第03讲 一元二次方程定义与解法（核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业）讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程定义与解法核心知识，系统梳理定义的三个必备条件及一般形式，衔接直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，构建“定义识别—解法选择—策略应用”的学习支架。 资料通过8个易错辨析精准突破二次项系数漏检等常见错误，10个典例覆盖定义判断、参数求解等题型，渗透转化与分类讨论思想，培养抽象能力与运算能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第03讲 一元二次方程定义与解法 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2. 三个必备条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数） ② 只含1个未知数 ③ 未知数最高次数为2，且二次项系数≠0 3. 一般形式 ：二次项，：二次项系数（，重点！） ：一次项，：一次项系数 ：常数项 备注：系数包含前面符号；方程必须整理成降幂排列的标准形式再判断。 【知识点02】一元二次方程四种解法 方法1：直接开平方法 适用形式： 当 ，，两根 当 ，有两个相等实数根 当 ，无实数根 方法2：配方法 解题步骤： 1.移项：常数项移到等号右侧 2.化1：二次项系数化为1（方程两边同除以） 3.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成完全平方： 5.直接开平方求解 核心用途：解方程、求代数式最值、推导求根公式 方法3：公式法 由配方法推导，适用于所有一元二次方程 判别式： 求根公式： 方法4：因式分解法（优先选用！简便） 核心原理：若 ，则 或 常用分解手段：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法 适用场景：方程右边为0，左边可快速因式分解 换元法（整体换元法）：把方程中重复出现的代数式看作一个整体，用新字母（y、t等）替代，将复杂方程简化为熟悉的一元二次方程，求出新字母的值后，再代回原式求解原未知数。 解题步骤： 1.移项，使方程右边=0 2.左边因式分解 3.令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程 4.解一元一次方程，得到方程的根 解法选择优先级 因式分解法＞直接开平方法＞公式法；配方法一般不作解方程首选 易错点1：判断一元二次方程忽略 例题：方程 是一元二次方程，求取值范围 ✅ 正确： ❌ 错误：仅关注未知数次数为2，遗漏二次项系数不为0的核心条件（含参题型高频易错） 易错点2：判定方程类型，不先化为一般形式 例：，展开整理后二次项相互抵消，未知数最高次数为1，不是一元二次方程 易错点3：直接开平方法漏写“±” 例：解方程 ❌ 错解：（丢失一个根） ✅ 正解： 易错点4：配方法两处典型错误 1. 二次项系数不为1时，仅对左边配方加减常数，忘记等式右边同步变形，破坏等式平衡； 2. 配方时误用常数，未使用「一次项系数一半的平方」。 例：解方程 ✅ 正确配方： 易错点5：因式分解法随意约去含未知数代数式 例：解方程 ❌ 错误：两边直接除以，得，丢失根 ✅ 正确：移项得，提取公因式求解，避免丢根 易错点6：使用求根公式前未整理标准形式、符号出错 例：方程 ，必须先整理为标准形式：，再确定，极易误将取值为5。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为___． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 【变式2】．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【题型三】由一元二次方程的定义求参数 【例3】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【例4】．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【变式1】．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_______ 【变式2】．已知是一元二次方程，则的值为______． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是________ 【题型四】判断是否是一元二次方程的解 【例5】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式2】．已知是方程的一个根，则 ________ 【变式3】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【题型五】由一元二次方程的解求参数 【例6】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2028 B．2021 C．2024 D．2026 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【题型六】解一元二次方程——直接开平方法 【例7】．（23-24九年级上·江苏常州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【变式2】．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 【变式3】．解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型七】解一元二次方程——配方法 【例8】．（2023·江苏溧阳·一模）用配方法解一元二次方程时，第一步变形后应是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．用配方法解方程，方程可化为，则___________． 【变式2】．解方程：（配方法）． 【变式3】．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【题型八】因式分解法解一元二次方程 【例9】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是________． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程． (1)； (2)． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型九】公式法解一元二次方程 【例10】．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 【变式1】．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 【变式2】．用公式法解方程：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）解方程：． 【题型十】换元法解一元二次方程 【例11】．已知，则方程的解集是_______； 【变式1】．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 1. 知识主线 识别一元二次方程（定义+一般形式）→ 四种核心解法（直接开平、配方、公式、因式分解）。 2. 解题策略总结 ① 解方程优先整理为标准形式，准确识别及对应符号； ② 优先选用因式分解法、直接开平方法，简化计算；无简便方法再用公式法； ③ 配方法极少用于常规解方程，多用于代数式求值、最值证明题型； ④ 含参数题型，第一步优先检验二次项系数是否为0，分类讨论； ⑤ 解方程严禁随意约分含未知数式子、开平方勿忘正负号，避免丢根、错根。 换元法核心逻辑：整体打包，降次化简，先简后难 固定解题套路：找整体→设新元→化二次方程→解新元→回代求解→取舍检验 3. 核心数学思想 转化思想：通过降次，将一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解； 分类讨论思想：用于含参方程的类型判定、根的存在性判断； 等价变形思想：保证方程变形前后同解，杜绝增根、失根。 核心思想：转化与整体思想，是中考阅读探究题、培优解方程的核心方法。 一、单选题 1．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 3．用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（   ） A．(x＋2)2＝2 B．(x－2)2＝7 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 5．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 8．（22-23九年级上·江苏无锡·）若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 9．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 10．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 二、填空题 11．一元二次方程的一次项系数是_____． 12．一元二次方程的解为_________． 13．若方程是关于的一元二次方程，则______． 14．已知，则的值为________． 15．若是关于的一元二次方程，则的值是______． 16．把一元二次方程化成一般形式是_________． 17．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 三、解答题 18．解方程 (1)； (2) 19．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 20．用适当的方法解方程： (1) (2) 21．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 22．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 23．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程定义与解法 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2. 三个必备条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数） ② 只含1个未知数 ③ 未知数最高次数为2，且二次项系数≠0 3. 一般形式 ：二次项，：二次项系数（，重点！） ：一次项，：一次项系数 ：常数项 备注：系数包含前面符号；方程必须整理成降幂排列的标准形式再判断。 【知识点02】一元二次方程四种解法 方法1：直接开平方法 适用形式： 当 ，，两根 当 ，有两个相等实数根 当 ，无实数根 方法2：配方法 解题步骤： 1.移项：常数项移到等号右侧 2.化1：二次项系数化为1（方程两边同除以） 3.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成完全平方： 5.直接开平方求解 核心用途：解方程、求代数式最值、推导求根公式 方法3：公式法 由配方法推导，适用于所有一元二次方程 判别式： 求根公式： 方法4：因式分解法（优先选用！简便） 核心原理：若 ，则 或 常用分解手段：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法 适用场景：方程右边为0，左边可快速因式分解 换元法（整体换元法）：把方程中重复出现的代数式看作一个整体，用新字母（y、t等）替代，将复杂方程简化为熟悉的一元二次方程，求出新字母的值后，再代回原式求解原未知数。 解题步骤： 1.移项，使方程右边=0 2.左边因式分解 3.令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程 4.解一元一次方程，得到方程的根 解法选择优先级 因式分解法＞直接开平方法＞公式法；配方法一般不作解方程首选 易错点1：判断一元二次方程忽略 例题：方程 是一元二次方程，求取值范围 ✅ 正确： ❌ 错误：仅关注未知数次数为2，遗漏二次项系数不为0的核心条件（含参题型高频易错） 易错点2：判定方程类型，不先化为一般形式 例：，展开整理后二次项相互抵消，未知数最高次数为1，不是一元二次方程 易错点3：直接开平方法漏写“±” 例：解方程 ❌ 错解：（丢失一个根） ✅ 正解： 易错点4：配方法两处典型错误 1. 二次项系数不为1时，仅对左边配方加减常数，忘记等式右边同步变形，破坏等式平衡； 2. 配方时误用常数，未使用「一次项系数一半的平方」。 例：解方程 ✅ 正确配方： 易错点5：因式分解法随意约去含未知数代数式 例：解方程 ❌ 错误：两边直接除以，得，丢失根 ✅ 正确：移项得，提取公因式求解，避免丢根 易错点6：使用求根公式前未整理标准形式、符号出错 例：方程 ，必须先整理为标准形式：，再确定，极易误将取值为5。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，化简得，即，是一元一次方程，选项错误； B、，分母含未知数，不是整式方程，选项错误； C、，移项得，是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，选项正确； D、，含两个未知数x和y，是二元方程，选项错误； 故选：C． 【变式1】．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 需依据“只含有一个未知数、含未知数最高次项的次数为2、是整式方程”这三个条件逐一判断选项，即可求解． 【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②含未知数最高次项的次数为2；③是整式方程 A、方程，含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； B、方程，含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； C、方程，整理为，只含一个未知数x，含未知数最高次项的次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； D、方程，分母含有未知数，是分式方程，不符合“整式方程”的条件，不是一元二次方程； 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式3】．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为___． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 【变式2】．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式3】．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型三】由一元二次方程的定义求参数 【例3】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到，直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【例4】．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，，求解即可．此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，注意二次项系数不为0． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式2】．已知是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是________ 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义得出，再求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型四】判断是否是一元二次方程的解 【例5】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 【变式2】．已知是方程的一个根，则 ________ 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键． 由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【题型五】由一元二次方程的解求参数 【例6】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 故选：A． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2028 B．2021 C．2024 D．2026 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选B． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，然后求的值即可，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入得，即， 解得：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．把代入一元二次方程即可求得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ，解得． 【题型六】解一元二次方程——直接开平方法 【例7】．（23-24九年级上·江苏常州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．直接开方法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故选：D． 【变式1】．一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故选：C． 【变式2】．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的解 【分析】把代入方程进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入方程得：， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【变式3】．解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）整理后，运用直接开平方法求解即可； （2）整理后，运用直接开平方法求解即可； （3）运用直接开平方法求解即可； （4）整理后，运用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得，． 【题型七】解一元二次方程——配方法 【例8】．（2023·江苏溧阳·一模）用配方法解一元二次方程时，第一步变形后应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】移项，即可得出结果． 【详解】根据题意，第一步为移项，得 ， 故答案选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【变式1】．用配方法解方程，方程可化为，则___________． 【答案】4 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 【变式2】．解方程：（配方法）． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把方程化成，它的二次项系数为，为了便于配方，需要把二次项系数化为． 【详解】移项，得 ． 二次项系数化为，得 ． 配方，得 ， ． 由此可得 ， ，． 【点睛】本题主要考查采用配方法解一元二次方程，牢记配方法的定义（通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法）是解题的关键． 【变式3】．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【答案】(1)①4；②16；③2 (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程． （1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案； （2）类比例题求解、画图、计算即可． 【详解】（1）解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； （2）解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． 【题型八】因式分解法解一元二次方程 【例9】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴或, ∴方程的根为,． 故选：A． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是________． 【答案】1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】设另一个因式为，则，根据题意得出，，求出p、a即可． 【详解】解：设另一个因式为， 则， ∴，， ∴，， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，能得出和是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，； （2）解：， ， ， ，， 解得：，． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 即，； （2）解：， ， ， 或， ，． 【题型九】公式法解一元二次方程 【例10】．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 【变式1】．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 【变式2】．用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式求得答案即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴． 即，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出的值，是解此题的关键． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）解方程：． 【答案】) 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型十】换元法解一元二次方程 【例11】．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 【变式1】．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 【变式2】．解方程：． 【答案】， 【详解】解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【知识点】换元法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 1. 知识主线 识别一元二次方程（定义+一般形式）→ 四种核心解法（直接开平、配方、公式、因式分解）。 2. 解题策略总结 ① 解方程优先整理为标准形式，准确识别及对应符号； ② 优先选用因式分解法、直接开平方法，简化计算；无简便方法再用公式法； ③ 配方法极少用于常规解方程，多用于代数式求值、最值证明题型； ④ 含参数题型，第一步优先检验二次项系数是否为0，分类讨论； ⑤ 解方程严禁随意约分含未知数式子、开平方勿忘正负号，避免丢根、错根。 换元法核心逻辑：整体打包，降次化简，先简后难 固定解题套路：找整体→设新元→化二次方程→解新元→回代求解→取舍检验 3. 核心数学思想 转化思想：通过降次，将一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解； 分类讨论思想：用于含参方程的类型判定、根的存在性判断； 等价变形思想：保证方程变形前后同解，杜绝增根、失根。 核心思想：转化与整体思想，是中考阅读探究题、培优解方程的核心方法。 一、单选题 1．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 2．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 3．用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（   ） A．(x＋2)2＝2 B．(x－2)2＝7 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据题意将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到答案． 【详解】， 整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 5．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 6．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 7．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：解方程得：， ∵一元二次方程的较大的一根小于1， ∴， ∴， 两边平方得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b的不等式是解题的关键． 8．（22-23九年级上·江苏无锡·）若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 10．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到． 【详解】解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程， 是关于x的方程的一个根， ， 解得， 关于x的方程必有一个根为． 故选：D． 二、填空题 11．一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，其中一次项系数是，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 12．一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 13．若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略．根据一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得， 故答案为：． 14．已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 15．若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，由此确定且，求解m的值. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. 16．把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 17．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 三、解答题 18．解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 19．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 20．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 21．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法解方程即可. 22．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 23．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $