第十章《二元一次方程组》暑期专项训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组，以“概念-解法-应用-易错”为逻辑链，系统提炼消元思想及两种方法步骤，强化实际问题建模能力，培养抽象、运算与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念辨析|核心要素梳理|二元一次方程(组)定义、解的特征|概念生成基础| |核心解法|消元方法系统训练|代入法“变代解回写”、加减法“变加减解代写”步骤|解法原理推导| |实际问题与方程组|5类题型模型|列方程组“审设找列解验答”步骤|应用拓展延伸| |易错点警示|3类关键提醒|代入方程选择、常数项运算、实际意义检验|错误规避强化|

人教版数学七年级下册第十章《二元一次方程组》暑期专项训练 解析 一、单选题 1．已知是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．已知是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 3．下表出示两个关于的二元一次方程的部分解，则的值为（   ） 的解 的解 0 …… 0 …… 1 3 5 …… 4 3 2 …… A． B． C． D． 4．关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B． C． D．3 5．关于，的方程组的解满足方程，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 6．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 9．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 10．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 二、填空题 11．二元一次方程的正整数解为______． 12．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为__________． 13．关于的方程组有无数组解，则________． 14．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需________元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了________杯． 15．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm．则桌子的高度等于________cm．    三、解答题 16．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 17．解方程组： 18．（1）计算：； （2）解方程组： 19．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 20．某天，一水果经营户用280元从水果批发市场批发了苹果和梨共到市场销售，苹果和梨这天每千克的批发价与零售价如表所示． 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 6 5 零售价（元/千克） 10 8 (1)这天批发的苹果和梨各多少千克？ (2)卖出这些苹果和梨，一共能赚多少钱？ 21．每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 22．接种疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 23．已知实数，，满足等式，． (1)若，求的值； (2)若实数，求的平方根． 24．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 25．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册第十章《二元一次方程组》知识清单 一、 基本概念辨析 1.二元一次方程 定义：含有 ______ 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ______ 的整式方程。 一般形式： （其中 ）。 注意：判断一个方程是否为二元一次方程，需先看化简后的结果，且分母中不能含有 ______。 2.二元一次方程组 定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ______ ，叫做二元一次方程组的解。 解的特征：通常情况下，一个二元一次方程组有 ______ 组解（特殊情况除外）。 二、 核心解法：消元思想 解二元一次方程组的基本思想是 ______ ，即把“二元”转化为“______”。主要方法有两种： 1. 代入消元法 适用场景：当方程组中有一个方程的某个未知数系数为 ______ 或 ______ ，或者容易用含一个未知数的式子表示另一个未知数时。 步骤： 变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（例如由 得 ）。 代：将变形后的关系式代入 ______ 方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 回：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。 写：用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解。 2. 加减消元法 适用场景：当两个方程中同一未知数的系数 ______ 或 ______ 时。 步骤： 变：如果系数不满足直接相消条件，需利用等式性质，将两个方程两边分别乘以适当的数，使同一个未知数的系数绝对值 ______。 加/减： 若系数互为相反数，则将两方程 ______； 若系数相等，则将两方程 ______。 目的：消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解：解这个一元一次方程。 代：将求得的解代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数。 写：写出方程组的解。 三、 实际问题与二元一次方程组 列方程组解决实际问题的关键在于找到题目中的 ______ 关系。 1. 一般步骤 审：审题，分析题目中的已知量和未知量，找出数量关系。 设：设未知数（通常直接设问什么设什么，也可间接设）。 找：找出 ______ 个独立的等量关系。 列：根据等量关系列出 ______ 个方程，组成方程组。 解：解方程组。 验：检验解是否符合 ______ 意义和 ______ 意义。 答：写出答案。 2. 常见题型模型 和差倍分问题：利用“甲+乙=总和”、“甲-乙=差”、“甲=k×乙”等关系。 行程问题： 相遇问题：路程和 = 速度和 × ______。 追及问题：路程差 = 速度差 × ______。 工程问题：工作总量 = 工作效率 × ______。（常将工作总量看作单位“1”） 配套问题：若 个A配件与 个B配件配套，则 A的数量 : B的数量 = ______ 。 利润问题： 利润 = 售价 - ______。 利润率 = 。 售价 = 进价 × (1 + ______)。 四、 易错点警示 在代入消元法中，变形后的式子只能代入 ______ 方程，不能代回原变形方程，否则会得到恒等式，无法求解。 使用加减消元法时，若方程两边同乘一个数，切记方程右边的常数项也要 ______。 解应用题时，最后一定要检查求出的解是否满足实际情境（如人数必须为 ______ 数，长度不能为 ______ 数等）。 答案 一、 基本概念辨析 1. 二元一次方程：两；1；未知数 2. 二元一次方程组：公共解；一 二、 核心解法：消元思想 · 基本思想：消元；一元 · 1. 代入消元法： · 适用场景：1；-1 · 步骤1： · 步骤2：另一个 · 2. 加减消元法： · 适用场景：相等；互为相反数 · 步骤1：相等 · 步骤2：相加；相减 三、 实际问题与二元一次方程组 · 关键：等量 · 1. 一般步骤： · 步骤3：两 · 步骤4：两 · 步骤6：实际；数学 · 2. 常见题型模型： · 行程问题：相遇时间；追及时间 · 工程问题：工作时间 · 配套问题： （注意：若 个A配 个B，则比例关系需根据具体配套规则列式，此处指数量比对应关系，通常列式为 或 ） 注：填空题语境下，若问比例关系，通常为 的逆运算或直接依据配套率，此处核心是建立等式 。 · 利润问题：进价；利润率 四、 易错点警示 1. 另一个 2. 乘以相同的数 3. 正整；负 学科网（北京）股份有限公司 $null 一基本概念与定义 二、核心解法：消元思想 二元一次方程组 三、实际应用：建模与求解 四、重点难点与易错警示 五、教学建议与拓展 1.1二元一次方程 1.2二元一次方程组 2 . 1基本思想 2 .2代入消元法 2.3加减消元法 3.1解题一般步骤 3.2常见应用题型 4.1概念辨析 4.2解题易错点 4.3考点提示 5.1教学策略 5.2思维拓展 定 义 ：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=cax+by=c (其中 解 的 定 义 ：使方程左右两边相等的两个未知数的值。 解的特点：一个二元一次方程有无数个解。 定义：由两个二元一次方程(或一个二元一次方程和一个一元一次方程)组成的方程组。 一般形式： 2,x+2)三 方 程 组 的 解 ：方程组中两个方程的公共解。 解 的 情 况 ：通常有唯一解，也可能无解或有无数解(初中阶段主要研究唯一解情况)。 核心理念：消元，即把“二元”转化为“一元”。 消 转 化 路 径· 一 元 一 次 方 程 组 → 消 元 适 用 场 景 ：某个方程中未知数的系数为1或-1,或容易变形为这种形式。 变 ：将一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。 代 ：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数。 步骤： 解 ：解得到的一元一次方程。 回：将求得的值代入变形后的式子，求另一个未知数。 写 ：写出方程组的解。 易 错 点 ：代入时忘记加括号，导致符号错误。 适 用 场 景 ：两个方程中同一未知数的系数相等、互为相反数，或成倍数关系。 变 ：若系数不同，通过乘以常数使某未知数系数相等或互为相反数。 加减：系数相同相减，系数相反相加，消去一个未知数。 步骤： 解 ：解得到的一元一次方程。 回 ：将求得的值代入原方程较简单的一个，求另一个未知数。 写 ：写出方程组的解。 技 巧 ：观察系数特点，选择消去计算量较小的未知数。 审 ：审题，分析题意，找出已知量和未知量。 设 ：设未知数(直接设或间接设)。 找 ：找出题目中的两个等量关系。 列：根据等量关系列出方程组。 解 ：解方程组。 验 ：检验解是否符合实际意义(如人数不能为负，长度必须为正等)。 答 ：写出答案。 和差倍分问题：利用数量间的和、差、倍、分关系列方程。 行程问题：路程=速度×时间(相遇、追及、航行问题)。 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间(常设总量为1)。 配 套 问 题 ：如螺钉与螺母配套，依据比例关系列方程。 利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润/进价。 数字问题： 利用位值原理(如两位数10a+b 判 断 依 据 ：必须是整 式 方 程 ，分母中不能含有未知数。 次数判定： 指未知数项的次数，而非未知数本身的指数之和(如xy=1xy=1 不是二元一次方程，是二元二 代 入 法 ：代入后未化简直接求解，或回代时使用了已变形的方程导致循环论证。 加减法： 应用题： 两方程相减时，右边常数项忘记相减或符号搞反。 乘以常数时，方程每一项都要乘，漏乘常数项。 单位不统一(如小时与分钟，千米与米)。 忽略实际限制条件(如求出负数解未舍去)。 含参方程组：已知解的情况求参数范围(如同解问题、无穷多解、无解)。 整体思想：不解出具体x,yx,y, 而是求x+yx+y 或 ax+byax+by 的值，通过方程加 对 比 教 学 ：同时展示代入法和加减法解同一道题，让学生体会哪种更简便。 规范板书：强调解题格式的规范性，特别是“解：设.….”、“由①得…”、“把…代入…”等连接词。 错 题 整 理 ：建立典型错题库，重点分析符号错误和计算失误。 三元一次方程组：简要介绍消元思想的延伸，为高中学习做铺垫。 不 定 方 程 ：引入简单的整数解讨论，培养数感。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版数学七年级下册第十章《二元一次方程组》暑期专项训练 一、单选题 1．已知是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将代入方程，解之可得a值． 【详解】解：将代入中， 得：， 解得：， 故选D． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 2．已知是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将方程的解代入二元一次方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得： 因此，的值为， 故选A． 3．下表出示两个关于的二元一次方程的部分解，则的值为（   ） 的解 的解 0 …… 0 …… 1 3 5 …… 4 3 2 …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的应用，熟练掌握将方程的解代入方程建立方程组求解未知参数是解题的关键．利用表格中给出的解，代入对应的二元一次方程，建立关于未知参数的方程组，求解参数后再计算的值 ． 【详解】解：对于方程，把和代入 当时，，即 ； 当时，，即 ． ∵ 且 ∴ 解得 ，把代入，得 ． 对于方程，把和代入 当时，，即 ； 当时，，即 ． ∵ 且 ∴ 解得 ，把代入，得 ． 把，，，代入 故选：C ． 4．关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】将①-②，得，再根据题意，得，求解即可． 【详解】解：， ①－②，得， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的含参问题，利用方程组进行化简，利用整体思想进行求解是解决问题的关键． 5．关于，的方程组的解满足方程，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】将方程组中两式相加得，再代入即可求解； 【详解】解：， 得：， 整理得：， ∵， 则， 解得：． 6．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种追击情况，分别找出小明和小亮路程的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及等量关系列方程组是解题的关键． 【详解】解：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上小亮，此时小亮跑了秒，小明跑的路程等于小亮跑的路程，即； 小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上小亮，此时小明跑的路程等于小亮跑的路程加上16米，即． 所以方程组为 故选：A． 7．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选：D． 8．小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 【答案】B 【分析】设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；购买了5件该奥运纪念品，加快递费共付款510元；分别为等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据题意，得 ，解得：， 两次的快递费一共为2y=2×15=30(元), 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，列出方程组是解题的关键． 9．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 10．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 二、填空题 11．二元一次方程的正整数解为______． 【答案】 【分析】求方程的正整数解，必须保证和都是正整数，所以采用排除法可以找到合适的答案． 【详解】解：二元一次方程的解有很多，先保证为正整数，带入方程中求出值，观察，从中找出正整数解只有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的理解，抓住正整数解是解答本题的关键． 12．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据已知方程组的解可得所求方程组的解为，求解即可． 【详解】由题意得：方程组的解为， 解得： 故答案为：． 13．关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 14．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需________元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了________杯． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 利用总价单价数量列出二元一次方程，根据、、均为正整数，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元． 由题意，得， ，得, 故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需元． 故答案为：． （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 由题意，得， 化简，得， ∴， 又∵、、均为正整数， ∴，， ∴芝士杨梅买了杯， 故答案为：． 15．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm．则桌子的高度等于________cm．    【答案】85 【分析】设木块的长为，宽为，桌子的高度为cm，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度为cm，由题意，得： ， ，得：， ∴； 故答案为：85． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出方程组． 三、解答题 16．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 17．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： ， ， ， 把代入①得：， 解 得：， 原 方 程 组 的 解 为：． 18．（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则以及加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，立方根，算术平方根和绝对值的性质化简，再进行计算即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 19．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法的应用． （1）利用加减消元法将两方程相加得到关于x的方程并解得x的值，再将x的值代入第一个方程即可求解y的值，方程组的值即可解得； （2）先将第一个方程的分母消去化简得到③式，再通过加减消元法得到x的值，再将x的值代入③式即可求得y的值，方程组的值即可解得． 【详解】（1）解：， 由得：，解得， 将代入①式得：，解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 先将①化简得：③， 由得：， 由得：， 两式相加得：，解得， 将代入②式得：，解得， ∴方程组的解为． 20．某天，一水果经营户用280元从水果批发市场批发了苹果和梨共到市场销售，苹果和梨这天每千克的批发价与零售价如表所示． 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 6 5 零售价（元/千克） 10 8 (1)这天批发的苹果和梨各多少千克？ (2)卖出这些苹果和梨，一共能赚多少钱？ 【答案】(1)这天批发苹果30千克，梨20千克 (2)一共能赚180元钱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总利润与每千克利润和千克数的关系，是解题的关键． （1）设这天批发苹果x千克，梨y千克，则有等量关系：①苹果的重量+梨的重量；②批发苹果的总价+批发梨的总价元，由此列方程组求出x，y即可求解； （2）每千克苹果的利润乘苹果千克数加每千克梨的利润乘梨的千克数，计算即得 【详解】（1）解：设这天批发苹果x千克，梨y千克， 由题意得， 解方程组，得， 答：这天批发苹果30千克，梨20千克． （2）（元）． 答：卖出这些苹果和梨，一共能赚180元钱． 21．每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【答案】荔枝200箱，龙眼300箱 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 22．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 【答案】每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗 【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； 【详解】解：设每辆A型车的每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得，，解得， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 23．已知实数，，满足等式，． (1)若，求的值； (2)若实数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入已知的两个等式，列出关于，的二元一次方程组进行计算即可； （2）由二次根式被开方数的非负性得出，从而得，然后代入已知的两个等式中，列出关于与的二元一次方程组进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，可列方程组： ， ①②得： ， ， ； （2）， ， ， 把代入等式，中并化简， 可得：， ①得：③， ③②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ， ， ， ， 的平方根是：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根，解三元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质与二次根式的双重非负性、加减消元法和代入消元法． 24．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 25．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【答案】，，或，，， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题．设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $