第19章 二次根式 暑假作业：2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-运算-应用逻辑链，通过分层题型提炼有理化、估算等实用技巧，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3题|有意义条件分析、最简二次根式判断|从概念生成（被开方数非负）到本质属性（最简根式特征）| |性质应用|选择4-6、填空9-12题|根式估算、化简技巧|性质推导（根号运算律）到符号表达（化简规则）| |运算求解|计算17、解答18-19题|加减乘除法则、有理化因式应用|运算原理（同类根式合并）到技巧迁移（分母有理化）| |综合拓展|选择7-8、解答20-23题|几何面积计算、规律归纳、实际问题建模|知识应用（面积公式、摆动周期模型）到创新意识（规律探究）|

暑假作业：第19章二次根式2025-2026学年人教版数学八年级下册 一、选择题 1.若代数式√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.X≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3 2.下列计算正确的是() A8-N2=2 √2×V3=6 CV10÷5=V2 DV2+5=7 3.在二次根式√3a,V0.6, V2x2+1中，最简二次根式的个数是() A.4 B.3 C.2 D.0 4.估计(2V5+5V2)× 的值应在()》 A4和5之间 B.5和6之间 C6和7之间 D.7和8之间 5若(2+V3}=a+b3(a,b为整数，则a+b等于( A.7 B.9 C.11 D.12 6实数a,b在数轴上对应的位置如图所示，化简a+b-√b的结果是() A.2b-a B.a+2b C.-a D.a 7.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为() A.2 C.22 06 8.观察下列数据：-√2,2V3,-6,4V5,-5V6,,根据数据排列的规律，可以得到第23个数据为 () A. 23V23 B.-23V23 C. 46V6 D.-46V6 二、填空题 9计算3÷√3×的结果为一 10.若√28与最简二次根式V3a-8可以合并成一个二次根式，则a= 11.己知V3≈1.732，则V27≈（精确到0.01）. 12.能使得3-aa+1=V3-aVa+成立，则a的取值范围是 1.已知x=1-V5则代数式(6+25)X+1+V5)x+5的值是一， 14.如果V28n是整数，则正整数n的最小值是 15,中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术·如图是 用一张边长为43-2V6)cm的正方形彩纸剪刻的图案，则该彩纸的面积为_cm2. +yy 16.已知y=3,那么XX+ 的值是— 三、计算题 17.计算： (1)24-126 +18÷2. (2)5+V3xV5-V3)-5-32. 四、解答题 18已知g>0b>0ava+0=36a-}6求203h+的位. a-b+√ab 19.已知x=V3-2,y=V3+2,求下列各式的值. (1)x2-2xy+y2; (2)x2-y2: 20.长方形ABCD的长为2V6+V5,宽为2V6-V5.在长方形ABCD内部挖去一个边长为√6-V5的正方形， 求剩余部分的面积. 21.如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时 间（单位：s)与细线的长度（单位：m)之间满足关系式t=2π0 (1)当细线的长度为0.6m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留一位小数，参考数据： V6≈2.45，π≈3) (2)当小重物来回摆动一次所用时间为3S时，求细线的长度. 22.观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式： 11_12 V232V31 第2个等式： 沿哈层 第3个等式： 哈×-是 （1)猜想第4个等式为； (2)根据上面各个等式的规律，写出第个等式，并证明。 23.像5+2川5-2=1'a·a=aa≥0y(W6+1V6-1)=b-1(b≥0)这种两个含有=次根式 的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：V5与V5、V2+1与 √2-1、2√5+3√5与2V3-3V5都是互为有理化因式在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化 去分母中的根号请解答下列问题： 2 (1化简：33 1 1 (2)计算： 十 2-33-V2 (3)比较V2026-√2025与V2025-√2024的大小，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】1 10.【答案】5 11.【答案】5.20 12.【答案】-1≤a≤3 (3-a)(a+1)≥0 【解析】解：由题意可知： (3-a≥0 a+1≥0 解得：-1≤a≤3 故答案为-1≤a≤3， 13.【答案】12+5 【解析】当x=1-5时，(6+2V5)x2+(1+5)x+ V5=(6+2V5)(1-V5)2+(1+V5)(1-V5)+V5=(6+ 2V5)(6-2V5)+1-5+V5=36-20+1-5+V5=12+V5 14.【答案】7 【解析】【分析】 先将二次根式化简，再根据二次根式的性质解答即可. 本题考查了二次根式的性质. 【解答】 解：因为V28n=2V7n是整数，可得：正整数n的最小值是7， 故答案为：7 15.【答案】(72-48V2) 16.【答案】±2V3 【解析】【分析】 本题考查了二次根式的化简求值、二次根式的混合运算的应用，关键是能根据已知化成最简二次根式.根 据已知得出x、y为正数或，x、y为负数，化成最简二次根式，代入求出即可. 【解答】 解：y=3, xy同号， ①当xy为正数时， x任图 =xy+xy =2炒 =2v3' ②当xy为负数时， xy度y图 =-xy-xy =-2vxy =-2V3 故答案为±2V3 17.【答案】【小题1】 解：原式=26-12×5+9=2V6-2v6+3=3. 6 【小题2】 解：原式=5-3-5+3-2V15=2-(8-2W15=2-8+215=215-61 18【答案】解：a>0b>0ava+v6=3v6a-号6∴a+Va5=3a-b a+b=2Vab∴.a+b2=4ab.a2+b2=2ab.a-b2=0∴a=b :.2a+3b+yab=5a+a=6: a-b+vab 19.【答案】【小题1】 【解】：x=3-2y=3+2x-y=(V3-2)-(3+2)=V3-2-3-2=-4 x+y=(V3-2)+(V3+2)=V3-2+V3+2=2V3 原式=(x-yP=(-42=161 【小题2】 原式=(x+yj(x-y)=2V3×(-4)=-8V3 20.【答案】解：剩余部分的面积为 (2V6+V5)×(26-5)-(v6-52=(2V62-(52-[(62-26×5+(5]=(24-5)-(6-2V30+5)= 21.【答案】【小题1】 【解】.t=2π1 10 ∴.当l=0.6m时， t≈2×3× 0.6 10 =6×0.06=6×0.1×V6≈6×0.1×2.45=1.47≈1.5(s). 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.5s, 【小题2】 当t=3s时， 13_1 3m=2V1020 解得l=22.5(m). 答：细线的长度是22.5m. 22.【答案】【小题1】 【小题2】 第n个等式： 1 1 1 n+1, nn+1 n+2'n+1Vn(n+2) 23.【答案】【小题1】 原式=2×3_2√3 3V3×V39 【小题2】 原式= 2-32+V33-V2+V22+v3+3+2=2+2v3+v2 2+V3 +3+2 【小题3】 V2026-V2025<V2025-V2024. 理由：：V2026-V2025= 1 V2025-V2024= 2026+V2025' V2025+V2024' 'bZ0Z个-SZ0z>SZ0Z-9Z0Z咀 bZ0Z个+SZ0Z个 Z0Z小+9Z0: bZ0Z+SZ0<S0Z个+9Z0Z.∴.X