暑假复习专题：不等式与不等式组2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组的系统性复习，以问题为载体提炼解题方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑链，培养数学建模与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-2题|不等关系转化|从实际情境抽象数学符号，建立概念生成逻辑| |解法应用|3-4题/17-18题|解集求解与数轴表示|通过变形规则推导解法，强化运算能力| |综合拓展|5-10题/19-21题|参数问题与实际应用建模|结合方程组、几何等知识，发展推理意识与应用意识|

暑假复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．《中国居民膳食指南》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过克，则青少年每天摄入糖的质量克应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 2．若是不等式的解，则的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．已知关于，的二元一次方程组，下列结论错误的是（     ） A．当这个方程组的解，的值互为相反数时， B．当时，的最小值为 C．无论取什么有理数，的值始终不变 D．若，则 6．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（     ） ①是“幸运点”； ②“幸运点”不可能在第二象限； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．若一元一次不等式组的整数解有5个，则“※”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 8．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共道题，选对得分，不选或选错扣分．若得分不低于可得奖，设要得奖至少应选对道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 9．受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知表示不超过x的最大整数，例如，．若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．写出不等式的一个正整数解为______________.（写出一个即可） 12．若点在第二象限，则的取值范围是________． 13．如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 14．关于的一元一次不等式组恰好有3个整数解，则整数的值为：________． 15．某校数学兴趣小组设计了一个运算程序：输入一个数，先加上，再乘以，然后判断所得结果是否大于，若大于，则减去；否则加上，最后输出结果，若经过一次判断输出的结果是．则输入的所有可能值之和为________． 16．对x，y定义一个新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，，若关于m的不等式组所有整数解的和是，则实数n的取值范围是__________． 三、解答题 17．解不等式，并将解集表示在数轴上． 18．解不等式组，在数轴上表示它的解集，并写出它的所有整数解． 19．已知关于、的二元一次方程组（k为常数）． (1)求这个二元一次方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解、满足，求的取值范围； (3)若，设，且为正整数，求的值． 20．对于企业来说，科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁号线建设过程中．某知名运输集团承包了地铁号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的、两种新型运输车运输土方，已知辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨，辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨． (1)请问一辆型运输车和一辆型运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该运输集团决定派出、两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于吨，且型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？ 21．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)则点A坐标为______，点B坐标为______，点C坐标为______； (2)如图1，若点在线段的延长线上，则______； (3)如图2，若，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E．连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，在（3）的条件下，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，请直接写出t的取值范围______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D D D C B B A 1．A 【分析】将实际问题中的文字描述转化为数学不等关系即可． 【详解】解：已知青少年每人每天糖的摄入量不超过克， 设摄入量为克，可得不等关系． 2．A 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求解的取值范围后，即可匹配选项得到答案． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴将代入不等式得， 解得， ∴选项中只有，符合要求． 3．B 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 4．D 【详解】解：对于A，∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴，A变形错误． 对于B，∵，两边减得，再同除以，不等号方向改变，∴，B变形错误． 对于C，∵，，当时，，∴，C变形错误． 对于D，∵，可知，且，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴，D变形正确． 5．D 【分析】先解二元一次方程组，得到，关于的表达式，再逐一验证选项，找出错误结论． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∴； 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∴此时a的最小值为，故B说法正确，不符合题意； ， ∴无论取什么有理数，的值始终不变，故C说法正确，不符合题意； 若，则， 解得，故D说法错误，符合题意． 6．D 【分析】求出，则可得①正确；设“幸运点”的坐标为，则，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，由此即可得②正确；将方程组中的两个方程相加可得，即，则③正确． 【详解】解：∵， ∴点的纵坐标比它的横坐标的2倍少2，是“幸运点”，则结论①正确； 设“幸运点”的坐标为，则， 假设“幸运点”在第二象限，则， ∴，即，这个不等式组无解， ∴假设不成立，即“幸运点”不可能在第二象限，则结论②正确； 将方程组中的两个方程相加得：，即，满足“幸运点”的定义， ∴以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③． 7．C 【分析】先化简已知不等式得到x的范围，根据整数解个数确定待求不等式的解集，再化简各选项对比得到结果． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的整数解有个， ∴整数解为，共个， 选项A：，移项得，此时有6个整数解，不符合要求； 选项B：，移项得，此时有无数个整数解，不符合要求； 选项C：，移项得，此时有5个整数解，符合要求； 选项D：，移项得，此时有无数个整数解，不符合要求． 8．B 【分析】读懂题意，找准不等关系，明确得分和扣分的计算规则，得分不低于60即总得分大于等于60． 【详解】解：∵设要得奖至少应选对道题，总题数为25道， ∴不选或选错的题数为道， 选对道的总得分是，不选或选错总共扣分， 题目要求得分不低于60分，即总得分满足， ∴根据题意可列不等式为． 9．B 【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到， 故每个小球使水面上升， 设放入个小球时量筒内有水溢出， ∵量筒总高度为，初始水位为， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 故量筒内相同体积的小球个数至少是个． 10．A 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，可列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．1（答案不唯一，符合的正整数） 【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再从解集中选取一个正整数即可． 【详解】解：解不等式， 系数化为，得， 不等式的正整数解为所有正整数，任取其中一个即可，例如（答案不唯一）． 12． 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，横坐标小于0，纵坐标大于0，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到结果，本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标符号规律． 【详解】解：点在第二象限， 横坐标满足， 解不等式得． 13．（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 【详解】解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 14． 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰好有3个整数解，得到关于的范围，结合是整数即可求出结果． 【详解】解：， 解不等式②，去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组恰好有3个整数解， ∴原不等式组的整数解为 ， ∴， 解得， ∴整数的值为． 15． 【分析】根据运算程序的判断条件，分两种情况讨论，分别列出一元一次方程求解得到输入的所有可能值，再计算所有可能值的和即可． 【详解】解：若， 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得， 验证得， 符合条件； 若， 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 验证得：，符合条件， 或， 则输入的所有可能值之和为． 16．或 【分析】先根据已知条件求出的值，再根据新定义化简不等式组得到解集，结合所有整数解的和为，分情况讨论即可得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴关于m的不等式组可化为， ∴不等式组的解集为， ∵关于m的不等式组所有整数解的和是， ∴分两种情况讨论： 当整数解为时，则， 解得； 当整数解为时，则， 解得； 综上，实数n的取值范围是或． 17．；解集表示在数轴上，如图： 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为得，； 解集表示在数轴上：略． 18．，，所有整数解为，0，1 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 数轴略， 所以不等式组的所有整数解为． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组； （2）根据，可得：，解一元一次不等式求出的取值范围； （3）可得：，根据等式的性质可得：，根据可得，解不等式求出的取值范围，根据的取值范围求出的值． 【详解】（1）， ①②得：， 解得：， 把代入方程②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， ， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， ， ， ， 解得： 或． 20．(1)一辆A型运输车一次运输土方吨，一辆B型运输车一次运输土方吨 (2)共有两种派车方案，分别是：方案一：派出A型运输车辆，B型运输车辆；方案二：派出A型运输车辆，B型运输车辆 【分析】（1）设一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方吨，吨，根据辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨，辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨列出方程组求解即可； （2）设派出B型号车辆辆，则派出A型号车辆辆，根据每次运输土方总量不小于吨，且B型运输车至少派出辆列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方吨，吨， ∵辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨，辆型运输车与辆型运输车一次共运输土方吨， ∴， 解得：， ∴一辆A型运输车一次运输土方吨，一辆B型运输车一次运输土方吨． （2）解：设派出B型号车辆辆，则派出A型号车辆辆， ∵每次运输土方总量不小于吨，且B型运输车至少派出辆， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴或， ∴共有两种派车方案，分别是：方案一：派出A型运输车辆，B型运输车辆；方案二：派出A型运输车辆，B型运输车辆． 21．(1)；； (2)4 (3)7 (4)或 【分析】本题考查平面坐标系的性质、平移的性质、两点间的距离，熟练掌握相关知识，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． （1）利用完全平方式、算术平方根、绝对值的非负性的性质，分别列方程求解a、b、c的值，进而得到点A、B、C坐标； （2）过点作轴于点、作轴于点、连接，求出、、、的长，利用列方程求出的值； （3）连接，根据平移的性质求出点的坐标，利用列方程求解即可； （4）设，分情况讨论：当点F在的右侧或点F在的左侧时，过点B作轴于点K，过点A作交的延长线于点H，利用割补法得到的面积，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解： 解得： 点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为； （2）解：过点作轴于点、作轴于点、连接， 、、， 、、、， ， ， ， 解得：； （3）解：连接， 根据平移的性质得到点的坐标为， ， 、， 、， 、， ， ， 即， 解得：； （4）解：①当点F在的右侧时： 过点B作轴于点K，过点A作交的延长线于点H， 点F在经过点D，且平行于x轴的直线上， 、， 四边形是直角梯形， 设， 、、、， ， ， ， ， 解得：； ②当点F在的左侧时： 过点B作轴的垂线与过点D且平行于轴的直线交于点，过点D且平行于轴的直线与轴的交点为， 设， 同理得：、、、、， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $