专题03 集合19种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合19种考法为纲，构建“概念-关系-运算-创新”四层逻辑体系，提炼“口诀化步骤+易错点警示”解题方法，培养数学抽象与逻辑推理能力，实现从基础到综合的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-7（7类）|确定性判断口诀、元素互异性检验流程、集合表示法区分技巧|从集合定义（确定性）到元素特性（互异性）再到表示方法（列举/描述），形成概念认知链| |集合关系|题型8-12（5类）|子集个数公式、空集优先讨论原则、集合相等元素对应法|由子集/真子集判定到空集应用，再到集合相等，构建关系判断逻辑| |集合运算|题型13-18（6类）|交并补数轴法、韦恩图区域翻译、容斥原理公式|从基本运算（交并补）到综合运算，结合韦恩图与容斥原理，形成运算求解体系| |创新应用|题型19（1类）|新定义严格翻译法、特例验证技巧|基于集合核心概念，拓展至新情境问题，培养数学建模与创新意识|

专题03 集合19种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 判断对象是否能构成集合 题型 02 判断元素与集合的关系 题型 03 根据元素与集合的关系求参数 题型 04 判断集合中的元素个数 题型 05 根据集合中元素的个数求参数 题型 06 集合元素互异性的应用 题型 07 集合的表示 题型 08 集合间基本关系的判定 题型 09 空集及其应用 题型 10 （真）子集的列举与个数的计算 题型 11 根据子集、真子集的个数求参数 题型 12 集合相等及其应用 题型 13 集合的并集、交集运算 题型 14 补集的运算 题型 15 交、并、补的综合运算 题型 16 根据集合的运算结果求参数 题型 17 韦恩图及其应用 题型 18 容斥原理 题型 19 集合的新定义问题 ▌题型01 判断对象是否能构成集合 1.核心标准：确定性，给定一堆对象，任意一个对象必须能明确判断“属于/不属于”，模糊描述不能构成集合。 2.不能构成集合的关键词：好看、优秀、很高、大概、好人、难题（主观、无统一标准）。 3.能构成集合关键词：全班男生、大于5的整数、直角三角形（客观、标准清晰）。 4.快速判断口诀：说不清、定不了，就不是集合。 【例1】【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【变式1-1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-2】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生B．数值很大的正数C．的近似小数 D．平方等于的实数 【变式1-3】给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ ▌题型02 判断元素与集合的关系 1.两个符号：（属于，元素在集合里）、（不属于，元素不在集合里），只能元素在前，集合在后，不能写反。 2.分清数集符号： (1)：自然数（0,1,2…）； (2)/：正整数； (3)：整数； (4)：有理数； (5)：实数。 3.做题步骤：先化简元素，再对比集合内元素，匹配就写 ，不匹配写 。 【例2】（2026高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高二·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【变式2-3】已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 根据元素与集合的关系求参数 1.把参数代入集合等式，解出参数所有候选值。 2.必做检验：带回集合，用元素互异性筛掉重复元素的解。 3.注意隐藏限制：分式分母 、根号内 ，参数不能让式子无意义。 【例3】（2026高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【变式3-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． ▌题型04 判断集合中的元素个数 1.第一步化简集合，列举出全部元素。 2.关键规则：集合元素具有互异性，重复元素只算1次。 3.两类常考形式： ① 列举法：直接数，重复删掉再计数； ② 描述法：限定范围逐个找出符合条件的数再统计。 【例4】（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【变式4-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】（2026高一·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】（2026高一·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 ▌题型05 根据集合中元素的个数求参数 1.集合元素个数由方程解的个数决定，分情况讨论： (1)一次方程：永远1个解； (2)二次方程：判别式 两个元素， 一个元素， 空集。 2.算出参数后验证互异性，避免出现相同元素。 3.看清题目要求：元素个数为0/1/2，对应分类列式。 【例5】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【变式5-1】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【变式5-3】（2026高一·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． ▌题型06 集合元素互异性的应用 1.互异性定义：同一个集合里，任意两个元素不能相等。 2.所有求参数题目最后必检验！ 3.常见坑：算出参数后，集合出现两个相同数字，这个参数直接舍去。 4.做题流程：解方程得参数 代入集合 检查有无重复 保留合格解。 【例6】（2026高一·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【变式6-2】（2026高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【变式6-3】（2026高三·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．    ▌题型07 集合的表示 1.三种表示方法区分： ① 列举法：，元素少、有限集用； ② 描述法：，竖线前是代表元，后面是限制条件； ③ 图示法：韦恩图，多用于综合运算。 2.描述法易错点：看清代表元是 、（点集），点集不能当成数集计算。 例： 是数集； 是抛物线上点。 【例7】用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【变式7-1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式7-2】（2026高一·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【变式7-3】（2026高一·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. ▌题型08 集合间基本关系的判定 1.符号区分： (1)：A是B子集，A所有元素都在B里，允许 ； (2)：A是B真子集，A元素全在B，且B有A没有的元素。 2.判断步骤：先化简两个集合，对比元素范围； 范围完全相同 相等；A范围全部落在B内部 子集；范围一样且B更大 真子集。 3.空集是任意集合的子集。 【例8】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【变式8-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高一·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． ▌题型09 空集及其应用 1.空集符号 ，不含任何元素； 不是空集，里面有元素0。 2.两大核心性质： ① （任意集合都包含空集）； ② （A非空时，空集是真子集）。 3.求参数高频坑：题目说 ，一定要先讨论A为空集的情况，极易漏解。 4.什么时候是空集：一元二次方程无解、不等式无解、分式无符合条件的数。 【例9】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【变式9-2】（2026高一·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-3】（2026高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. ▌题型10 （真）子集的列举与个数的计算 1.公式：若集合有 个元素 (1)总子集个数：； (2)真子集个数：； (3)非空真子集：。 2.列举子集技巧：按元素个数从小到大列，先空集，再单元素、双元素…避免漏写。 3.易错提醒：空集、集合本身都是子集；真子集不包含集合自身。 【例10】（2026高二·宁夏吴忠·期末）满足条件的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式10-1】（2026高二·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【变式10-3】（2026高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. ▌题型11 根据子集、真子集的个数求参数 1.反向套用个数公式：给出子集数量，转化为 ，求出集合元素个数 。 例：有4个子集，，集合有2个元素。 2.根据元素个数列方程求参数，最后检验互异性。 3.注意：含参数集合可能是空集，空集只有1个子集。 【例11】（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式11-1】（2026高三·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，若有2个子集，则不可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式11-2】（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则___________. 【变式11-3】（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. ▌题型12 集合相等及其应用 1.判定依据：两个集合互相包含 且 ，则 ；有限集合元素完全相同即相等。 2.做题思路：集合元素一一对应相等，列出方程组求参数。 3.必做步骤：解完参数代入集合，检查互异性，舍去产生重复元素的解。 【例12】（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【变式12-1】（2026高二·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【变式12-2】（2026高三·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． ▌题型13 集合的并集、交集运算 1.交集 ：取两个集合公共元素，“找重叠”； 2.并集 ：把两个集合所有元素放一起，重复只留一个，“全部合并”； 3.计算步骤：先化简两个集合，再找公共部分/合并全部元素； 4.口诀：交取公共，并取全部。 【例13】（2026高二·四川德阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026高二·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026高二·吉林松原·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型14 补集的运算 1.全集 ：题目给定的讨论范围； 2.补集 ：全集中去掉A里面的元素，剩下所有元素； 3.易错点：看清全集范围，全集不同，同一个集合的补集结果不一样； 4.数轴辅助：数集求补集画数轴，去掉A区间，剩余区间就是补集。 【例14】（2026高二·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026高二·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【变式14-2】（2026高一·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． ▌题型15 交、并、补的综合运算 1.两种解题工具： ① 数集：画数轴，标清全集、集合区间，分段判断； ② 有限集合：列举全部元素分步计算。 2.常用公式：；。 【例15】（2026高二·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 【变式15-1】（2026高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2026高二·河南南阳·期末）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2026高二·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型16 根据集合的运算结果求参数 1.常见条件翻译： (1)：无公共元素； (2)：； (3)：。 2.分类讨论第一优先级：含参数集合可能为空集，先算空集情况。 3.求出参数后代回集合验算，保证运算结果符合题干。 【例16】【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式16-1】（2026高二·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【变式16-2】（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式16-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ ▌题型17 韦恩图及其应用 1.识别韦恩图各区域含义 两个圆韦恩图分为三部分：只属于、只属于、与公共交集；全集方框内除去两个圆的部分是补集区域。 2.图形转集合表达式步骤 第一步，观察阴影覆盖的区域，区分是单独一块、重叠区域还是全集空白区域； 第二步，用交、并、补符号写出对应集合运算； 只不：；只不：；两圆重叠：；全集除去两圆：。 3.已知集合求阴影元素 第一步，先计算对应交并补集合； 第二步，筛选出符合阴影区域条件的元素，整理结果。 【例17】（2026高二·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（2026高二·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【变式17-2】（2026高二·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【变式17-3】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． ▌题型18 容斥原理 1.牢记核心公式 两个有限集合：； 三个有限集合： 2.解题分步流程 第一步，定义集合，明确每个集合代表的事物，标注每个集合元素数量、两两交集数量、三者交集数量； 第二步，绘制三圆/两圆韦恩图，把已知数字填入对应区域，未知量设为字母； 第三步，代入容斥公式列一元一次方程，求解未知人数； 第四步，结合题干总人数，加上不参与任何集合的元素数量，算出全部总数。 3.结果校验 计算出的人数不能为负数，不符合实际的解直接舍去。 【例18】（2026高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【变式18-1】（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式18-2】（2026高一·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【变式18-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． ▌题型19 集合的新定义问题 1.核心思路：严格照抄题目定义，不凭自己固有知识脑补； 2.做题步骤： ① 读懂新运算/新集合规则，圈出关键计算方式； ② 代入题目给出的集合，按定义一步步计算； ③ 算出结果后再核对一遍定义，防止理解偏差； 3.技巧：先用小数字举例，弄懂新规则，再做正式题目。 【例19】【多选】（2026高二·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【变式19-1】（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式19-2】（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合19种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 判断对象是否能构成集合 题型 02 判断元素与集合的关系 题型 03 根据元素与集合的关系求参数 题型 04 判断集合中的元素个数 题型 05 根据集合中元素的个数求参数 题型 06 集合元素互异性的应用 题型 07 集合的表示 题型 08 集合间基本关系的判定 题型 09 空集及其应用 题型 10 （真）子集的列举与个数的计算 题型 11 根据子集、真子集的个数求参数 题型 12 集合相等及其应用 题型 13 集合的并集、交集运算 题型 14 补集的运算 题型 15 交、并、补的综合运算 题型 16 根据集合的运算结果求参数 题型 17 韦恩图及其应用 题型 18 容斥原理 题型 19 集合的新定义问题 ▌题型01 判断对象是否能构成集合 1.核心标准：确定性，给定一堆对象，任意一个对象必须能明确判断“属于/不属于”，模糊描述不能构成集合。 2.不能构成集合的关键词：好看、优秀、很高、大概、好人、难题（主观、无统一标准）。 3.能构成集合关键词：全班男生、大于5的整数、直角三角形（客观、标准清晰）。 4.快速判断口诀：说不清、定不了，就不是集合。 【例1】【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 【变式1-1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【变式1-2】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生B．数值很大的正数C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【变式1-3】给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. ▌题型02 判断元素与集合的关系 1.两个符号：（属于，元素在集合里）、（不属于，元素不在集合里），只能元素在前，集合在后，不能写反。 2.分清数集符号： (1)：自然数（0,1,2…）； (2)/：正整数； (3)：整数； (4)：有理数； (5)：实数。 3.做题步骤：先化简元素，再对比集合内元素，匹配就写 ，不匹配写 。 【例2】（2026高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 【变式2-1】（2026高二·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 【变式2-2】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 【变式2-3】已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . ▌题型03 根据元素与集合的关系求参数 1.把参数代入集合等式，解出参数所有候选值。 2.必做检验：带回集合，用元素互异性筛掉重复元素的解。 3.注意隐藏限制：分式分母 、根号内 ，参数不能让式子无意义。 【例3】（2026高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式3-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 【变式3-3】已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． ▌题型04 判断集合中的元素个数 1.第一步化简集合，列举出全部元素。 2.关键规则：集合元素具有互异性，重复元素只算1次。 3.两类常考形式： ① 列举法：直接数，重复删掉再计数； ② 描述法：限定范围逐个找出符合条件的数再统计。 【例4】（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. 【变式4-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 【变式4-2】（2026高一·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 【变式4-3】（2026高一·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B ▌题型05 根据集合中元素的个数求参数 1.集合元素个数由方程解的个数决定，分情况讨论： (1)一次方程：永远1个解； (2)二次方程：判别式 两个元素， 一个元素， 空集。 2.算出参数后验证互异性，避免出现相同元素。 3.看清题目要求：元素个数为0/1/2，对应分类列式。 【例5】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 【变式5-1】若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 【变式5-2】（2026高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式5-3】（2026高一·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. ▌题型06 集合元素互异性的应用 1.