1.1.1&1.1.2 集合及其表示方法（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以分层递进设计为特色，A组夯实集合基础概念与表示方法，B组强化综合应用与推理能力，C组拓展抽象思维与创新探究，形成从具体到抽象的知识巩固路径，适配新授课"基础+提升"教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|集合元素确定性、列举法/描述法表示、区间、元素与集合关系等单一知识点|通过辨析题（如判断集合构成）培养抽象能力，基础题型对应核心考点| |B组能力进阶|元素互异性、集合相等求参数、元素个数求参数等综合应用|以解答题（如集合元素个数求参数范围）提升推理能力，融合多知识点| |C组思维拔高|数集性质、开放探究问题（如方程解集分析）|用开放题（如数集性质证明）发展创新意识，体现数学思维的严谨性|

分层作业 1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 目 录 A组巩固过关 题型01集合中元素的确定性 题型02用列举法表示集合 题型03用描述法表示集合 题型04区间 题型05元素与集合的关系 题型06集合中元素的互异性 题型07根据集合相等求参数 题型08根据元素中的元素个数求参数 B组能力进阶 C组思维拔高 ( 题型0 1 )集合中元素的确定性 1．下列元素所组成的总体，能表示集合的是（    ） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 2．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 3．下列各组对象能组成集合的是（    ） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 4．下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ ( 题型0 2 )用列举法表示集合 5．用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 7．用列举法表示方程的解集为_______． 8．用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． ( 题型0 3 )用描述法表示集合 9．用描述法表示集合，可表示为_______. 10．设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 11．用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 12．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. ( 题型0 4 )区间 13．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 14．若为一确定区间，则a的取值范围是________． 16．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). ( 题型0 5 )元素与集合的关系 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 18．设集合，则（   ） A． B． C． D． 19．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．若集合，则（    ） A． B． C． D． 21．用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． ( 题型0 6 )集合中元素的互异性 22．若，则___________. 23．若，的值为__________. 24．集合中，实数的取值范围为______. 25．已知集合，，若，则实数__________. ( 题型0 7 )根据集合相等求参数 26．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 27．已知集合与相等，则实数__________． 28．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 29．设，集合，若，则__________. ( 题型0 8 )根据元素中的元素个数求参数 30．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 32．已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 33．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 二、多选题 6．下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 7．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 三、填空题 8．已知集合，则用列举法表示集合________. 9．已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 10．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 四、解答题 11．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 12．已知集合，求证： (1)； (2)偶数不属于. 13．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 1．关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 2．给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数是___________． 3．给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 4．对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 5．已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 目 录 A组巩固过关 题型01集合中元素的确定性 题型02用列举法表示集合 题型03用描述法表示集合 题型04区间 题型05元素与集合的关系 题型06集合中元素的互异性 题型07根据集合相等求参数 题型08根据元素中的元素个数求参数 B组能力进阶 C组思维拔高 ( 题型0 1 )集合中元素的确定性 1．下列元素所组成的总体，能表示集合的是（    ） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 【答案】C 【详解】对于A， 高一年级打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，A不能表示集合； 对于B，高一年级比较难的学科，对某些人是难，对另外一些人不难， 因此高一年级比较难的学科标准不明确，对象不确定，高一年级比较难的学科不能形成集合，B不能表示集合； 对于C，高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C能表示集合； 对于D，高一年级写字好的学生，对象不确定，高一年级写字好的学生不能形成集合，D不能表示集合； 故选：C 2．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 3．下列各组对象能组成集合的是（    ） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【详解】由元素的确定性可知：集合中元素是明确的， 故①④不满足要求； ②所有的平行四边形可以明确定义，即：两组对边分别平行的四边形； ③所有不小于3的正整数也可以明确定义.故②③能组成集合. 故答案为：C. 4．下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. ( 题型0 2 )用列举法表示集合 5．用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 6．集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 故选：B 7．用列举法表示方程的解集为_______． 【答案】 【详解】由方程，即，解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： ( 题型0 3 )用描述法表示集合 9．用描述法表示集合，可表示为_______. 【答案】是的倍数且 【详解】用描述法表示集合，可以为：是的倍数且. 故答案为：是的倍数且（答案不唯一） 10．设P表示平面内的动点，则集合（O是定点）中的点组成的图形为______． 【答案】圆 【详解】集合表示到定点的距离等于的点组成的图形，由圆的定义可知图形为圆． 故答案为：圆. 11．用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】易知第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号， 且集合表示的是点的集合，所以可知. 故答案为： 12．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ( 题型0 4 )区间 13．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 14．若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 15．（1.1集合初步）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 16．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1) 用区间表示为，用数轴表示如图：    (2) 或用区间表示为，用数轴表示如图：    (3) 且用区间表示为，用数轴表示如图:    (4) 用区间表示为，用数轴表示如图：    【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ( 题型0 5 )元素与集合的关系 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 18．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 19．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 20．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 21．用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． 【答案】 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. ( 题型0 6 )集合中元素的互异性 22．若，则___________. 【答案】 【详解】因为，所以，或. 当时，，，所以不合题意； 当时，. 当时，集合，符合题意，不合题意. 故答案为:. 23．若，的值为__________. 【答案】2 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 24．集合中，实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】根据集合的互异性可知，，解得. 25．已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. ( 题型0 7 )根据集合相等求参数 26．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以或， 则或或， 当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 所以，所以， 故选：C 27．已知集合与相等，则实数__________． 【答案】2 【详解】因为集合与相等，则，解得． 故答案为：2. 28．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 29．设，集合，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. ( 题型0 8 )根据元素中的元素个数求参数 30．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 31．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 32．已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 33．