专题07 二次函数的实际应用问题（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以六大应用场景为载体，构建“建模方法-最值求解-易错提醒”三阶解题体系，系统整合二次函数性质与实际问题转化逻辑，培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形周长面积|1典例+3变式|设边长→面积公式建模→顶点式求最值|几何量关系→二次函数表达式→定义域内最值| |喷水投球问题|1典例+5变式|坐标建系→顶点式设解析式→解方程求落点|运动轨迹→抛物线模型→函数性质应用| |营销问题|1典例+3变式|利润=（单价-成本）×销量→配方求最值|经济量关系→利润函数→优化决策| |动态几何问题|1典例+3变式|动点时间设元→表示相关量→建立函数|几何动态→变量关系→函数建模求解| |其它实物建模|1典例+4变式|审题设元→等量关系列解析式→结合定义域|实物特征→数学抽象→二次函数模型| |其它实际应用|1典例+4变式|拱桥/刹车等场景建系→待定系数法求解析式|实际情境→坐标系构建→函数表达应用|

专题07 二次函数的实际应用问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数与图形周长、面积问题 题型02 二次函数与喷水（投球）问题 题型03 二次函数营销问题 题型04 二次函数与动态几何问题 题型05 二次函数其它实物建模问题 题型06 二次函数的其它实际应用问题 ▌题型01 二次函数与图形周长、面积问题 1．建模方法：设图形的一边长为 ，用含 的代数式表示其余边长，再由面积公式（如矩形面积 ）建立 关于 的二次函数。 2．最值求解：将面积函数配方为顶点式 ，当 时， 处取得最大值 。 3．易错提醒：边长必须为正且受墙长、周长等条件限制， 有取值范围，顶点横坐标 须在范围内才能直接取到最值。 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作交于点H，利用等腰直角三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余及补角的定义得出，证明，得到，，设，则，由等腰直角三角形性质得出，利用勾股定理列方程得到的表达式，此时的表达式是二次函数，当时，有最小值，将开方后即可得出其最小值． 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的最值． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）素材1：小明家共有长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为．爸爸已经算出方案丙中，当时，所围的菜地面积最大． 任务1：（1）在方案甲中，长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 ； 任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即，，）存在某种特殊的规律． 任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律； ②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性． 【答案】（1）30，900； （2）； （3）①横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； ②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为，由题意，得 ， ∴当横向篱笆长时，菜地面积， 此时横向篱笆的总长度为， ∴猜想成立． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，该长方形的面积为，则该长方形的宽为，由题意得，然后根据二次函数的性质可求解； （2）设菜地面积为，横向长为，则纵向长为，由题意得：，然后根据二次函数的性质可进行求解； （3）①根据（1）（2）可进行求解；②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为，由题意得：，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设，该长方形的面积为，则该长方形的宽为， 由题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为900； 故答案为30，900； （2）设菜地面积为，横向长为，则纵向长为，由题意得： ； ∵， ∴当时，面积； 答：方案乙所围菜地面积的最大值为． （3）①猜想：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半，理由如下： 由（1）（2）可知：方案甲：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案乙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案丙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 综上所述：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； ②略 ▌题型02 二次函数与喷水（投球）问题 1．建系方法：以喷水口（或起点）为原点、水平方向为 轴、竖直方向为 轴建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式。 2．常见设法：已知顶点 时设顶点式 ；已知抛物线过原点时可设 ，用待定系数法求系数。 3．易错提醒：最大高度即顶点纵坐标 ；求水流落地点（或投球落点）时令 解方程，取符合实际意义的根。 【典例2】某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． 【变式2-1】综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【答案】(1) (2)该同学初次投篮时不能命中篮筐 (3) 【分析】（1）根据题意可得顶点的坐标； （2）根据点和顶点的坐标，用顶点式表示出函数解析式，把点的坐标代入可得二次项系数的值，即可得出抛物线解析式，把代入（1）中得到的函数解析式，求得的值，看是否在和之间即可判断能否命中篮筐； （3）判断出平移后的解析式，把代入后求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，篮球最大高度为米， 顶点C的水平坐标为米， 因此顶点坐标为； （2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ． 当时，， ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐； （3）解：新的抛物线解析式为：， 根据题意得抛物线过点， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【变式2-4】（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为； 任务2：； 任务3：，所设计的喷泉比较美观． 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 【变式2-5】（25-26九年级上·浙江温州·期中）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 【答案】(1) (2)拦截不成功 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）设函数表达式为，再用待定系数法求解即可； （2）将代入函数，得：，求得，再比较得出结论． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为，设函数表达式为， 将点、代入函数，得： ， 解得：， ∴篮球在空中飞行的最大高度为； （2）解：函数表达式为， 将代入函数，得：， 化简，得， ∵， ∴所以拦截不成功． ▌题型03 二次函数营销问题 1．利润模型：总利润 ，设涨价 元后，用含 的式子分别表示单件利润与销量，得到 关于 的二次函数。 2．最值求解：配方为 （），当 时利润最大，最大利润为 。 3．易错提醒：注意"每涨价 元就少卖若干件"的数量关系，且 的取值受售价与销量非负的限制。 【典例3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)每件应降价10元；当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元． 【变式3-1】请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 【答案】(1)（或） (2) (3)方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服 【分析】（1）安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有人，进一步求解即可； （2）列式，再整理即可； （3）结合（2），再利用二次函数的性质解答即可. 【详解】（1）解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． （2）解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． （3）解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 【变式3-2】受疫情影响，去年1至7月，某进口奶粉的进价一路直线攀升，每罐奶粉的进价与月份（，且为整数）之间的函数关系式如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 （元/千克） 230 240 250 260 270 280 290 去年下半年，随着我国对一些国家进出口关税的调整，该奶粉的进价涨势趋缓，在8至12月份每罐奶粉的进价与月份（，且为整数）之间存在如右上图所示的变化趋势． (1)请根据表格和图象，写出与和与的函数表达式； (2)某超市去年奶粉的售价为每罐360元，且销售该奶粉每月必须支出（除进价外）的固定支出为4000元，已知该奶粉在1月至7月的销量（罐）与月份满足：；8月至12月的销量（罐）与月份满足：；则该奶粉在去年第几月销售所获得的利润最大？并求出该月的最大利润； (3)今年1月到4月，受国内外疫情的影响，该进口奶粉的进价再次上涨，每罐进价均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）也均增加了15%．已知该奶粉的售价在去年的基础上提高了，与此同时每月的销量均在去年12月的基础上减少了，若超市今年1至4月的销售总利润为122000元，试求出的值．（取整数值）（参考数据：，，，） 【答案】(1)（，且为整数），（，且为整数） (2)在第3月时，可获最大利润32300． (3) 【分析】（1）根据每月增加10千克可知与x是一次函数关系，设，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；设然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）设利润为W元，然后分①当时，根据总利润每千克的利润销量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；②当时，根据总利润每千克的利润销量列式整理，再根据二次函数的增减性求出最大值； （3）根据4个月的总利润每罐的销售利润销售量固定支出列出方程，然后设，换元后解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：设，当时，，当时，， 则， 解得， ∴（，且为整数）， 设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴（，且为整数）， （2）解：设利润为， 当时，， ∵， 当时，有最大值32300， 当时，． ，又， 随增大而减小， 时，有最大值，． 在第3月时，可获最大利润32300． （3）解：根据题意可得， 令，原方程化为． 整理得， ． 解得：，． ，（舍）． ． 【变式3-3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 【答案】(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． ▌题型04 二次函数与动态几何问题 1．建模方法：设动点运动的时间或某线段长为 ，用含 的代数式表示相关线段，再建立面积（或长度）关于 的二次函数。 2．最值与存在性：求最值时配方成顶点式；判断是否存在某状态时，令函数值等于定值解方程，由 的符号判断。 3．易错提醒：动点有运动范围， 的定义域由几何约束决定，求出的 必须检验是否落在范围内。 【典例4】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 【变式4-1】如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【答案】D 【分析】分别求出两段抛物线的解析式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，分别为点运动时所处的位置，由图可知点在上，点在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第一段抛物线的顶点， ∴， 设第一段抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线的解析式为， 当时，， ∴，故选项错误； ∵，， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第二段抛物线的顶点， ∴， 同理可得第二段抛物线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项正确． 【变式4-2】如图1，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿折线向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，的面积为，y与t之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是(     ) ①；②的最大面积a为；③当时，；④当t为和时，的面积为． A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，分别求出y关于t的函数解析式，即可判断各个选项． 【详解】解：由题意可知：， 当时，点M在边上，则， 当时，点M在边上，则， 当时，过点M作于点E， ∵，， ∴， ∴，即， ∴当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F， ∵， ∴， ∴， 即 当时，的面积为最大，最大值为； ∴，的最大面积a为，故①正确，②错误； 当时，，， ∴，故③正确． 当时，，即的面积为， 当时，，即的面积为， 故④错误． 综上所述，结论正确的是①③． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时；当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时， 进而得到，即得到点从点到点运动的时间为秒，得到点从点到点运动的时间为秒，即得，利用勾股定理求出再得到即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； 当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； ∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． ▌题型05 二次函数其它实物建模问题 1．建模步骤：审题→设出自变量与因变量→根据等量关系列出二次函数解析式→求最值或特定值。 2．求解析式：根据已知条件选择顶点式 或一般式 ，用待定系数法确定 的值。 3．易错提醒：实际问题中自变量有实际意义（长度、时间为正），求最值时要结合定义域判断顶点能否取到。 【典例5】综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． (2)求的长（结果保留根号）； (3)实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1)顶点的坐标是， (2)该运动员此次立定跳远的有效水平距离的长为米 (3)的最大值为0.6，最小值为0.5 【分析】（1）先根据表格数据确定抛物线的顶点坐标，再设抛物线的交点式，代入数据求出函数关系式． （2）将代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两点的横坐标，再计算两点间的距离． （3）令，求出落地点的横坐标表达式，再根据落地点在到之间（含端点），列不等式求出的取值范围，进而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； （2）解：当时，， 解得，， ∴； （3）解：令， ， ， ， 由题意，， ， ∴的最大值为，最小值为． 【变式5-1】在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 【变式5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上． (1)求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）； (2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)杯口直径的长为 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）运用待定系数法，由题意设顶点式，进而求得答案； （2）由题意知，进而求得，再由题意得抛物线，过，，从而列方程求出和，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 又∵杯体所在抛物线形状不变，杯口直径， ∴设，， ∴当时，， 解得：，， ∴， ∴杯口直径的长为． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①无人机飞行的最大高度为； ②按钮设置的这条曲线符合条件，理由： 由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； （2）解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②略 【变式5-4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 生活中常见的炒菜锅，其锅和锅盖可近似地看作抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形． 素材2 某学校食堂有一口炒菜锅（如图），其锅口直径为，锅深为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径相同）． 问题解决 任务1 确定锅和锅盖纵断面的形状 以为坐标原点建立平面直角坐标系，求锅和锅盖纵断面抛物线的表达式． 任务2 探索水面的直径 当烹饪时锅内的水位高度是时，求此时水面的直径． 任务3 判断锅盖能否盖上 若将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿（不计壁厚）放入炒菜锅内蒸食物，试判断锅盖能否正常盖上？并说明理由． 【答案】任务1：，；任务2：；任务3：不能正常盖上；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 任务1：已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； 任务2：烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； 任务3：底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】任务1：解：如图， 设锅和锅盖纵断面抛物线分别为、 由于抛物线、都过点、， 设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线， ∴锅和锅盖纵断面抛物线的表达式分别为：，． 任务2：解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 任务3：解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． ▌题型06 二次函数的其它实际应用问题 1．应用类型：含抛物线形建筑（拱桥、隧道）等问题，关键是建立合适的坐标系并求出函数解析式。 2．拱桥问题：常以拱顶为原点、对称轴为 轴建系，设 ，代入已知点的坐标求出 。 3．易错提醒：建系方式不同则解析式不同，但结论一致；注意点的坐标符号与实际距离的换算。 【典例6】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________ (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【答案】(1)，； (2)排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人 (3)开通条通道 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据排队人数现场总人数已入场人数，得到二次函数的解析式． 根据平均每条通道每分钟可安检人，开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人；根据排队人数现场总人数已入场人数，可得函数关系式； 把整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质即可求出结果； 设开通了条安检通道，可得：，可知二次函数的对称轴为，根据主办方的要求，可知，求出的取值范围，再根据实际情况确定的值． 【详解】（1）解：平均每条通道每分钟可安检人， 开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人； 排队人数现场总人数已入场人数， ； 故答案为：，； （2）解：把整理成顶点坐标式， 可得：， 当时，达到最大值，最大值是， 答：排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人； （3）解：设开通了条安检通道， 根据题意可得：， 整理得：， 对称轴为， 排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少， ， 解得：， 最多可以开通条通道， ， 尽量少安排安检通道，以节省开支， 其中为整数且， 取， 最少开设条安检通道． 【变式6-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【答案】(1) (2)当汽车刹车后行驶了时， (3) 解：该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由如下： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）求出时，t的值即可得到答案； （3）利用二次函数的性质求出s的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则， 解得， ∴． （2）解：由题意可得，， 解得， ∵， ∴， ∴． 答：当汽车刹车后行驶了时，． （3）略 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植．经试验，总产量千克与每平方米种植的株数（，且为整数）之间满足一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为1千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少千克． (1)求关于的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1)（，且为整数） (2)每平方米种植株时，能获得最大的产量，最大产量为千克 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）由每平方米种植2株时，平均单株产量为1千克；同时每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少千克，可以得到单株产量与每平米种植株树的关系，然后单株产量乘以种植株树，进而得到总产量，求得关于的函数表达式． （2）由第一步得到的函数式变形，进而得到时，能获得最大产量，完成求解． 【详解】（1）解：设单株的产量为千克， 依题意知，（，且为整数）， 则（，且为整数）． 答：关于的函数表达式为（，且为整数）． （2）解：∵关于的函数表达式为， ∴， ∴当时，在的取值范围内，取得最大值为． 答：每平方米种植株时，能获得最大的产量，最大产量为千克． 【变式6-3】综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)72m (3) 不会，理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】（1）设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； （2）当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）略 【变式6-4】（2025·江西宜春·一模）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； (2)应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 【答案】(1) ③根据题意连线如下： ④二次； ⑤ (2)列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米 【分析】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图象，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）③根据题意连线即可求解； ④根据曲线判断函数图象为二次函数图象； ⑤待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得当，时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：③略 ④根据曲线的形状，可判断函数图象为二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设抛物线的解析式为，根据题意，得： ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：当，得， 解得． 当时， ； 当时，， 故（米）， 答：列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数的实际应用问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数与图形周长、面积问题 题型02 二次函数与喷水（投球）问题 题型03 二次函数营销问题 题型04 二次函数与动态几何问题 题型05 二次函数其它实物建模问题 题型06 二次函数的其它实际应用问题 ▌题型01 二次函数与图形周长、面积问题 1．建模方法：设图形的一边长为 ，用含 的代数式表示其余边长，再由面积公式（如矩形面积 ）建立 关于 的二次函数。 2．最值求解：将面积函数配方为顶点式 ，当 时， 处取得最大值 。 3．易错提醒：边长必须为正且受墙长、周长等条件限制， 有取值范围，顶点横坐标 须在范围内才能直接取到最值。 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）素材1：小明家共有长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为．爸爸已经算出方案丙中，当时，所围的菜地面积最大． 任务1：（1）在方案甲中，长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 ； 任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即，，）存在某种特殊的规律． 任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律； ②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性． ▌题型02 二次函数与喷水（投球）问题 1．建系方法：以喷水口（或起点）为原点、水平方向为 轴、竖直方向为 轴建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式。 2．常见设法：已知顶点 时设顶点式 ；已知抛物线过原点时可设 ，用待定系数法求系数。 3．易错提醒：最大高度即顶点纵坐标 ；求水流落地点（或投球落点）时令 解方程，取符合实际意义的根。 【典例2】某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【变式2-1】综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【变式2-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【变式2-4】（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【变式2-5】（25-26九年级上·浙江温州·期中）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? ▌题型03 二次函数营销问题 1．利润模型：总利润 ，设涨价 元后，用含 的式子分别表示单件利润与销量，得到 关于 的二次函数。 2．最值求解：配方为 （），当 时利润最大，最大利润为 。 3．易错提醒：注意"每涨价 元就少卖若干件"的数量关系，且 的取值受售价与销量非负的限制。 【典例3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【变式3-1】请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 【变式3-2】受疫情影响，去年1至7月，某进口奶粉的进价一路直线攀升，每罐奶粉的进价与月份（，且为整数）之间的函数关系式如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 （元/千克） 230 240 250 260 270 280 290 去年下半年，随着我国对一些国家进出口关税的调整，该奶粉的进价涨势趋缓，在8至12月份每罐奶粉的进价与月份（，且为整数）之间存在如右上图所示的变化趋势． (1)请根据表格和图象，写出与和与的函数表达式； (2)某超市去年奶粉的售价为每罐360元，且销售该奶粉每月必须支出（除进价外）的固定支出为4000元，已知该奶粉在1月至7月的销量（罐）与月份满足：；8月至12月的销量（罐）与月份满足：；则该奶粉在去年第几月销售所获得的利润最大？并求出该月的最大利润； (3)今年1月到4月，受国内外疫情的影响，该进口奶粉的进价再次上涨，每罐进价均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）也均增加了15%．已知该奶粉的售价在去年的基础上提高了，与此同时每月的销量均在去年12月的基础上减少了，若超市今年1至4月的销售总利润为122000元，试求出的值．（取整数值）（参考数据：，，，） 【变式3-3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． ▌题型04 二次函数与动态几何问题 1．建模方法：设动点运动的时间或某线段长为 ，用含 的代数式表示相关线段，再建立面积（或长度）关于 的二次函数。 2．最值与存在性：求最值时配方成顶点式；判断是否存在某状态时，令函数值等于定值解方程，由 的符号判断。 3．易错提醒：动点有运动范围， 的定义域由几何约束决定，求出的 必须检验是否落在范围内。 【典例4】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【变式4-1】如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【变式4-2】如图1，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿折线向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，的面积为，y与t之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是(     ) ①；②的最大面积a为；③当时，；④当t为和时，的面积为． A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（   ） A． B． C． D． ▌题型05 二次函数其它实物建模问题 1．建模步骤：审题→设出自变量与因变量→根据等量关系列出二次函数解析式→求最值或特定值。 2．求解析式：根据已知条件选择顶点式 或一般式 ，用待定系数法确定 的值。 3．易错提醒：实际问题中自变量有实际意义（长度、时间为正），求最值时要结合定义域判断顶点能否取到。 【典例5】综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． (2)求的长（结果保留根号）； (3)实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 【变式5-1】在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【变式5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上． (1)求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）； (2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长（结果保留根号）． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【变式5-4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 生活中常见的炒菜锅，其锅和锅盖可近似地看作抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形． 素材2 某学校食堂有一口炒菜锅（如图），其锅口直径为，锅深为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径相同）． 问题解决 任务1 确定锅和锅盖纵断面的形状 以为坐标原点建立平面直角坐标系，求锅和锅盖纵断面抛物线的表达式． 任务2 探索水面的直径 当烹饪时锅内的水位高度是时，求此时水面的直径． 任务3 判断锅盖能否盖上 若将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿（不计壁厚）放入炒菜锅内蒸食物，试判断锅盖能否正常盖上？并说明理由． ▌题型06 二次函数的其它实际应用问题 1．应用类型：含抛物线形建筑（拱桥、隧道）等问题，关键是建立合适的坐标系并求出函数解析式。 2．拱桥问题：常以拱顶为原点、对称轴为 轴建系，设 ，代入已知点的坐标求出 。 3．易错提醒：建系方式不同则解析式不同，但结论一致；注意点的坐标符号与实际距离的换算。 【典例6】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________ (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【变式6-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植．经试验，总产量千克与每平方米种植的株数（，且为整数）之间满足一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为1千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少千克． (1)求关于的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【变式6-3】综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【变式6-4】（2025·江西宜春·一模）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； (2)应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $