2.2.1《一元二次方程的解法(第1课时 配方法与直接开平方法)》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2.2.1 一元二次方程的解法

（第1课时　配方法与直接开平方法）

教案　·　2026—2027学年　苏科版九年级数学上册

 

课　题	2.2.1 一元二次方程的解法（配方法与直接开平方法）	教材版本	苏科版九年级上册
授课年级	九年级	课　时	1课时（40分钟）
课　型	新授课	授课教师	——
教学方法	情境教学法、启发探究法、分层教学法、讲练结合法	备课时间	2026年9月
核心素养	数学运算、逻辑推理、数学抽象（化归与转化思想）

 

一、教学目标

1. 知识与技能目标（分层要求）

★ A层（基础）：理解直接开平方法的原理，能解形如x²=p（p≥0）的方程；掌握二次项系数为1的简单配方法。

★★ B层（提高）：能解形如(x+m)²=n（n≥0）的方程；掌握二次项系数不为1时的配方法，能规范完成配方全过程。

★★★ C层（拓展）：能灵活运用配方法解决代数式大小比较、根的情况判断等综合问题，体会配方法的应用价值。

2. 过程与方法目标

经历由平方根定义→直接开平方法→配方法的知识发生过程，体会"化未知为已知"的化归思想；通过"配方"实现降次，感受"降次"是解高次方程的基本策略，发展逻辑推理与运算能力。

3. 情感态度与价值观目标

在生活情境中体验数学与现实的联系，增强学习兴趣；在分层学习中人人获得成功体验，树立学习自信；培养严谨规范的解题习惯和检验意识。

二、教学重点与难点

教学重点

直接开平方法的适用条件与解题步骤；配方法解一元二次方程的一般步骤（尤其是"配方"这一关键环节）。

教学难点

（1）正确理解"配方"的本质——方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（2）二次项系数不为1时先化系数为1，以及对右边为负数时"方程无实数根"的理解与判断。

三、教学准备

多媒体课件、分层导学案、直尺；学生课前复习平方根的意义及完全平方公式。

四、教学过程（总时长：40分钟）

环节一　情境导入：智能手表的"面积之谜"（5分钟）

【教师活动】展示智能手表图片，提出问题串：

问题1：某款方形智能手表的屏幕面积是9平方厘米，它的边长是多少？（学生口答：3cm）

问题2：如果屏幕面积是8平方厘米呢？你能列出方程吗？

（引导学生设边长为x，列出方程：x² = 8）

问题3：如果手表边框宽度都是0.5厘米，屏幕有效显示区域面积是6.25平方厘米，那手表屏幕总边长是多少？

（引导列方程：(x - 1)² = 6.25）

【学生活动】观察思考、小组讨论，尝试列方程并思考解法。

【设计意图】用学生熟悉的智能手表创设情境，贴近九年级学生生活，激发兴趣。三个问题由浅入深，自然引出x²=p和(x+m)²=n两种基本形式，为新知探究做好铺垫。

环节二　探究新知（一）：直接开平方法（8分钟）

【探究活动1】x² = p 型方程

回顾平方根定义：若x² = a，则x叫做a的平方根，即x = ±√a（a≥0）。

回到情境问题x² = 8：根据平方根定义，x = ±√8 = ±2√2，即x₁ = 2√2，x₂ = -2√2。

方程右边p的取值	方程根的情况
p ＞ 0	有两个不相等的实数根：x = ±√p
p ＝ 0	有两个相等的实数根：x₁ = x₂ = 0
p ＜ 0	没有实数根（∵任何实数的平方都非负）

 

【探究活动2】(x + m)² = n 型方程

回到情境问题(x - 1)² = 6.25：把(x - 1)看成一个整体，设y = x - 1，则y² = 6.25。

∴ y = ±2.5，即x - 1 = ±2.5，∴ x₁ = 3.5，x₂ = -1.5（舍去负根）。

【归纳概念】利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程解的方法，叫做直接开平方法。

【核心思想】降次——将二次方程转化为一次方程求解（化归思想）。

环节三　例题精讲与分层练习（一）（7分钟）

【例1】（全体掌握）解下列方程：

（1）x² = 2　　　　（2）4x² - 1 = 0

解：（1）两边直接开平方，得 x = ±√2

∴ x₁ = √2，x₂ = -√2

（2）移项，得 4x² = 1

系数化为1，得 x² = 1/4

开平方，得 x = ±1/2