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 2．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 3．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 5．如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 二、多选题 6．下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 7．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 三、填空题 8．已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 9．已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 【答案】 【详解】若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. 故答案为： 10．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 四、解答题 11．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 12．已知集合，求证： (1)； (2)偶数不属于. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，，， 当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数； 当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数. 显然都不满足， 所以. 13．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 1．关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 2．给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数是___________． 【答案】18，20，24，24，30或19，21，21，25，31． 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素，说明必有两个数相等， 使得这两个数对应的和是相同的. 因为，由于其中一个和被重复计算了一次， 所以. 因为必须是整数，所以必须能被4整除. 因为，余数为0，所以也必须能被4整除. 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况： 情况一，92重复.，解得. 此时五个数分别为． 即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复.，解得. 此时五个数分别为. 即这5个数为19，21，21，25，31，两组解均满足题意． 3．给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 【答案】3 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 4．对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 5．已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 【答案】(1)存在 (2)不一定存在，证明见解析 【分析】 【详解】（1）设， 令，，则. 故若，则存在，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 参考答案 ( 题型0 1 )集合中元素的确定性 1．【答案】C 【详解】对于A， 高一年级打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，A不能表示集合； 对于B，高一年级比较难的学科，对某些人是难，对另外一些人不难， 因此高一年级比较难的学科标准不明确，对象不确定，高一年级比较难的学科不能形成集合，B不能表示集合； 对于C，高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C能表示集合； 对于D，高一年级写字好的学生，对象不确定，高一年级写字好的学生不能形成集合，D不能表示集合； 故选：C 2．【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 3．【答案】C 【详解】由元素的确定性可知：集合中元素是明确的， 故①④不满足要求； ②所有的平行四边形可以明确定义，即：两组对边分别平行的四边形； ③所有不小于3的正整数也可以明确定义.故②③能组成集合. 故答案为：C. 4．【答案】B 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. ( 题型0 2 )用列举法表示集合 5．【答案】A 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 6．【答案】B 【详解】由 故选：B 7．【答案】 【详解】由方程，即，解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 8．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： ( 题型0 3 )用描述法表示集合 9．【答案】是的倍数且 【详解】用描述法表示集合，可以为：是的倍数且. 故答案为：是的倍数且（答案不唯一） 10．【答案】圆 【详解】集合表示到定点的距离等于的点组成的图形，由圆的定义可知图形为圆． 故答案为：圆. 11．【答案】（答案不唯一） 【详解】易知第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号， 且集合表示的是点的集合，所以可知. 故答案为： 12．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ( 题型0 4 )区间 13．【答案】D 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 14．【答案】 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 15．（1.1集合初步）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 16．【答案】(1) 用区间表示为，用数轴表示如图：    (2) 或用区间表示为，用数轴表示如图：    (3) 且用区间表示为，用数轴表示如图:    (4) 用区间表示为，用数轴表示如图：    【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ( 题型0 5 )元素与集合的关系 17．【答案】B 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 18．【答案】B 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 19．【答案】B 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 20．【答案】D 【详解】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 21．【答案】 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. ( 题型0 6 )集合中元素的互异性 22．【答案】 【详解】因为，所以，或. 当时，，，所以不合题意； 当时，. 当时，集合，符合题意，不合题意. 故答案为:. 23．【答案】2 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 24．【答案】 【详解】根据集合的互异性可知，，解得. 25．【答案】 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. ( 题型0 7 )根据集合相等求参数 26．【答案】C 【详解】因为，所以或， 则或或， 当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 所以，所以， 故选：C 27．【答案】2 【详解】因为集合与相等，则，解得． 故答案为：2. 28．【答案】 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 29．【答案】 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. ( 题型0 8 )根据元素中的元素个数求参数 30．【答案】B 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 31．【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 32．【答案】 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 33．【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 1．【答案】B 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 2．【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 3．【答案】A 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 4．【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 5．【答案】B 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 6．【答案】BC 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 7．【答案】CD 【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 8．【答案】 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 9．【答案】 【详解】若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. 故答案为： 10．【答案】0或1或2 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 11．【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 12．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，，， 当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数； 当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数. 显然都不满足， 所以. 13．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 1．【答案】C 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 2．【答案】18，20，24，24，30或19，21，21，25，31． 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素，说明必有两个数相等， 使得这两个数对应的和是相同的. 因为，由于其中一个和被重复计算了一次， 所以. 因为必须是整数，所以必须能被4整除. 因为，余数为0，所以也必须能被4整除. 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况： 情况一，92重复.，解得. 此时五个数分别为． 即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复.，解得. 此时五个数分别为. 即这5个数为19，21，21，25，31，两组解均满足题意． 3．【答案】3 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 4．【答案】(1); (2)46 【分析】 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 5．【答案】(1)存在 (2)不一定存在，证明见解析 【分析】 【详解】（1）设， 令，，则. 故若，则存在，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $