【暑假提升作业】二次根式 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 暑假提升作业：二次根式专项训练（人教版八年级下册），以“概念-运算-应用”为逻辑主线，融合数学抽象、运算推理与模型应用，构建系统化突破路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|单选1-4、填空10|二次根式有意义条件分析、最简根式判定法|从定义（被开方数非负）到性质（最简标准），形成概念认知链| |运算能力|单选3、6、8，解答16|同类根式合并法则、设元简化运算技巧|基于运算法则（乘除、加减），通过错误辨析强化推理严谨性| |应用拓展|解答18-21|分子有理化比较法、海伦公式建模应用|从几何面积计算到规律探究，体现数学模型意识与应用能力|

【暑假提升作业】二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 8．下列运算：①，②，③，④，其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．点在第四象限，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 11．________； 12．若，则__________． 13．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 14．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 15．观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 三、解答题 16．计算： (1) (2)． 17．先化简再求值：，其中． 18．如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 19．已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 20．材料阅读：海伦—秦九韶公式 我国南宋时期数学家秦九韶（）著有《数书九章》十八卷，书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”．如果三角形的三边分别记为，，，则三角形的面积为．古希腊几何学家海伦著作《度量论》中也给出利用三角形三边求面积的海伦公式：，其中． 下面我们对海伦公式进行变形： …（此处省略了部分推导过程） 我们发现，这个公式和秦九韶的“三斜求积术”是等价的，这个公式也称为海伦—秦九韶公式． (1)请把上述省略部分的推导过程补充完整； (2)在中，，，，求的面积． 21．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C A B B A C B 1．D 【分析】根据二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为零，据此列出不等式得到x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】式子有意义， ，且 分子， 可得 解得 选项中只有满足，符合条件． 2．B 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A错误． 对选项B：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故B正确． 对选项C：的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式，故C错误． 对选项D：的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D错误． 3．C 【分析】根据二次根式的加减、乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】对于选项A，∵与不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误； 对于选项B，∵，算术平方根结果为非负数， ∴，B错误； 对于选项C，∵， ∴运算正确，C正确； 对于选项D，∵， ∴D错误． 4．A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 5．B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 6．B 【分析】设1013为中间量，将1012、1014转化为含该量的式子，利用完全平方公式简化运算． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 8．C 【详解】解：① 化简得，，①错误； ② 根据二次根式乘法法则计算：，②错误； ③ 根据二次根式除法法则计算：，③正确； ④ 根据完全平方公式展开计算：，④错误； 综上，错误的运算共3个. 9．B 【分析】先由点所在象限确定a的取值范围，再将二次根式化为绝对值形式后化简计算． 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， 解得 ∵ ∴， ∴原式． 10．5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 11． 【详解】解：． 12． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求出的值，进而求出的值，从而求出的值即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：， ， ． 13． 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 14． 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 15． 【分析】根据前几个等式的变化规律可得结论． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 16．(1) (2) 【分析】（1）运用完全平方公式展开计算即可． （2）先算二次根式的乘法和除法，再算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17．化简结果为，值为 【分析】先化简分式，再将代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当 时， ． 18．(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米． （2）解：广场面积：平方米， 两块绿地面积：平方米， 需要铺地砖的面积：平方米， 费用：元， 答：这个广场铺地砖的费用为17750元． 19．(1) (2) 【分析】（1）代入字母的值进行计算即可； （2）估算得到，，求出，，即可求出的值． 【详解】（1）解：原式＝ = ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 20．(1) ； (2)． 【分析】通过整式的运算即可； 把，，，代入求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $