暑假复习专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法与应用，以换元法、整体代换等方法为核心，构建从概念理解到实际建模的系统化训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题（如第1、5题）|解的验证、参数求解|从方程解的定义到参数方程的关联| |解法应用|8题（如第17、18题）|代入/加减消元、换元法|从基本解法到复杂方程组的转化技巧| |实际建模|6题（如第2、12题）|等量关系提取、方程组构建|从生活情境抽象为数学模型的思维过程| |综合拓展|3题（如第21题）|整体代换、结构类比|从具体问题到方法迁移的逻辑延伸|

暑假复习专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．二元一次方程的一个解是（   ） A． B． C． D． 2．在“双减”政策下，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每组只能是4人或6人，则不同的分组方案有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 4．校园文创店购进笔记本和书签，2本笔记本、3枚书签共26元；3本笔记本、2枚书签共24元．设笔记本每本x元，书签每枚y元，列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知 是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 8．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 二、填空题 9．把方程改写成用含的式子表示的形式，则________． 10．若是方程的一个解，则______． 11．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是______． 12．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 13．已知关于x、y的二元一次方程组（为实数），则________． 14．小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；时看到里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的6倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组____________ 15．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 16．若方程组的解是，则方程组的解是______；则方程组的解是_________． 三、解答题 17．解下列方程组： (1) (2) 18．在解方程组时，小刚看错了c得到的解为，小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为，求的算术平方根． 19．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车辆，80辆车全部售完的获利为万元，求与的关系式． 20．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． (1)已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（____，____）；点到轴的距离为________； (2)已知点的“系伴随点”为，求点的坐标； 21．情境：珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 尝试 (1)若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．若把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解这个方程组，得 ； 应用 (2)利用上述方法解方程组； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假复习专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A A D D C 1．A 【分析】将选项中的代入原方程，验证左右两边是否相等，相等即为方程的解． 【详解】解：根据二元一次方程解的定义，将选项A代入方程， 左边右边， 所以是二元一次方程 的一个解． 将选项B代入方程，左边右边； 将选项C代入方程，左边右边； 将选项D代入方程，左边右边． 2．B 【分析】设4人组数量为，6人组数量为，根据总人数得到二元一次方程，结合均为非负自然数，找出所有符合条件的解，即可得到分组方案的数量． 【详解】解：设可以分成组4人组，组6人组， 依题意得：， 化简得：， 变形得：， ∵均为非负自然数， ∴为非负偶数， 可得的所有可能取值为， 对应得到的值分别为，均符合要求， 因此共有4种不同的分组方案． 3．C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 4．A 【分析】根据“总价=单价数量”，结合题目给出的两个总价条件，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设笔记本每本元，书签每枚元， 由“2本笔记本、3枚书签共26元”，可得总花费为，因此； 由“3本笔记本、2枚书签共24元”，可得总花费为，因此； ∴可得方程组． 5．A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 是方程的一个解， 将代入原方程， 可得：， 整理得：， 解得：． 6．D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 7．D 【详解】解：根据题意，图②所示的算筹图表示的方程组为 ， 故选：D ． 8．C 【分析】根据图示得出，两式相加，消去a，b，即可求出的值． 【详解】解：由图可得， ，得， 即， 解得． 9． 【分析】利用移项即可求解，注意移项要变号． 【详解】解：， ． 10． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 11． 【分析】对待求的方程组进行移项变形，把含的项移到方程左侧，整理成和原方程组结构相似的形式．如果整理后的所求方程组和原方程组的结构完全对应，那么可以通过整体代换，对应原方程组解的形式，得到关于所求方程组未知数的两个等式，进而即可求解． 【详解】解：所求方程组变形移项： ， 该方程组和已知的原方程组结构完全相同，已知原方程组的解为， ∴ ， 解得． 12． 【分析】本题存在两个等量关系，反向而行时，甲和乙的路程和等于环形跑道长，同向而行时，乙的路程比甲多，根据等量关系列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 13． 【分析】把两方程相加消去p得到关于，然后整体求得的值即可． 【详解】解：， ①+②得：， ∴，解得：． 14． 【分析】设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则得到，再根据速度不变得到，即可得到方程组． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，． 15． 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②和①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是． 16． 【分析】将方程组整理为，根据已知方程组的解得到，进而解方程组即可； 将方程组整理为，根据已知方程组的解得到，进而解方程组即可． 【详解】解：将方程组整理为， ∵方程组的解是， ∴，解得； 将方程组整理为， ∵方程组的解是， ∴，解得． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ， 将①代入②式得 ， 解得 ， 将代入①得 ， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 整理得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．3 【分析】分别把和代入①，求出，，再把代入②求出，然后代入计算，再求算术平方根即可． 【详解】解：把代入①，得③． 把代入①，得④． ，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的算术平方根为3． 19．(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元 (2) 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由题意易得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元； （2）解：设购进“晨光”型汽车辆，80辆车全部售完的获利为万元， 则购进“清风”型汽车辆，根据题意得： ， 即与的关系式为． 20．(1)，， (2)点的坐标为 【分析】（1）根据“系伴随点”的定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据“系伴随点”的定义列出方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵点的“2系伴随点”为， ∴点的坐标为，即点； ∴点到轴的距离为8； （2）解：设点的坐标为， ∵点的“系伴随点”为， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 21．(1)， (2) (3) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，求出，得到，再次解方程组即可； （2）设，则原方程组可化为，求出，得到，再次解方程组即可； （3），整理可得答案． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解这个方程组，得； （2）解：设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解这个方程组，得； （3）解：， 得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $