专题07 七年级下册计算通关专项训练（实数、二元一次方程组、不等式与不等式组）2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦七下计算核心，以“考向领航-模块突破-方法提炼”构建体系，融合运算能力与推理意识，实现从基础到拔高压轴的系统性通关。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数的混合运算|基础8题+培优8题|运算顺序固定、符号优先预判、非负数速算技巧|从平方根/立方根概念到混合运算，再到非负数求值与无理数估算，层层递进| |二元一次方程组|基础10题+培优10题|解法择优技巧、整体速算、错解/同解套路|从代入/加减消元法到整体求值、参数计算，体现从常规求解到综合应用的逻辑| |不等式与不等式组|基础7题+培优10题|变号核心铁律、解集口诀速用、参数边界判定|从不等式解法到组解集判定、整数解与参数综合，构建“解法-应用-拓展”链条|

专题07 七下计算通关专项训练 （实数、二元一次方程组、不等式与不等式组） 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 各个击破 → 分模块，研母题，破难点，悟思路 第一部分 实数的混合运算 第二部分 二元一次方程组 第三部分 不等式与不等式组 常考考点 命题风向 1.实数计算：平方根、算术平方根、立方根化简；实数开方、乘方、四则混合运算；根式最简化简 2.实数求值：非负数（平方、绝对值、算术根号）和为0求值；无理数整数、小数部分计算 3.二元一次方程组计算：代入消元法、加减消元法；常规方程组规范求解 4.方程组拓展计算：整体加减求值、同解方程组、错解复原求参数计算 5.一元一次不等式计算：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1完整步骤 6.一元一次不等式组计算：求解集、数轴表示、公共解集判定、整数解筛选计算 7.含参计算：含参方程、含参不等式（组）根据解集、整数解求参数范围计算 （1）基础层（选择、填空） （2）中档解答（期末必考核心） 纯计算大题三连考：实数混合运算、解二元一次方程组、解不等式（组）并数轴表示。主打步骤规范、计算零失误，是期末拿分基础盘。 拔高压轴 ①计算与参数综合；②方程组与不等式结合取值计算；③实数估算+代数式综合求值；④整数解个数限定参数计算。 命题四大固定趋势 （1）计算综合化：不再单一计算，常将实数运算、整体求值、参数计算融合一题。 （2）步骤规范化扣分：七下计算重过程，跳步、格式乱、无依据是主要扣分点。 （3）易错点固定化：符号、变号、根式化简、系数化1是全年段通用高频错题点。 （4）计算服务压轴：所有几何、应用题压轴，最终落脚点全是这三类计算。 考情解码： 1.实数计算核心：先乘方开方、后四则运算，根式必须化最简，正负号优先判断。 2.非负数万能公式：平方、绝对值、算术根号和为0，每一项均为0，直接列式计算。 3.方程组解法口诀：系数为±1用代入，系数成倍数用加减，优先简化减少计算量。 4.不等式致命易错：去分母全员乘、负数系数化为1必须变号、移项必变号。 5.不等式组解集：同大取大、同小取小、大小中间找、无解两头空，数轴虚实、方向不混淆。 6.参数计算逻辑：先正常求解集，再对照题意锁定边界，精细判断等号取舍。 7.计算满分原则：步骤不跳步、结果必化简、符号反复查、整数解逐个验。 1.运算顺序固定：先开方、乘方，再乘除，最后加减，有括号优先算括号内内容，杜绝顺序出错。 2.符号优先预判：计算前先判定正负，正数开方恒正，平方根双正负、立方根同被开方数符号，从源头规避符号错误。 3.化简必到位：含根号结果必须化为最简根式，能开尽方的全部开方，不保留半成品结果。 4.非负数速算技巧：遇平方、绝对值、算术平方根相加为0，直接令每一项单独为0，无需复杂变形。 5.估算速判：无理数取值锁定相邻整数，小数部分=原无理数−整数部分，固定公式直接套用。 【基础过关】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算． 【答案】 【详解】 ． 3．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 6．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） 7．已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】11 【分析】根据平方根的定义可得，估算的大小可得，代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．计算 (1)； (2)已知是的立方根，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可． （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a，b的值，然后再求出代数式的值，最后再算平方根即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：是的立方根，而的立方根是， ， ， 的算术平方根是3， ， ， ， 的平方根为． 【培优提高】 1．若规定，则__________． 【答案】 【分析】根据题意给出的公式和限定条件分别计算即可． 【详解】解：根据可知， 当时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴． 2．先化简，再求值：，其中、满足，． 【答案】， 【分析】先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再根据算术平方根、立方根、绝对值及有理数乘方的运算法则求出、的值，最后将、代入化简后的式子计算出最终结果． 【详解】解：原式 ，， 原式． 3．计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式分别化简乘方、立方根、算术平方根和绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别化简算术平方根、立方根和根据二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可； （3）先根据数轴确定，，，可得，，再进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由数轴得：，，， ∴，， ∴ ． 4．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 5．概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 6．【概念学习】 我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加． 例如：， 类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如，记作． 一般地，把个连减记作，（为整数，且） 【初步探究】直接写出计算结果：______，______；______； 【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？ 例如：， (1)试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式． ______，______，______（为整数，且） (2)算一算： 【答案】(1)；； (2) 【分析】初步探究：根据连减的概念进行代入计算即可得到结果； 深入思考：（1）根据示例进行计算，最后得出连减规律即可； （2）运用规律进行计算即可． 初步探究：； ； ； 故答案为：，，； 【详解】（1）解：； ； （为整数，且） 故答案为：，，； （2）解：原式 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；关键是正确理解题意． 7．（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 8．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 1.解法择优技巧：未知数系数为±1，优先用代入消元；系数成整数倍数、易凑相反数，优先用加减消元，大幅减少计算量。 2.简化预处理：方程组含分母、括号、小数时，先去分母、去括号、化整数，整理成标准形式再消元。 3.整体速算：无需单独求解未知数，遇两式可整体加减题型，直接整体代入求值，省时且降低出错率。 4.错解、同解套路：错解满足未看错的方程，同解联立公共方程，先求公共解再反推参数。 5.检验技巧：算出解后快速代入原方程组，验证等式是否成立，杜绝计算失误。 【基础过关】 1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将，得，解得， 把代入，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将两边同乘12整理得， 得到方程组， 将，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 2．解方程（组）． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 方程两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， 因此原方程组的解为． 3．解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得，即④， 将①代入④得，解得， 将②代入④得，解得， 将③代入④得，解得， ∴方程组的解为． 4．已知实数，满足方程组，求． 【答案】4 【分析】先用加减消元法解二元一次方程组，再求的值即可． 【详解】解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∴． 5．已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 6．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 7．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 8．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴ ③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 9．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①，得， ②，得， ④③，得， 把代入②中，得， ∴原方程组的解为． （2）解： ②①得， ， 把代入①中，， ， ， 将，代入中，得， ． 10．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 【培优提高】 1．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 2．若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】分四种情况：当、时，当、时，当、时，当、时，列方程组求，的值，即可求解． 【详解】解：当、时，得， 解得， 与矛盾，故不合题意； 当、时，得， 解得，符合题意， 此时； 当、时，得， 解得， 与矛盾，故不合题意； 当、时，得， 解得，与、矛盾，不符合题意； 故答案为：． 3．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 【答案】 【分析】模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理可得原方程组的解为． 【详解】解：设， 则原方程组可化为关于的方程组 由①＋②×2得，解得， 把代入②，得， ，整理得， 两式子相加得，， 把代入，解得， 原方程组的解为 4．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 5．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 6．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 7．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 8．已知，，，，，均为不等于的实数，，，． (1)若，求的值． (2)请用含，，的代数式分别表示，，． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了代数式求值及解三元一次方程组，关键是如何消元； （1）采取设参数的方法将替换，进行适当的变换求得代数式的值； （2）用加减消元的方式解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，（）， ∵，，， ∴，，， ∴各方程两边都除以，得 ①，②，③， ，得  ， ∴. （2）解：， ，得，∴， ，得，∴， ，得，∴， ∴，，. 9．解方程组：． 【答案】， 【分析】本题考查了解高次方程组，三元一次方程组，由原方程组变为，设，，，从而可得，解得或，然后代入三元一次方程组即可求解，掌握换元降次法解方程组是解题的关键． 【详解】解：由原方程组变为， 设，，， ∴， 解得：或， ∴或， 解得：或． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 1.变号核心铁律：只有不等式两边同时乘除负数必须变号，加减运算、乘除正数一律不变号。 2.去分母避坑：每一项都要乘最小公分母，不含分母的常数项禁止漏乘，杜绝典型失分。 3.解集口诀速用：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，快速判定公共解集。 4.数轴规范技巧：有等号画实心点、无等号画空心圈，大于向右、小于向左，精准规避画图错误。 5.参数解题技巧：先正常求解集，再结合整数解个数、有无解集，反向锁定参数边界，重点验证等号取舍。 【基础过关】 1．解不等式： (1) (2)； (3)． (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解； （3）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （5）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 2．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 数轴表示略； 3．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为：． 4．解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】．整数解为： 【详解】解：， 解①得， 解②得． ∴不等式组的解集为． ∴在这个范围内的整数解为． 5．已知关于的方程组且，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∵， ∴， 解得． 6．解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①②的解集在如下数轴上表示出来． 原不等式组的解集为 ． 【答案】(1)； (2)，，； 【分析】（1）本题考查二元一次方程组的解法，用加减消元法解方程即可； （2）本题考查一元一次不等式组的解法，先分别求解两个不等式的解集，将两个不等式的解集在数轴上表示，取公共部分得到不等式组的解集． 【详解】（1） ，得，③ ，得， 解得， 将代入②，得， ∴该方程组的解为； （2） 解不等式①，得解不等式②，得把不等式①②的解集在如图所示的数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 7．我们把称为二阶行列式．它的运算法则为：． 例如：． (1)已知，则的值为______； (2)已知，则的取值范围为______； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则列方程求解即可； （2）根据二阶行列式运算法则列不等式求解，即可解题； （3）根据二阶行列式运算法则列二元一次方程组求解，即可解题 解题的关键在于掌握二阶行列式运算法则 【详解】（1）解：根据二阶行列式的运算法则，得， 解得； （2）解：根据二阶行列式运算法则，得， 解得； （3）解：， 根据二阶行列式运算法则，得， 解得：． 【培优提高】 1．已知关于x的一元一次不等式组解集为，求的值． 【答案】2 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，结合不等式组的解集得到关于a、b的方程组，求出的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵关于x的一元一次不等式组解集为， ∴， ∴， ∴． 2．如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 【答案】的整数值为，，，，；的整数值为，，，，，． 【分析】先解不等式组得出，根据整数解仅为2，3，4，得出，，进而求得整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 不等式组的解集为：， 其整数解仅为2，3，4， ， ， 的整数值为，，，，； ， ， 的整数值为，，，，，． 3．定义：若方程（组）的解能使不等式（组）也成立，则称此方程（组）的解为不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称方程的解“”是不等式的“理想解”． (1)请判断方程的解是以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①，②，③； (2)若关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，且和均为正整数，当仅有唯一一个确定的整数解时，相应的整数的值为，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)为任意实数 (3) 【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）由方程组中的第二个方程可得，结合不等式及 “理想解”的定义可得答案； （3）解方程组得，解不等式组得，根据“理想解”的定义得，继而得到，分两种情况：当时；当时，可确定，，再代入代数式中计算即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴当时，成立， ∴方程的解“”是不等式的“理想解”； ②， 解得：， ∴当时，不成立， ∴方程的解“”不是不等式的“理想解”； ③， 解得：， ∴当时，成立， ∴方程的解“”是不等式组的“理想解”， 综上所述，方程的解是①③的“理想解”； （2）解：由方程组中的第二个方程可得：或 ∵， 当时，；当时，， ∴无论取任何实数，和的值不能同时满足， 即关于的方程组的解不是不等式的“理想解”， ∴的取值范围是：为任意实数； （3）解：解方程组，得：， 解不等式组，得：， ∵关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”， ∴， ∴， ∵， 又∵， 当时，， 此时不等式组即为，解得：， ∵为正整数， ∴满足的正整数仅有唯一一个，此时； 当时，， 此时不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴， 此时满足的正整数不是唯一一个整数； 综上所述，，， ∴． 4．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1) 或 (2) 有，友谊解为 【分析】（1）根据友谊解的定义，变形方程后确定x的取值范围，列举正整数得到所有解； （2）先消元用k表示出x和y，再根据正整数的要求确定k的取值范围，筛选出符合条件的k，进而得到方程组的友谊解； 【详解】（1）解：由，得， x，y为正整数， ， 解得：， ∴正整数只能取或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴方程的所有“友谊解”为： 或； （2）解：， ，得， 整理得， 将代入①，得， x，y，k都是正整数， ， 解得：， 又∵和均为正整数， ∴必须是4的倍数， 在的正整数中，只有符合要求， 代入得， 再代入①得， ∴方程组有“友谊解”，对应的“友谊解”为：． 5．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 6．若是不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】0 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，从而确定最大整数解；再将的值代入等比数列求和式，利用等比数列求和公式计算最终结果． 【详解】解：①解第一个不等式： ． ②解第二个不等式： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和， ∴不等式组的解集为． ④ 求最大整数解： 在范围内的整数有，，最大整数解为． ⑤代入求和： ． ∵项数是偶数，且和交替出现，两两相加为，∴总和为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组，确定最大整数解，并利用规律简化求和计算． 7．已知关于x、y的方程组． (1)当，解这个方程组； (2)当这个方程组的解x、y满足 求m的取值范围； (3)在（2）条件下，如果三角形的顶点坐标分别为，那么三角形的面积最大值为_________，最小值为_________ ． 【答案】(1) (2) (3)352，30． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组、三角形面积、不等式的应用等知识点，掌握相关运算方法和法则是解题的关键． （1）把代入方程组求解即可； （2）先把m看作常数解方程组，根据不等式组的解确定m的取值范围即可； （3）根据（2）表示x和y的取值，并确定其取值范围，再根据三角形面积公式确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：当时，方程组化为， 得：，解得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 得：，解得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：； 解不等式③可得：，即，解得：； 解不等式④可得：，解得：； 所以． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 三角形面积的最小值； 三角形面积的最大值． 故答案为：352，30． 8．对于平面直角坐标系中的任意一点和线段，给出如下定义：记，，若点在线段上，则称点P是线段的“变换点”． 已知点，． (1)如图，当时， ①在点，，中，线段的“变换点”是 ； ②过点作x轴的垂线，若直线上总存在线段的“变换点”，求的取值范围； (2)已知点，，，，若正方形的边上总存在线段的“变换点”，且“变换点”有且只有一个，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①先求得时，线段为到的线段，然后根据变换的定义分别求得，，变换后的坐标，最后判断其是否在线段上即可； ②根据题意可知，上所有点的横坐标均为，可得其变换后横坐标为，从而得到，解之即可得到答案； （2）根据题意可知满足题意的点经过变换后，即，推出，即符合题意的点坐标在变换前的纵坐标与横坐标之差为4；然后分别讨论符合题意的点在正方形的四条边时，得到对应的的取值范围，最后根据“变换点”的个数有且只有1个，分类列出不等式组，求得满足题意时的取值范围即可． 【详解】（1）解：①当时，，， 线段所在直线的解析式为， ，，， ，，， ，在线段上， 线段的“变换点”是，， 故答案为：，； ②过点作轴的垂线， 垂线为直线， 由①知，线段所在直线的解析式为， 直线上总存在线段的“变换点”， “变换点”的横坐标为， ， 解得：； （2）解：根据题意，四边形是边长为4的正方形，其各边均与坐标轴平行或垂直，如图所示： 正方形上总存在线段的“变换点”，其中，， 经过变换后， 即， ，即符合题意的点坐标在变换前的纵坐标与横坐标之差为4， 分别讨论符合题意的点在正方形的四条边的情况： ①当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的横坐标为，则纵坐标为， 点纵坐标为0，点纵坐标为4， ，即， 又， ， 当时，上存在点经过变换后一定在线段上， ②当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的横坐标为，则纵坐标为， ， ， 即上满足纵坐标与横坐标之差为4的点经过变换后的一定不在线段上， ③当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的纵坐标为4，则横坐标为， 当点在上时，如图所示， 则，即， 同理当点在上时，则，， 当时，在上存在满足纵坐标与横坐标之差为4的点， ， 当，即时，上存在线段的“变换点”； ④当满足纵坐标与横坐标之差为4的点在上时，该点的纵坐标为0，则横坐标为， 当点在上时，如图所示， 则，即， 同理当点在上时，则，， 当时，在上存在满足纵坐标与横坐标之差为4的点， ， 当，即时，上存在线段的“变换点”； 分别讨论 “变换点”的个数有且只有1个时的取值： ①当该“变换点”在上时， 则，且和不成立，此时无解； 当点在上时，如图所示， 则上满足条件的点为点，此时， 又当时，上存在点经过变换后一定在线段上， 时，， 即此时上满足条件的点也为点， 当，此时有且只有点满足题意， 时，“变换点”的个数有且只有1个； ②当该“变换点”在上时， 则，且和不成立， ； ③当该“变换”在上时， 则，且和不成立， ； 综上所述，当或时，正方形上总存在线段的“变换点”，且“变换点”的个数有且只有1个． 【点睛】本题考查了“变换点”的定义，平面直角坐标系中点的坐标，解不等式和不等式组，读懂题意理解“变换点”的定义以及熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是______； ②点在轴上，若，则点的坐标是______． (2)点在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值． 【答案】(1)①5；②或 (2)①4；②3 【分析】（1）①根据定义计算即可得解； ②设，根据定义得出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （2）①设点为线段上任意一点，则，再根据定义计算即可得解； ②根据题意可得，再根据定义列出方程，当时，有最小值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①，， ，， 则， 故答案是：5． ②，点在轴上，设， ，， ， ， 或， 解得，或， 的坐标是或． 故答案是：或； （2）解：①点在y轴上，点在点的上方，，点的坐标为， 点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； 点的坐标为， ，， ； 由，可得； ， 的最大值是4， ∴． ②， 设点，则， ， ，， 当时，有最小值，即时，有最小值， ，则有最小值为3． 的最小值为3． 【点睛】本题主要考查以平面直角坐标系为知识基础，横纵偏差这一新定义的理解和运用，也考察了数形结合与解方程的能力． 10．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，解不等式组； （1）设““举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为，表示出这个数，再结合“举一反三数”的定义求出，，再求最大值和最小值即可； （2）分别表示出，，，，根据被9除余6，得到，根据是2的倍数，得到，最后计算，当当最小，最大时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设“举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴这个“举一反三数”为， ∵四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴，，，， 解得，， ∴当，时有最大的“举一反三数”，为； 当，时有最小的“举一反三数”，为； 故答案为：，； （2）解：一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，则百位数字为，十位数字为，，，，， 另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，则百位数字为，十位数字为，，，，， ∵被9除余6， ∴是的倍数， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是2的倍数， ∴， ∴， 解得，即， ∴ ， ∴当最小，最大时的最小值， ∵，，， ∴，解得， 同理求得， ∴当，时有最小值，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 七下计算通关专项训练 （实数、二元一次方程组、不等式与不等式组） 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 各个击破 → 分模块，研母题，破难点，悟思路 第一部分 实数的混合运算 第二部分 二元一次方程组 第三部分 不等式与不等式组 常考考点 命题风向 1.实数计算：平方根、算术平方根、立方根化简；实数开方、乘方、四则混合运算；根式最简化简 2.实数求值：非负数（平方、绝对值、算术根号）和为0求值；无理数整数、小数部分计算 3.二元一次方程组计算：代入消元法、加减消元法；常规方程组规范求解 4.方程组拓展计算：整体加减求值、同解方程组、错解复原求参数计算 5.一元一次不等式计算：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1完整步骤 6.一元一次不等式组计算：求解集、数轴表示、公共解集判定、整数解筛选计算 7.含参计算：含参方程、含参不等式（组）根据解集、整数解求参数范围计算 （1）基础层（选择、填空） （2）中档解答（期末必考核心） 纯计算大题三连考：实数混合运算、解二元一次方程组、解不等式（组）并数轴表示。主打步骤规范、计算零失误，是期末拿分基础盘。 拔高压轴 ①计算与参数综合；②方程组与不等式结合取值计算；③实数估算+代数式综合求值；④整数解个数限定参数计算。 命题四大固定趋势 （1）计算综合化：不再单一计算，常将实数运算、整体求值、参数计算融合一题。 （2）步骤规范化扣分：七下计算重过程，跳步、格式乱、无依据是主要扣分点。 （3）易错点固定化：符号、变号、根式化简、系数化1是全年段通用高频错题点。 （4）计算服务压轴：所有几何、应用题压轴，最终落脚点全是这三类计算。 考情解码： 1.实数计算核心：先乘方开方、后四则运算，根式必须化最简，正负号优先判断。 2.非负数万能公式：平方、绝对值、算术根号和为0，每一项均为0，直接列式计算。 3.方程组解法口诀：系数为±1用代入，系数成倍数用加减，优先简化减少计算量。 4.不等式致命易错：去分母全员乘、负数系数化为1必须变号、移项必变号。 5.不等式组解集：同大取大、同小取小、大小中间找、无解两头空，数轴虚实、方向不混淆。 6.参数计算逻辑：先正常求解集，再对照题意锁定边界，精细判断等号取舍。 7.计算满分原则：步骤不跳步、结果必化简、符号反复查、整数解逐个验。 1.运算顺序固定：先开方、乘方，再乘除，最后加减，有括号优先算括号内内容，杜绝顺序出错。 2.符号优先预判：计算前先判定正负，正数开方恒正，平方根双正负、立方根同被开方数符号，从源头规避符号错误。 3.化简必到位：含根号结果必须化为最简根式，能开尽方的全部开方，不保留半成品结果。 4.非负数速算技巧：遇平方、绝对值、算术平方根相加为0，直接令每一项单独为0，无需复杂变形。 5.估算速判：无理数取值锁定相邻整数，小数部分=原无理数−整数部分，固定公式直接套用。 【基础过关】 1．计算： (1)； (2)． 2． 计算． 3．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 4．计算： (1)； (2)． 5．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 6．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 7． 已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 8．计算 (1)； (2)已知是的立方根，的算术平方根是3，求的平方根． 【培优提高】 1．若规定，则__________． 2．先化简，再求值：，其中、满足，． 3．计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 4．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 5．概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 6．【概念学习】 我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加． 例如：， 类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如，记作． 一般地，把个连减记作，（为整数，且） 【初步探究】直接写出计算结果：______，______；______； 【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？ 例如：， (1)试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式． ______，______，______（为整数，且） (2)算一算： 7．（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 8．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 1.解法择优技巧：未知数系数为±1，优先用代入消元；系数成整数倍数、易凑相反数，优先用加减消元，大幅减少计算量。 2.简化预处理：方程组含分母、括号、小数时，先去分母、去括号、化整数，整理成标准形式再消元。 3.整体速算：无需单独求解未知数，遇两式可整体加减题型，直接整体代入求值，省时且降低出错率。 4.错解、同解套路：错解满足未看错的方程，同解联立公共方程，先求公共解再反推参数。 5.检验技巧：算出解后快速代入原方程组，验证等式是否成立，杜绝计算失误。 【基础过关】 1．解方程组： (1)； (2)． 2．解方程（组）． (1) (2) 3．解方程组：． 4．已知实数，满足方程组，求． 5．已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 6．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 7．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 8．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 9．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 10．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【培优提高】 1．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 2．若实数，同时满足，，则的值为________． 3．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 4．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 5．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 6．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 7．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 8．已知，，，，，均为不等于的实数，，，． (1)若，求的值． (2)请用含，，的代数式分别表示，，． 9．解方程组：． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 1.变号核心铁律：只有不等式两边同时乘除负数必须变号，加减运算、乘除正数一律不变号。 2.去分母避坑：每一项都要乘最小公分母，不含分母的常数项禁止漏乘，杜绝典型失分。 3.解集口诀速用：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，快速判定公共解集。 4.数轴规范技巧：有等号画实心点、无等号画空心圈，大于向右、小于向左，精准规避画图错误。 5.参数解题技巧：先正常求解集，再结合整数解个数、有无解集，反向锁定参数边界，重点验证等号取舍。 【基础过关】 1．解不等式： (1) (2)； (3)． (4)； (5)． 2．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 3．解不等式组：． 4．解不等式组：，并写出它的整数解． 5．已知关于的方程组且，求的取值范围． 6．解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①②的解集在如下数轴上表示出来． 原不等式组的解集为 ． 7．我们把称为二阶行列式．它的运算法则为：． 例如：． (1)已知，则的值为______； (2)已知，则的取值范围为______； (3)已知，求、的值． 【培优提高】 1．已知关于x的一元一次不等式组解集为，求的值． 2．如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 3．定义：若方程（组）的解能使不等式（组）也成立，则称此方程（组）的解为不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称方程的解“”是不等式的“理想解”． (1)请判断方程的解是以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①，②，③； (2)若关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，且和均为正整数，当仅有唯一一个确定的整数解时，相应的整数的值为，求代数式的值． 4．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 5．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 6．若是不等式组的最大整数解，求的值． 7．已知关于x、y的方程组． (1)当，解这个方程组； (2)当这个方程组的解x、y满足 求m的取值范围； (3)在（2）条件下，如果三角形的顶点坐标分别为，那么三角形的面积最大值为_________，最小值为_________ ． 8．对于平面直角坐标系中的任意一点和线段，给出如下定义：记，，若点在线段上，则称点P是线段的“变换点”． 已知点，． (1)如图，当时， ①在点，，中，线段的“变换点”是 ； ②过点作x轴的垂线，若直线上总存在线段的“变换点”，求的取值范围； (2)已知点，，，，若正方形的边上总存在线段的“变换点”，且“变换点”有且只有一个，直接写出的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是______； ②点在轴上，若，则点的坐标是______． (2)点在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值． 10．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $