2.2.1《一元二次方程的解法(第1课时 配方法与直接开平方法)》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的配方法与直接开平方法，通过智能手表情境导入，从面积问题引出x²=p和(x+m)²=n的形式，以平方根定义为基础，构建直接开平方法到配方法的知识支架，体现化归思想。 该教案以分层教学为特色，A、B、C层目标明确，练习与作业层层递进，契合不同学生需求。通过情境教学激发兴趣，启发探究引导学生经历“降次”过程，培养数学运算和逻辑推理核心素养，如配方法步骤训练提升运算能力，分层设计让学生获成功体验，为教师提供清晰流程与分层资源，助力高效教学。

2.2.1 一元二次方程的解法 （第1课时　配方法与直接开平方法） 教案　·　2026—2027学年　苏科版九年级数学上册 课　题 2.2.1 一元二次方程的解法（配方法与直接开平方法） 教材版本 苏科版九年级上册 授课年级 九年级 课　时 1课时（40分钟） 课　型 新授课 授课教师 —— 教学方法 情境教学法、启发探究法、分层教学法、讲练结合法 备课时间 2026年9月 核心素养 数学运算、逻辑推理、数学抽象（化归与转化思想） 一、教学目标 1. 知识与技能目标（分层要求） ★ A层（基础）：理解直接开平方法的原理，能解形如x²=p（p≥0）的方程；掌握二次项系数为1的简单配方法。 ★★ B层（提高）：能解形如(x+m)²=n（n≥0）的方程；掌握二次项系数不为1时的配方法，能规范完成配方全过程。 ★★★ C层（拓展）：能灵活运用配方法解决代数式大小比较、根的情况判断等综合问题，体会配方法的应用价值。 2. 过程与方法目标 经历由平方根定义→直接开平方法→配方法的知识发生过程，体会"化未知为已知"的化归思想；通过"配方"实现降次，感受"降次"是解高次方程的基本策略，发展逻辑推理与运算能力。 3. 情感态度与价值观目标 在生活情境中体验数学与现实的联系，增强学习兴趣；在分层学习中人人获得成功体验，树立学习自信；培养严谨规范的解题习惯和检验意识。 二、教学重点与难点 教学重点 直接开平方法的适用条件与解题步骤；配方法解一元二次方程的一般步骤（尤其是"配方"这一关键环节）。 教学难点 （1）正确理解"配方"的本质——方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （2）二次项系数不为1时先化系数为1，以及对右边为负数时"方程无实数根"的理解与判断。 三、教学准备 多媒体课件、分层导学案、直尺；学生课前复习平方根的意义及完全平方公式。 四、教学过程（总时长：40分钟） 环节一　情境导入：智能手表的"面积之谜"（5分钟） 【教师活动】展示智能手表图片，提出问题串： 问题1：某款方形智能手表的屏幕面积是9平方厘米，它的边长是多少？（学生口答：3cm） 问题2：如果屏幕面积是8平方厘米呢？你能列出方程吗？ （引导学生设边长为x，列出方程：x² = 8） 问题3：如果手表边框宽度都是0.5厘米，屏幕有效显示区域面积是6.25平方厘米，那手表屏幕总边长是多少？ （引导列方程：(x - 1)² = 6.25） 【学生活动】观察思考、小组讨论，尝试列方程并思考解法。 【设计意图】用学生熟悉的智能手表创设情境，贴近九年级学生生活，激发兴趣。三个问题由浅入深，自然引出x²=p和(x+m)²=n两种基本形式，为新知探究做好铺垫。 环节二　探究新知（一）：直接开平方法（8分钟） 【探究活动1】x² = p 型方程 回顾平方根定义：若x² = a，则x叫做a的平方根，即x = ±√a（a≥0）。 回到情境问题x² = 8：根据平方根定义，x = ±√8 = ±2√2，即x₁ = 2√2，x₂ = -2√2。 方程右边p的取值 方程根的情况 p ＞ 0 有两个不相等的实数根：x = ±√p p ＝ 0 有两个相等的实数根：x₁ = x₂ = 0 p ＜ 0 没有实数根（∵任何实数的平方都非负） 【探究活动2】(x + m)² = n 型方程 回到情境问题(x - 1)² = 6.25：把(x - 1)看成一个整体，设y = x - 1，则y² = 6.25。 ∴ y = ±2.5，即x - 1 = ±2.5，∴ x₁ = 3.5，x₂ = -1.5（舍去负根）。 【归纳概念】利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程解的方法，叫做直接开平方法。 【核心思想】降次——将二次方程转化为一次方程求解（化归思想）。 环节三　例题精讲与分层练习（一）（7分钟） 【例1】（全体掌握）解下列方程： （1）x² = 2　　　　（2）4x² - 1 = 0 解：（1）两边直接开平方，得 x = ±√2 ∴ x₁ = √2，x₂ = -√2 （2）移项，得 4x² = 1 系数化为1，得 x² = 1/4 开平方，得 x = ±1/2 ∴ x₁ = 1/2，x₂ = -1/2 【例2】（B、C层掌握，A层理解）解下列方程： （1）(x + 1)² = 2　　（2）(x - 1)² - 4 = 0 解：（1）开平方，得 x + 1 = ±√2 ∴ x₁ = -1 + √2，x₂ = -1 - √2 （2）移项，得 (x - 1)² = 4 开平方，得 x - 1 = ±2 ∴ x₁ = 3，x₂ = -1 【即时分层练习】 ★ A层：用直接开平方法解方程：2x² - 8 = 0 ★★ B层：解方程：3(x - 1)² - 6 = 0 ★★★ C层：如果关于x的方程(x - 9)² = m + 3可以用直接开平方法求解，求m的取值范围。 （学生独立完成，教师巡视，重点指导A层学生；选代表板演点评） 环节四　探究新知（二）：配方法（10分钟） 【问题引入】方程x² + 6x + 4 = 0能直接开平方吗？（不能——左边不是完全平方式） 思考：能不能把它变形成(x + m)² = n的形式，然后用直接开平方法呢？ 【温故知新】完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 填空：x² + 6x + ____ = (x + ____)² （答案：9；3） 【探究配方】解方程：x² + 6x + 4 = 0 第一步（移项）：把常数项移到右边 x² + 6x = -4 第二步（配方）：两边同时加上一次项系数一半的平方（3² = 9） x² + 6x + 9 = -4 + 9 即 (x + 3)² = 5 第三步（开平方）： x + 3 = ±√5 第四步（求解）： ∴ x₁ = -3 + √5，x₂ = -3 - √5 【归纳概念】通过配成完全平方式，把一元二次方程转化为(x + m)² = n的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 【配方法一般步骤】（口诀：一除、二移、三配、四开方） ① 一化（除）：二次项系数化为1（两边同除以二次项系数）； ② 二移：将常数项移到方程右边； ③ 三配：两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 四开：右边非负则开平方求解，右边为负则无实数根。 环节五　例题精讲与分层练习（二）（7分钟） 【例3】（全体掌握）用配方法解方程：x² - 8x = 10 解：配方，得 x² - 8x + 16 = 10 + 16 即 (x - 4)² = 26 开平方，得 x - 4 = ±√26 ∴ x₁ = 4 + √26，x₂ = 4 - √26 【例4】（B、C层掌握）用配方法解方程：2x² + 12x + 10 = 0 解：二次项系数化为1，得 x² + 6x + 5 = 0 移项，得 x² + 6x = -5 配方，得 x² + 6x + 9 = -5 + 9 即 (x + 3)² = 4 开平方，得 x + 3 = ±2 ∴ x₁ = -1，x₂ = -5 【易错提醒】① 二次项系数不为1时，必须先化系数为1；② 配方时两边都要加同一个数；③ 右边为负数时方程无实数根。 【即时分层练习】 ★ A层：用配方法解方程：x² + 2x - 3 = 0（可化为(x + 1)² = 4） ★★ B层：用配方法解方程：x² - 6x + 5 = 0 ★★★ C层：用配方法解方程：x² - 6x - 1 = 0 环节六　课堂小结（2分钟） 引导学生从知识、方法、思想三个层面归纳： （1）两种方法：直接开平方法（依据平方根定义）、配方法（依据完全平方公式）； （2）方法联系：配方法 → 转化为 → 直接开平方法，本质都是"降次"； （3）配方法关键：加上"一次项系数一半的平方"（两边都要加！）； （4）数学思想：化归与转化——化未知为已知、化二次为一次。 环节七　分层作业布置（1分钟） 必做题（A层）：课本对应习题中直接开平方法、简单配方法各2题； 必做题（B层）：完成A层全部 + 二次项系数不为1的配方法2题； 选做题（C层）：思考题：用配方法比较代数式M = 2x² - 12x + 15与N = x² - 8x + 11的大小。 五、板书设计 2.2.1 一元二次方程的解法（第1课时） 一、直接开平方法 依据：平方根定义 形式：① x² = p (p≥0) 　　　② (x+m)² = n (n≥0) 核心：降次（二次→一次） 例1：x² = 2 例2：(x+1)² = 2 二、配方法 依据：完全平方公式 步骤：一除、二移、三配、四开方 关键：加"一次项系数一半的平方" 例3：x² - 8x = 10 例4：2x² + 12x + 10 = 0 六、教学反思（课后填写） （1）情境导入的有效性：智能手表情境是否激发了学生兴趣？三个问题的梯度是否合理？ （2）分层教学的落实：各层次学生是否都完成了对应任务？A层学生对配方的掌握情况如何？ （3）易错点突破：学生在"配方时两边同加"、"系数先化为1"、"无实数根判断"等方面是否仍有困难？ （4）时间分配：各环节时间是否合理？练习时间是否充足？是否需要调整？ 【小灶课】拓展提升与补充题型 说明：本部分为正课内容的补充与拓展，供学有余力的学生（B层选做、C层必做）课后自主学习或教师辅导使用，体现分层教学理念。正课未涉及的较难题型、综合应用均在此呈现。 题型一：配方正误辨析 【题目】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　） A. x² - 4x - 3 = 0 化为 (x - 2)² = 7 B. 2x² + 16x + 18 = 0 化为 (x + 4)² = 25 C. 2t² - 7t - 4 = 0 化为 (t - 7/4)² = 81/16 D. 3x² - 4x - 2 = 0 化为 (x - 2/3)² = 10/9 【解析】B选项错误。2x² + 16x + 18 = 0，系数化为1得x² + 8x + 9 = 0，移项得x² + 8x = -9，配方得x² + 8x + 16 = -9 + 16，即(x + 4)² = 7，而非25。 题型二：配方法的一般形式推导 【题目】用配方法解方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），下列配方正确的是（　　） A. (x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a² B. (x + b/2a)² = (4ac - b²)/4a² C. (x + b/a)² = (b² - 4ac)/a² D. (x - b/2a)² = (b² - 4ac)/4a² 【解析】选A。ax² + bx + c = 0，系数化为1：x² + (b/a)x + c/a = 0，移项：x² + (b/a)x = -c/a，配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²，即(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²。（为后续公式法学习埋下伏笔） 题型三：无实数根的判断 【题目】用配方法解方程x² - (2/3)x + 1 = 0，正确的是（　　） A. (x - 1/3)² = 1，x₁ = 4/3，x₂ = -2/3 B. (x - 1/3)² = 8/9，x = (1 ± 2√2)/3 C. (x - 1/3)² = -8/9，原方程无实数解 D. (x - 2/3)² = -5/9，原方程无实数解 【解析】选C。移项得x² - (2/3)x = -1，配方得x² - (2/3)x + 1/9 = -1 + 1/9，即(x - 1/3)² = -8/9 ＜ 0，∴原方程无实数解。 题型四：配方法比较代数式大小 【题目】若M = 2x² - 12x + 15，N = x² - 8x + 11，则M与N的大小关系为（　　） A. M ≥ N　　B. M ＞ N　　C. M ≤ N　　D. M ＜ N 【解析】选A。用作差法：M - N = (2x² - 12x + 15) - (x² - 8x + 11) = x² - 4x + 4 = (x - 2)² ≥ 0，∴ M ≥ N。 【变式】已知A = 2x + m，B = x² + m + 4，比较A与B的大小。 答案：A ＜ B（B - A = (x - 1)² + 3 ≥ 3 ＞ 0） 题型五：接力游戏——变形过程纠错 【题目】王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形。过程如下： 甲：2x² + 8x - 4 = 0 → x² + 4x = 2 乙：x² + 4x = 2 → (x + 2)² = 2 丙：(x + 2)² = 2 → x + 2 = ±√2 丁：x + 2 = ±√2 → x₁ = -2 + √2，x₂ = -2 - √2 上述求解过程中，错误的是（　　） A. 甲　　B. 乙　　C. 丙　　D. 丁 【解析】选B。乙的错误：配方时右边漏加了4。正确应为(x + 2)² = 2 + 4 = 6。 题型六：方程根的综合判断 【题目】一元二次方程(x + 1)(x - 3) = 2x - 5根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有一个正根，一个负根 C. 有两个正根，且都小于3 D. 有两个正根，且有一根大于3 【解析】选D。整理方程：x² - 2x - 3 = 2x - 5 → x² - 4x + 2 = 0，配方得(x - 2)² = 2，解得x₁ = 2 + √2 ≈ 3.414 ＞ 3，x₂ = 2 - √2 ≈ 0.586 ＞ 0。故有两个正根，且有一根大于3。 附录：教案中所有题目及参考答案 一、情境导入问题 1. 屏幕面积9平方厘米，边长 = 3厘米 2. 屏幕面积8平方厘米，列方程x² = 8，边长 = 2√2厘米 3. (x - 1)² = 6.25，解得x₁ = 3.5厘米，x₂ = -1.5（舍去），故总边长为3.5厘米 二、正课例题 例1（1）x² = 2　　答案：x₁ = √2，x₂ = -√2 （2）4x² - 1 = 0　　答案：x₁ = 1/2，x₂ = -1/2 例2（1）(x + 1)² = 2　　答案：x₁ = -1 + √2，x₂ = -1 - √2 （2）(x - 1)² - 4 = 0　　答案：x₁ = 3，x₂ = -1 例3x² - 8x = 10　　答案：x₁ = 4 + √26，x₂ = 4 - √26 例42x² + 12x + 10 = 0　　答案：x₁ = -1，x₂ = -5 三、课堂分层练习 【直接开平方法练习】 ★ A层：2x² - 8 = 0 答案：x₁ = 2，x₂ = -2 ★★ B层：3(x - 1)² - 6 = 0 答案：x₁ = 1 + √2，x₂ = 1 - √2 ★★★ C层：方程(x - 9)² = m + 3可用直接开平方法求解，求m的取值范围。 答案：m ≥ -3（由m + 3 ≥ 0得） 【配方法练习】 ★ A层：x² + 2x - 3 = 0 答案：配方得(x + 1)² = 4，x₁ = 1，x₂ = -3 ★★ B层：x² - 6x + 5 = 0 答案：配方得(x - 3)² = 4，x₁ = 5，x₂ = 1 ★★★ C层：x² - 6x - 1 = 0 答案：配方得(x - 3)² = 10，x₁ = 3 + √10，x₂ = 3 - √10 四、小灶课题目参考答案 题型一（配方正误辨析）：答案 B 题型二（一般形式推导）：答案 A 题型三（无实数根判断）：答案 C 题型四（代数式大小比较）：答案 A（M ≥ N）；变式：A ＜ B 题型五（接力游戏纠错）：答案 B（乙出错） 题型六（根的综合判断）：答案 D 学科网（北京）股份有限公司 $