专题02 集合新定义3种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合新定义三大考法，构建“概念-运算-性质”三阶方法体系，通过信息提取、转化化归培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新概念题型|2例3变式|提取信息+元素互异性|从新元素定义到集合关系应用，强化抽象能力| |新运算题型|4例12变式|信息提取-加工-转化三步法|从运算规则构建到集合操作推理，培养逻辑思维| |新性质题型|3例7变式|元素属性分析+性质判定|从集合整体特性到数学模型构建，提升应用意识|

专题02 集合新定义3种常见考法归类 ▌题型01 集合的“新概念”题型 【例1-1】【答案】15 【例1-2】【答案】27 【变式1-1】【答案】BCD 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】 ▌题型02 集合的“新运算”题型 【例2-1】【答案】C 【例2-2】【答案】 【例2-3】【答案】C 【例2-4】【答案】B 【变式2-1】【答案】C 【变式2-2】【答案】ABD 【变式2-3】【答案】B 【变式2-4】【答案】B 【变式2-5】【答案】010101 【变式2-6】【答案】ABD 【变式2-7】【答案】BCD 【变式2-8】【答案】BCD 【变式2-9】【答案】D 【变式2-10】【答案】C 【变式2-11】【答案】B 【变式2-12】【答案】D ▌题型03 集合的“新性质”题型 【例3-1】【答案】ABD 【例3-2】【答案】C 【例3-3】【答案】D 【变式3-1】【答案】C 【变式3-2】【答案】A 【变式3-3】【答案】C 【变式3-4】【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）略 （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 【变式3-5】【答案】D 【变式3-6】【答案】(1)或或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【变式3-7】【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合新定义3种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01 集合的“新概念”题型 题型02 集合的“新运算”题型 题型03 集合的“新性质”题型 ▌题型01 集合的“新概念”题型 集合的“新元素”题型 集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决. 【例1-1】（2026高一·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 【例1-2】（2026高一·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【答案】27 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 【变式1-1】（2026高一上·全国·专题练习）（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 【变式1-2】（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 【变式1-3】对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．若，求； 【答案】 【分析】根据题干中给出的新定义可知，集合表示两集合的并集元素去掉两集合的交集元素，由此得到新集合； 【详解】因为， 故； ▌题型02 集合的“新运算”题型 集合的“新运算”题型 集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点. 【例2-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 【例2-2】（2026高一·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【分析】由集合新定义结合交集的运算可得. 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 【例2-3】（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合真子集的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 【例2-4】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 【变式2-1】（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 【变式2-2】【多选】（2026高一·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 【变式2-3】（2026高三·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合的元素，根据Venn图求，进而求得子集个数. 【详解】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 【变式2-4】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 【变式2-5】（2026高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 【变式2-6】【多选】（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 【变式2-7】【多选】（2026高一·四川内江·阶段检测）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 【变式2-8】【多选】（2026高一·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【详解】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 【变式2-9】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 【变式2-10】（25-26高一上·吉林·阶段检测）定义集合间的运算，若，，则的非空真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据集合，确定，的可能取值，利用集合新定义得出集合中的元素，求其非空真子集个数即可. 【详解】对于， 由于，，所以，至少有一个为0，故，. 对于，由于，， 若有一方为，则另一方必定为0，故此时必有，； 若二者均不为0，则必有二者分别均为1或，此时，， 故中共有三个元素，，，的非空真子集的个数为. 故选：C. 【变式2-11】（2026高一·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【分析】根据两集合中数的性质可知集合，没有公共元素，再由集合间的运算法则逐一分析选项即可求得结果. 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 【变式2-12】（2026高一·浙江·期中）定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则的值可能为4 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设，可得，根据条件，分析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设，根据条件，计算可得的最大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可得，，即可判断C的正误；举例时，计算可得，，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，只有一个元素，则集合A中只有2个元素， 所以设，则， 因为， 不妨设，则，所以， 所以，解得， 同理，若，则，所以，解得， 综上，故A正确； 选项B：由题意，设， 所以中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相同时）， 此时 当与没有共同元素时， ， 当与有部分重复元素时，， 例如时， ，， 此时，则， 所以的值可能为4，故B正确； 选项C：，当A与B没有交集时取等号， 因为a有种取法，b有种取法， 所以， 因为， 所以，故C正确； 选项D：当时，， ， 所以，则，， 所以， 此时，故D错误. 故选：D ▌题型03 集合的“新性质”题型 集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。 【例3-1】（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 【例3-2】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：C 【例3-3】（2026高一·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 【变式3-1】（2026高一·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 【变式3-2】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【变式3-3】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 【变式3-4】（2026高一·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）略 （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 【变式3-5】（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据集合的新定义分别判断各个小题. 【详解】 ①中由于，故①不是集合上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 【变式3-6】（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【变式3-7】（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合新定义3种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01 集合的“新概念”题型 题型02 集合的“新运算”题型 题型03 集合的“新性质”题型 ▌题型01 集合的“新概念”题型 集合的“新元素”题型 集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决. 【例1-1】（2026高一·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【例1-2】（2026高一·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【变式1-1】（2026高一上·全国·专题练习）（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．若，求； ▌题型02 集合的“新运算”题型 集合的“新运算”题型 集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点. 【例2-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2026高一·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则_____. 【例2-3】（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【例2-4】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式2-1】（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】【多选】（2026高一·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高三·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-4】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2026高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【变式2-6】【多选】（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式2-7】【多选】（2026高一·四川内江·阶段检测）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【变式2-8】【多选】（2026高一·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式2-9】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式2-10】（25-26高一上·吉林·阶段检测）定义集合间的运算，若，，则的非空真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式2-11】（2026高一·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【变式2-12】（2026高一·浙江·期中）定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则的值可能为4 C． D． ▌题型03 集合的“新性质”题型 集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。 【例3-1】（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【例3-2】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【例3-3】（2026高一·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【变式3-1】（2026高一·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【变式3-3】（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【变式3-4】（2026高一·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【变式3-5】（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【变式3-6】（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【变式3-7】（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $