【暑假提升作业】勾股定理-2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础判定、性质应用到综合拓展的层级设计，系统提炼分类讨论、辅助线构造等解题方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5、填空11-12|勾股定理及逆定理直接应用|从概念辨析到边长计算，构建定义与基础运算的关联| |性质综合|单选6-9、填空13-15|面积关系转化、垂直平分线性质结合|性质与图形变换融合，形成“判定-性质-应用”逻辑链| |实际与拓展|解答18-22|方程思想、规律探究|实际问题建模到数学抽象，提升应用意识与创新思维|

【暑假提升作业】勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 2．下列命题中假命题是（    ） A．三个角的度数之比为的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为的三角形是直角三角形 3．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 4．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 5．如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 7．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 8．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 9．如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 10．如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且．得，…，依此方法继续作下去，得（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知平面直角坐标系内两点，， 那么线段的长等于______． 12．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 13．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 14．如图， 在中，，的垂直平分线交于点D，交的平分线于点E，则的长度是________ ． 15．如图是由三个全等的三角形（，，）与中间的小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若满足，且，则长是______． 16．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 三、解答题 17．图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 18．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点． (1)求证：； (2)若，，求长． 19．如图，在中，，，． (1)求边上的高； (2)在（1）的条件下，设M为边的中点，的长为a，写出a的整数部分． 20．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 21．已知直线分别交x、y轴于、B两点，为直线上且在第二象限内的一点，且． (1)如图1，求A、C点的坐标； (2)如图2，直线经过O点，过C作于M，轴于点N，连，求式子的值； (3)如图3，过C作轴于点N，G为第一象限内一点，且，试探究、、之间的数量，关系并说明理由． 22．我们约定：如果一个自然数（零或正整数）能表示为的形式（、均为自然数，且仅当时），那么称这个自然数为完美数． 数字 自然数 分类 奇数 偶数 研判过程 不是完美数 不是完美数 不是完美数 ● ☆ … … (1)上表中，符号“●”与“☆”对应的算式是什么？按从小到大排列，第个完美数是哪一个数？（直接写出） (2)根据表中的数据，你能发现一些与完美数有关的结论吗？将结论写出来并证明． (3)若直角三角形的一直角边长，其余两边的长都是整数，求该三角形周长的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A B A A D B A 1．A 【详解】解：A、∵，，∴，∴可以构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵，，∴，∴不可以构成直角三角形，不符合题意. 2．B 【分析】按角的比例、边的比例分两类，分别用三角形内角和、勾股定理逆定理判断，即可作答． 【详解】解：A、最大角占比为，对应角度为，是直角三角形，为真命题，不符合题意； B、最大角占比为，对应角度不为，不是直角三角形，为假命题，符合题意； C、，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，为真命题，不符合题意； D、，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，为真命题，不符合题意； 3．B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 4．A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 5．B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 6．A 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， 故正方形D的面积. 7．A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为 8．D 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 9．B 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到既是高线又是中线，进而可得到，的长度，然后由垂直平分线的性质得到，最后在中通过勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 由题可得为等腰三角形，，，为的垂直平分线， ∵平分， ∴且D点为的中点， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， 即． 10．A 【分析】根据题意，得；；，…，依此方法继续作下去，得，解答即可； 【详解】解：根据题意，得；；，…，依此方法继续作下去，得， 故； 11． 【分析】利用勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点， 点，， ，， ∴． 12．12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 13． 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 14． 【分析】设交于点F，连接，由勾股定理求得，根据垂直平分线及角平分线的性质得，由勾股定理求得，再证明，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设交于点F，连接， ∵中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D，交的平分线于点E，垂足为点F， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15． 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，设，则，利用线段的和差关系表示出和，过点作交的延长线于点，构造含角的直角三角形，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， 如图，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 16． 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 17．(1)如图，线段即为所求； (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据作图即可； （2）根据网格和勾股定理构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴． 18．(1)证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，，则，然后利用证明结论即可； （2）先利用全等三角形的性质得到，，则，利用勾股定理求得，则 ，连接，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， 如图，连接， 在中，，，， ∴． 19．(1)12 (2)12 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）先根据中线的性质求出，再求出，根据勾股定理求出，再进行估算即可． 【详解】（1）解：∵边上的高， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴． （2）解：∵M为边的中点，， ∴， 又， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴a的整数部分为12． 20．(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 21．(1) (2) (3)解：，理由如下： 如图所示，过N作，且，连接， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，即，由非负数的性质求出a、c的值即可得到答案； （2）在的延长线上截取，连接，可证明，，则可证明，得到，，进一步可证明，由勾股定理可得，据此可得答案； （3）过N作，且，连接，证明，得到；证明，由勾股定理得，，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，．， ∴； 在第二象限， ， ∴． （2）解：如图所示，在的延长线上截取，连接， ∵轴， ∴， ， 又∵， ． 由（1）得， ， 又∵， ， ，， ， ， ∴＝＝＝． （3）略 22．(1)，，第16个完美数是； (2)结论：当是奇数或是大于等于8且是的倍数时，自然数是完美数；证明如下： 当（为自然数）时， ∵， ∴任意奇数是完美数； 当（且为整数）时， ∵， ∴是大于等于8且是的倍数时，自然数是完美数； (3)该三角形周长的最大值是. 【分析】（1）根据表格信息作答即可； （2）观察可知所有的奇数都是完美数，4的倍数都是完美数，根据平方差公式进行证明即可； （3）设另一条直角边为，斜边为（为正整数），勾股定理得到，进而得到，得到当时，此时最大，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知：，； 故“●”与“☆”对应的算式为，； 由题意和表格可知，所有的奇数都是完美数，大于等于8且为4的倍数都是完美数， ∵前16个完美数是：， ∴第16个完美数为20； （2）略 （3）解：设另一条直角边为，斜边为（为正整数）， 由勾股定理得：， ∴， ∵和同奇偶，且均为正偶数，周长为， 当乘积固定时，越小，越大，周长越大， ∵ 最小的正偶因数为2， ∴当时，此时最大， ∴周长的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $