方程的解集为, B.满足的整数组成的集合为,0,1, C.由实数,,,, 所组成的集合最多含2个元素 D., }含有3个元素 58 【解析】 由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为 ； 由得 , 所以整数组成的集合为,0,1, ; 由于,,且在,,中,当时,,当时, , 当时, ,三者中至少有两个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该 集合最多含2个元素； 当时, , 当时, , 59 当时, , 当时, , 当时, , 当时, , 所以集合含有4个元素2,1,0, . 4.（2026河北石家庄一中期末）已知集合,, ，集合 且 . （1） 判断,,0,中的哪些元素属于 ； 【答案】 由题意知,,0,均是集合 中的元素， 又 ，，无意义， ， 所以和属于 . 61 （2） 证明:若,，则 . 【答案】 因为,，所以,,, ， 设,,,,, ， 则 ， 而，，所以，同理，又, ，所以 （将看作一个整体， 看作一个整体）, 所以 . . . . . 62 (4)使函数y=有意义的实数x的集合; 解 使函数y=有意义的实数x的集合是{x∈R,x≠2}. $