第8讲 2.2一元二次方程的解法（第1课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第8讲　2.1　一元二次方程的解法（第1课时） 【学习目标】 1. 回顾平方根的定义及性质，为学习直接开平方法做好知识准备。 1. 理解“降次”的数学思想，知道解一元二次方程的基本策略是将二次方程转化为一次方程。 1. 掌握直接开平方法，能解形如（）、（m≠0，）和（m≠p）的一元二次方程。 1. 能判断方程是否有实数根，理解时方程无实数根的原因。 【知识梳理】 一、平方根的意义 若（），则叫做的平方根，记作。 关键理解： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根（这是判断方程有无实数根的依据）。 例如： 的平方根是，记作； 的平方根是； 没有平方根。 二、直接开平方法 定义：利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。 适用形式： 形式 解法 备注 （） 两个互为相反数的根 （） 转化为两个一次方程求解 两边开平方，转化为两个一次方程 无实数根 负数没有平方根 核心思想——降次：解一元二次方程的基本策略是将其转化为两个一元一次方程。直接开平方法就是通过开平方实现“降次”。 三、用直接开平方法解方程的步骤 1. 将方程化为、（m≠0）或（m≠p）的形式； 1. 判断右边是否为非负数（或两边均为非负数）： 若为且，或且，则方程无实数根； 若为（m≠p），则两边均，可直接开方； 1. 开平方，得到一次方程； 1. 解一次方程，写出方程的解。 做一做（即时练习）： 1. 的平方根是______。 1. 若，则______。 1. 方程的解为______。 1. 方程______实数根（填“有”或“没有”），因为______。 1. 方程开平方后得到的两个一次方程为______和______。 【典例精讲】 【例1】（解型方程） 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 将方程化为的形式，再根据平方根的定义求解。注意必须为非负数。 【解答】 （1） 由平方根的定义，得 。 ∴ ，。 （2） 移项，得。 由平方根的定义，得 。 ∴ ，。 （3） 移项，得， 两边同除以，得。 由平方根的定义，得 。 ∴ ，。 【反思】 解型方程时，要先将方程化为的形式，再开平方。当时，方程有两个互为相反数的实数根；当时，方程有两个相等的实数根。 【例2】（解型方程） 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 将看作一个整体，先开平方转化为两个一次方程，再分别求解。 【解答】 （1） 由平方根的定义，得 。 即或。 解得，。 （2） 由平方根的定义，得 。 即或。 由，得，； 由，得，。 ∴ ，。 （3） 移项，得。 ∵ 右边，负数没有平方根， ∴ 原方程没有实数根。 【反思】 解型方程时，先判断的符号。若，开平方后得到两个一次方程；若，直接判断无实数根。 【例3】（解（m≠p）型方程） 解下列方程： （1）　　（2） 【分析】 方程两边都是完全平方式，两边开平方后得到两个一次方程，再分别求解。 【解答】 （1） 两边开平方，得 。 即或。 由，得，； 由，得，，，。 ∴ ，。 （2） 两边开平方，得 。 即或。 由，得，，； 由，得，，，。 ∴ ，。 【反思】 解型方程时，两边直接开平方，得到，再转化为两个一次方程求解。注意符号处理——右边开方后要带“”。 【跟踪练习1】 1. 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______。 1. 解下列方程： （1）　　（2） 【举一反三】 1. 方程的解为______。 1. 方程的解为______。 1. 方程的解为______。 1. 方程的解为______。 1. 方程的根的情况是______（填“有两个实数根” “有两个相等的实数根”或“没有实数根”）。 1. 若有实数根，则的取值范围为______。 1. 方程的解为______。 1. 用直接开平方法解方程时，得到的一次方程是______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 的平方根是______，的解为______。 1. 方程的解为______。 1. 方程______实数根（填“有”或“没有”），因为______。 1. 用直接开平方法解，得到的一次方程为______和______。 1. 方程开平方后得到的两个一次方程为______和______。 1. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 方程有两个相等的实数根。（　　） 1. 方程有实数根。（　　） 1. 直接开平方法适用于所有一元二次方程。（　　） 1. 方程的解为。（　　） 三、选择题。 1. 方程的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 方程的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 或　　D. 或 1. 方程的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列方程中，没有实数根的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）　　（2） 1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别是和，斜边为。若，，求的值。 ◆ C组·思维拓展 18. 已知，求的值。 19. 若、为常数，且方程的两个根分别为和，求、的值。 20. 已知是方程的一个根，求代数式的值。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 平方根 若（），则 负数没有平方根 直接开平方法 适用于、、 判断开方后右边的符号是关键 降次思想 二次方程两个一次方程 开平方实现降次 根的情况 ：两个不相等实根；：两个相等实根；：无实数根 由的符号决定 常见错误提醒 错误类型 正确理解 开平方时漏掉负根 表示算术平方根，而的解为，两个根 对负数开平方 负数没有平方根，时方程无实数根 “平方=平方”开方后只写一种情况 开方得，要写两个一次方程 开平方后不继续解一次方程 开方后得到，还要继续解出 学习建议 1. 解方程前先观察形式——只有形如、或（m≠p）的方程才能用直接开平方法。 1. 开平方时不要漏掉负根，牢记“”符号。 1. “平方=平方”型方程，两边开方后记得右边要带“”，得到两个一次方程分别求解。 1. 先判断右边是否为非负数，再开平方。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：（或） 1. 答案： 1. 答案：， 解析：，，，，。 1. 答案：没有；，负数没有平方根 1. 答案：； 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 解析：（2），。（3），，。 1. 答案：（1），；（2），；（3）没有实数根 解析：（1），或。（2），或，或。（3），无实数根。 1. 答案： 解析：有实数根，则。 1. 答案：（1），；（2）， 解析：（1），。得；得，，。 （2），。得，；得，，。 举一反三 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案： 1. 答案：没有实数根 1. 答案： 解析：有实数根，需，。 1. 答案：， 解析：，，，或。 1. 答案：； A组·基础过关 1. 答案：；， 1. 答案：， 1. 答案：没有；，负数没有平方根 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案：√ 1. 答案：×（，没有实数根） 1. 答案：×（只适用于特殊形式） 1. 答案：√ 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案： （1），，。 （2），，或。 （3），，或。 1. 答案： （1），。 得；得，，。 ∴ ，。 （2），。 得，；得，，。 ∴ ，。 1. 答案： 解析：由勾股定理，。又，，即，，，。 C组·思维拓展 1. 答案： 解析：，两边开平方得。 由，得，，； 由，得，，。 ∴ ，。 1. 答案：， 解析：方程的两个根为和，则与互为相反数，，，。。 1. 答案： 解析：，，或。若，；若，。两种情况下均为。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（4题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $