专题01 集合中的参数问题9种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合参数问题9类考法，以题型为纲提炼解题步骤与技巧，构建从概念到运算的递进式训练体系，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|1例+3变式|分类讨论+互异性检验|基于元素确定性→互异性的应用| |元素个数|1例+3变式|二次项系数讨论+判别式|从集合特性到方程根的个数分析| |包含关系|1例+3变式|子集转化+空集优先|集合间关系→不等式(组)求解| |集合相等|1例+3变式|元素对应+互异性验证|集合相等定义→元素全同关系| |交集结果|1例+3变式|交集定义分类+方程联立|集合运算→公共元素参数求解| |并集结果|1例+3变式|并集等价转化+范围覆盖|并集性质→子集与区间覆盖| |补集结果|1例+3变式|补集等式+韦达定理|全集概念→补集元素关系| |交并补混合|1例+3变式|运算优先级+德摩根定律|复合运算→基础关系转化| |韦恩图|1例+3变式|区域翻译+空集讨论|图形语言→集合关系数学表达|

专题01 集合中的参数问题9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 根据元素与集合的关系求参数 题型 02 根据集合中元素的个数求参数 题型 03 根据集合的包含关系求参数 题型 04 根据两个集合相等求参数 题型 05 根据集合交集的结果求参数 题型 06 根据集合并集的结果求参数 题型 07 根据集合补集的结果求参数 题型 08 根据交并补混合运算求参数 题型 09 结合韦恩图求参数 ▌题型01 根据元素与集合的关系求参数 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【例1】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式1-2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． ▌题型02 根据集合中元素的个数求参数 解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 【变式2-1】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 【变式2-2】（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 【变式2-3】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. ▌题型03 根据集合的包含关系求参数 ①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 【例3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 【变式3-1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由子集的定义分类讨论参数的取值，并通过集合的互异性进行验证，最后由补集的运算求解即可. 【详解】由题意得或， 当时，，此时集合不满足互异性，舍去， 当时，，此时，满足题意， 则. 【变式3-2】（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 解不等式，即得，即. ∵ 集合，且， ∴ 集合中的所有元素都属于集合，故， 即实数的取值范围是. 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. ▌题型04 根据两个集合相等求参 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 【例4】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 【变式4-1】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. ▌题型05 根据集合交集的结果求参数 1.交集定义： 是同时属于A、B的公共元素； 2.情况分类 ① ：k是A、B公共唯一元素，将k同时代入两个集合方程，联立求参数，再检验无其他公共根； ② ：A、B无公共元素，分 、、A、B均非空三类讨论； 3.方程交集 联立两集合对应方程，方程组无解则交集为空；仅有一组解则交集为单元素； 4.区间交集为空：区间无重叠，列“左区间右端点≤右区间左端点”不等式。 【例5】（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 【变式5-2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 【变式5-3】（25-26高二下·河北·期末）已知集合，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，， 若，则. ▌题型06 根据集合并集的结果求参数 1.核心等价转化 ；； 并集等于其中一个集合，直接转化为子集问题； 2.并集为全体范围 ：两个区间合起来覆盖全体实数，列端点不等式； 3.检验要求 求出参数后代回集合，保证元素不重复、并集范围符合题干。 【例6】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 【变式6-1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 【变式6-2】已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. ▌题型07 根据集合补集的结果求参数 1.补集核心等式 ① ；② ； 全集U去掉A中所有元素，剩余元素构成 ； 2.两类解法 ① 列举型全集：全集元素剔除A的元素，对比补集集合，列等式求参数； ② 方程型全集：A与补集集合的元素是全集全部根，用韦达定理（根与系数关系）快速求参数； 3.易错点 混淆全集范围，漏掉全集内边界元素。 【例7】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 【变式7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 【变式7-2】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据补集得出或，再代入检验得出参数. 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. ▌题型08 根据交并补混合运算求参数 1.运算优先级：先算补集，再算交、并； 2.常用转化公式 （德摩根定律） 3.解题流程 ① 先化简所有集合（解方程、解不等式）； ② 按运算顺序算出混合表达式对应的集合条件； ③ 转化为子集/交集为空/相等问题，复用前面题型解法； 4.关键思路 混合运算最终都会转化为基础关系（包含、交集、并集），拆解分步计算。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式8-1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． ▌题型09 结合韦恩图求参数 ① 看图翻译集合关系式； ② 根据“区域非空”列条件：交集区域≠∅、单独区域≠∅； ③ 分空集、非空集讨论，列不等式/方程求参数； 3.核心条件 题干说明多个区域均不为空时，必须同时满足：交集非空、互不包含、单独区域有元素。 【例9】（23-24高一上·北京·阶段检测）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是__________.    【答案】 【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解. 【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系， 故或，即无解或. 综上有. 故答案为： 【变式9-1】（2022·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得集合，结合韦恩图得到是的真子集，即可求解. 【详解】由题意，集合，且， 根据给定的韦恩图，可得是的真子集， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 【变式9-3】（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中的参数问题9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 根据元素与集合的关系求参数 题型 02 根据集合中元素的个数求参数 题型 03 根据集合的包含关系求参数 题型 04 根据两个集合相等求参数 题型 05 根据集合交集的结果求参数 题型 06 根据集合并集的结果求参数 题型 07 根据集合补集的结果求参数 题型 08 根据交并补混合运算求参数 题型 09 结合韦恩图求参数 ▌题型01 根据元素与集合的关系求参数 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【例1】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【变式1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1-2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． ▌题型02 根据集合中元素的个数求参数 解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【变式2-1】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式2-2】（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌题型03 根据集合的包含关系求参数 ①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 【例3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【变式3-1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 根据两个集合相等求参 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 【例4】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【变式4-1】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． ▌题型05 根据集合交集的结果求参数 1.交集定义： 是同时属于A、B的公共元素； 2.情况分类 ① ：k是A、B公共唯一元素，将k同时代入两个集合方程，联立求参数，再检验无其他公共根； ② ：A、B无公共元素，分 、、A、B均非空三类讨论； 3.方程交集 联立两集合对应方程，方程组无解则交集为空；仅有一组解则交集为单元素； 4.区间交集为空：区间无重叠，列“左区间右端点≤右区间左端点”不等式。 【例5】（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【变式5-2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【变式5-3】（25-26高二下·河北·期末）已知集合，，若，则实数（     ） A． B． C． D． ▌题型06 根据集合并集的结果求参数 1.核心等价转化 ；； 并集等于其中一个集合，直接转化为子集问题； 2.并集为全体范围 ：两个区间合起来覆盖全体实数，列端点不等式； 3.检验要求 求出参数后代回集合，保证元素不重复、并集范围符合题干。 【例6】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【变式6-2】已知集合，.若，求m的取值范围. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． ▌题型07 根据集合补集的结果求参数 1.补集核心等式 ① ；② ； 全集U去掉A中所有元素，剩余元素构成 ； 2.两类解法 ① 列举型全集：全集元素剔除A的元素，对比补集集合，列等式求参数； ② 方程型全集：A与补集集合的元素是全集全部根，用韦达定理（根与系数关系）快速求参数； 3.易错点 混淆全集范围，漏掉全集内边界元素。 【例7】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【变式7-3】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， ▌题型08 根据交并补混合运算求参数 1.运算优先级：先算补集，再算交、并； 2.常用转化公式 （德摩根定律） 3.解题流程 ① 先化简所有集合（解方程、解不等式）； ② 按运算顺序算出混合表达式对应的集合条件； ③ 转化为子集/交集为空/相等问题，复用前面题型解法； 4.关键思路 混合运算最终都会转化为基础关系（包含、交集、并集），拆解分步计算。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【变式8-1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【变式8-3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． ▌题型09 结合韦恩图求参数 ① 看图翻译集合关系式； ② 根据“区域非空”列条件：交集区域≠∅、单独区域≠∅； ③ 分空集、非空集讨论，列不等式/方程求参数； 3.核心条件 题干说明多个区域均不为空时，必须同时满足：交集非空、互不包含、单独区域有元素。 【例9】（23-24高一上·北京·阶段检测）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是__________.    【变式9-1】（2022·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【变式9-3】（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中的参数问题9种常见考法归类 ▌题型01 根据元素与集合的关系求参数 【例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 根据集合中元素的个数求参数 【例2】【答案】0或1 【变式2-1】【答案】C 【变式2-2】【答案】ABD 【变式2-3】【答案】B ▌题型03 根据集合的包含关系求参数 【例3】【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【变式3-1】【答案】C 【变式3-2】【答案】D 【变式3-3】【答案】A ▌题型04 根据两个集合相等求参 【例4】【答案】A 【变式4-1】【答案】C 【变式4-2】【答案】C 【变式4-3】【答案】0 ▌题型05 根据集合交集的结果求参数 【例5】【答案】AB 【变式5-1】【答案】或 【变式5-2】【答案】 【变式5-3】【答案】C ▌题型06 根据集合并集的结果求参数 【例6】【答案】D 【变式6-1】【答案】B 【变式6-2】已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. ▌题型07 根据集合补集的结果求参数 【例7】【答案】B 【变式7-1】【答案】B 【变式7-2】【答案】D 【变式7-3】【答案】7 ▌题型08 根据交并补混合运算求参数 【例8】【答案】 【变式8-1】【答案】 【变式8-2】【答案】 【变式8-3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． ▌题型09 结合韦恩图求参数 ① 看图翻译集合关系式； ② 根据“区域非空”列条件：交集区域≠∅、单独区域≠∅； ③ 分空集、非空集讨论，列不等式/方程求参数； 3.核心条件 题干说明多个区域均不为空时，必须同时满足：交集非空、互不包含、单独区域有元素。 【例9】【答案】 【变式9-1】【答案】C 【变式9-2】（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 【变式9-3】（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $