培优提升三角函数的应用同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从三角函数基础应用到综合创新，强化模型构建与实际问题解决，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|三角函数解析式参数求解、图像分析|以车流量、水深变化等情境设题，巩固周期、振幅等基础概念| |B级|含取整函数的复合曲线、周期性综合应用|葫芦曲线、水轮转动问题，提升符号运算与逻辑推理能力| |C级|数据拟合与实际决策|海浪高度模型构建，培养用数学语言表达现实问题的应用意识|

培优专题　三角函数的应用 A级　必备知识基础练 1.据长期观察,某学校周边6时到18时之间的车流量y(单位:辆)与时间t时满足如下函数关系式:y=Asin(t-)+300(A为常数,6≤t≤18).已知早上8:30(即t=8.5)时的车流量为500辆,则下午15:30(即t=15.5)时的车流量约为(　　)(参考数据:≈1.41,≈1.73) A.441辆 B.159辆 C.473辆 D.127辆 2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 3.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式可以为(　　) A.x=sin(t-) B.x=3sint C.x=sin(3t+) D.x=3sin(t+) 4.时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20 ℃,气温上升到约30 ℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(单位:℃)随时间x(单位:时)的变化趋势近似满足函数y=10sin(x-)+25,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为(　　) A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时 C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时 5.如图,某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(其中ω>0,<φ<π),则估计中午12时的温度近似为　　　　　℃.(精确到1 ℃)  B级　关键能力提升练 6.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.曲线的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条葫芦曲线的方程为|y|=(2-])|sin ωx|,x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(),则该条葫芦曲线与直线x=交点的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.±1 7.(多选题)如图,一个水轮的半径为6 m,水轮轴心O距离水面的高度为3 m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=9 B.f(1)=f(7) C.若f(t)≥6,则t∈[2+12k,5+12k](k∈N) D.不论t为何值,f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值 8.某地为发展旅游事业,在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表(气温单位:℃),如图.根据图中提供的数据,试用y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)近似地拟合出月平均气温与时间(单位:月)的函数关系式为　　　　　　,x=1,2,…,12.  9.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? C级　学科素养创新练 10.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如表: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式; (2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间. 答案 1.A　由题意可得500=Asin(×8.5-)+300,可得200=Asin,解得A=200,所以y=200sin(t-)+300,当t=15.5时,y=200sin(×15.5-)+300=200sin+300=100+300≈100×1.41+300=441(辆).故选A. 2.C　由题意可知当sin(x+φ)取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5, ∴y=3sin(x+φ)+5,当sin(x+φ)取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8. 3.D　设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sin(t+).故选D. 4.B　当x∈[6,16]时,x-∈[-],由y=10sin(x-)+25=20,得sin(x-)=-,所以x-=-,x=≈8.7(时).由y=10sin(x-)+25=30,得sin(x-)=,所以x-,x=≈11.3(时).故在6时~16时中,观花的最佳时段约为8.7时~11.3时.故选B. 5.27　由题图得A=10,b=20,所以y=10sin(ωx+φ)+20.由=14-6,得T=16, 所以ω=, 所以×10+φ=2π,所以φ=, 所以y=10sin(x+)+20. 当x=12时,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈27. 6.C　将点M()代入葫芦曲线的方程可得(2-])|sinω|=,即|sinω|=1,由ω∈(1,3),可得ω=2.因此曲线方程为|y|=(2-])|sin 2x|,当x=时,可得|y|=(2-])|sin 2×|=(2-])|sin|=|sin|=,所以所求交点的纵坐标为±.故选C. 7.BD　如图,以水轮所在平面为坐标平面,以水轮的轴心O为坐标原点,x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系, 依题意得,OP在t(s)内所转过的弧度数为t,则∠POx=t-,则点P的纵坐标为y=6sin(t-),所以点P距离水面的高度关于时间t的函数为f(t)=6sin(t-)+3.f(3)=6sin()+3=3+3,A错误;因为f(1)=6sin()+3=3,f(7)=6sin()+3=3,所以f(1)=f(7),B正确;由f(t)≥6,得sin(t-)≥,解得t∈[2+12k,6+12k](k∈N),C错误;由f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(t-)+3+6sin(t+)+3+6sin(t+)+3,展开整理得f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9为定值,D正确.故选BD. 8.y=6sin(x-)+21　若以1月份为最低气温15,8月份为最高气温27,则可得A==6,b==21,周期T=(8-1)×2=14,所以ω=,故y=6sin(x+φ)+21,x=1,2,…,12,将点(8,27)代入可得,27=6sin(×8+φ)+21,即sin(+φ)=1,故+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,由于-π<φ<0,则φ=-,所以函数关系式为y=6sin(x-)+21,x=1,2,…,12. 9.解 (1)因为周期T=2×, ω==150π. 又A=300,所以I=300sin(150πt+φ). 将点的坐标代入上式,得sin=0, 由于|φ|<,所以φ-=0,φ=, 即所求的解析式为I=300sin. (2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943. 10.解 (1)作出数据的散点图,由图可知应选择y=Asin(ωt+φ)+b. 令A>0,ω>0,|φ|<π, 由题意,函数最大值为1.4,最小值为0.6,周期为T=12, 则A=,b==1,ω=, 于是y=sin(t+φ)+1,代入点(3,1.4),得sin(+φ)+1=0.4cos φ+1=1.4, 即cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z, 又|φ|<π,所以φ=0, 所以该模型的解析式为y=sin(t)+1(0≤t≤24). (2)令y=sin(t)+1≥0.8,得sin(t)≥-,则-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z, 解得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z,而0≤t≤24, 当k=0时,-1≤t≤7,则0≤t≤7; 当k=1时,11≤t≤19; 当k=2时,23≤t≤31,则23≤t≤24, 因此0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24. 依题意,应在白天11点到晚上19点之间训练. 6 学科网（北京）股份有限公司 $