互异性定义：同一个集合里，任意两个元素不能相等。 2.所有求参数题目最后必检验！ 3.常见坑：算出参数后，集合出现两个相同数字，这个参数直接舍去。 4.做题流程：解方程得参数 代入集合 检查有无重复 保留合格解。 【例6】（2026高一·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 【变式6-1】（2026高一·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 【变式6-2】（2026高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 【变式6-3】（2026高三·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．    【答案】4 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    ▌题型07 集合的表示 1.三种表示方法区分： ① 列举法：，元素少、有限集用； ② 描述法：，竖线前是代表元，后面是限制条件； ③ 图示法：韦恩图，多用于综合运算。 2.描述法易错点：看清代表元是 、（点集），点集不能当成数集计算。 例： 是数集； 是抛物线上点。 【例7】用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 【变式7-1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式7-2】（2026高一·天津·阶段检测）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 【变式7-3】（2026高一·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． ▌题型08 集合间基本关系的判定 1.符号区分： (1)：A是B子集，A所有元素都在B里，允许 ； (2)：A是B真子集，A元素全在B，且B有A没有的元素。 2.判断步骤：先化简两个集合，对比元素范围； 范围完全相同 相等；A范围全部落在B内部 子集；范围一样且B更大 真子集。 3.空集是任意集合的子集。 【例8】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 【变式8-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 【变式8-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【变式8-3】（2026高一·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. ▌题型09 空集及其应用 1.空集符号 ，不含任何元素； 不是空集，里面有元素0。 2.两大核心性质： ① （任意集合都包含空集）； ② （A非空时，空集是真子集）。 3.求参数高频坑：题目说 ，一定要先讨论A为空集的情况，极易漏解。 4.什么时候是空集：一元二次方程无解、不等式无解、分式无符合条件的数。 【例9】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 【变式9-1】（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式9-2】（2026高一·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式9-3】（2026高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. ▌题型10 （真）子集的列举与个数的计算 1.公式：若集合有 个元素 (1)总子集个数：； (2)真子集个数：； (3)非空真子集：。 2.列举子集技巧：按元素个数从小到大列，先空集，再单元素、双元素…避免漏写。 3.易错提醒：空集、集合本身都是子集；真子集不包含集合自身。 【例10】（2026高二·宁夏吴忠·期末）满足条件的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 【变式10-1】（2026高二·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 【变式10-2】（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【变式10-3】（2026高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . ▌题型11 根据子集、真子集的个数求参数 1.反向套用个数公式：给出子集数量，转化为 ，求出集合元素个数 。 例：有4个子集，，集合有2个元素。 2.根据元素个数列方程求参数，最后检验互异性。 3.注意：含参数集合可能是空集，空集只有1个子集。 【例11】（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【变式11-1】（2026高三·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，若有2个子集，则不可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由集合有2个子集，可得只有一个元素，即可得答案； 【详解】集合有2个子集，可得只有一个元素， 或或， 或或， 故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念和子集的个数，考查运算求解能力，属于基础题. 【变式11-2】（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则___________. 【答案】或/或 【分析】分析可知集合中有且只有一个元素，可得出关于的等式，即可得解. 【详解】因为集合只有个子集，则集合中有且只有一个元素， 所以，，整理可得，其中，解得或. 故答案为：或. 【变式11-3】（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. ▌题型12 集合相等及其应用 1.判定依据：两个集合互相包含 且 ，则 ；有限集合元素完全相同即相等。 2.做题思路：集合元素一一对应相等，列出方程组求参数。 3.必做步骤：解完参数代入集合，检查互异性，舍去产生重复元素的解。 【例12】（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 【变式12-1】（2026高二·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 【变式12-2】（2026高三·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【变式12-3】（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. ▌题型13 集合的并集、交集运算 1.交集 ：取两个集合公共元素，“找重叠”； 2.并集 ：把两个集合所有元素放一起，重复只留一个，“全部合并”； 3.计算步骤：先化简两个集合，再找公共部分/合并全部元素； 4.口诀：交取公共，并取全部。 【例13】（2026高二·四川德阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 【变式13-1】（2026高二·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】由得，所以 即，， 所以． 【变式13-2】（2026高二·吉林松原·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 【变式13-3】（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合运算即可求解. 【详解】因为,则, 故选：B. ▌题型14 补集的运算 1.全集 ：题目给定的讨论范围； 2.补集 ：全集中去掉A里面的元素，剩下所有元素； 3.易错点：看清全集范围，全集不同，同一个集合的补集结果不一样； 4.数轴辅助：数集求补集画数轴，去掉A区间，剩余区间就是补集。 【例14】（2026高二·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 【变式14-1】（2026高二·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 【变式14-2】（2026高一·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 【变式14-3】（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. ▌题型15 交、并、补的综合运算 1.两种解题工具： ① 数集：画数轴，标清全集、集合区间，分段判断； ② 有限集合：列举全部元素分步计算。 2.常用公式：；。 【例15】（2026高二·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以． 【变式15-1】（2026高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 【变式15-2】（2026高二·河南南阳·期末）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，，， 所以. 【变式15-3】（2026高二·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. ▌题型16 根据集合的运算结果求参数 1.常见条件翻译： (1)：无公共元素； (2)：； (3)：。 2.分类讨论第一优先级：含参数集合可能为空集，先算空集情况。 3.求出参数后代回集合验算，保证运算结果符合题干。 【例16】【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 【变式16-1】（2026高二·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 【变式16-2】（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 【变式16-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. ▌题型17 韦恩图及其应用 1.识别韦恩图各区域含义 两个圆韦恩图分为三部分：只属于、只属于、与公共交集；全集方框内除去两个圆的部分是补集区域。 2.图形转集合表达式步骤 第一步，观察阴影覆盖的区域，区分是单独一块、重叠区域还是全集空白区域； 第二步，用交、并、补符号写出对应集合运算； 只不：；只不：；两圆重叠：；全集除去两圆：。 3.已知集合求阴影元素 第一步，先计算对应交并补集合； 第二步，筛选出符合阴影区域条件的元素，整理结果。 【例17】（2026高二·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 【变式17-1】（2026高二·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 【变式17-2】（2026高二·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 【变式17-3】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． ▌题型18 容斥原理 1.牢记核心公式 两个有限集合：； 三个有限集合： 2.解题分步流程 第一步，定义集合，明确每个集合代表的事物，标注每个集合元素数量、两两交集数量、三者交集数量； 第二步，绘制三圆/两圆韦恩图，把已知数字填入对应区域，未知量设为字母； 第三步，代入容斥公式列一元一次方程，求解未知人数； 第四步，结合题干总人数，加上不参与任何集合的元素数量，算出全部总数。 3.结果校验 计算出的人数不能为负数，不符合实际的解直接舍去。 【例18】（2026高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 【变式18-1】（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 【变式18-2】（2026高一·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 【变式18-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ▌题型19 集合的新定义问题 1.核心思路：严格照抄题目定义，不凭自己固有知识脑补； 2.做题步骤： ① 读懂新运算/新集合规则，圈出关键计算方式； ② 代入题目给出的集合，按定义一步步计算； ③ 算出结果后再核对一遍定义，防止理解偏差； 3.技巧：先用小数字举例，弄懂新规则，再做正式题目。 【例19】【多选】（2026高二·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 【变式19-1】（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 【变式19-2】（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 【变式19-3】（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合19种常见考法归类 ▌题型01 判断对象是否能构成集合 【例1】【答案】ACD 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 判断元素与集合的关系 【例2】【答案】B 【变式2-1】【答案】C 【变式2-2】【答案】B 【变式2-3】【答案】B ▌题型03 根据元素与集合的关系求参数 【例3】【答案】C 【变式3-1】【答案】C 【变式3-2】【答案】D 【变式3-3】【答案】A ▌题型04 判断集合中的元素个数 1.第一步化简集合，列举出全部元素。 2.关键规则：集合元素具有互异性，重复元素只算1次。 3.两类常考形式： ① 列举法：直接数，重复删掉再计数； ② 描述法：限定范围逐个找出符合条件的数再统计。 【例4】【答案】5 【变式4-1】【答案】C 【变式4-2】【答案】A 【变式4-3】【答案】B ▌题型05 根据集合中元素的个数求参数 1.集合元素个数由方程解的个数决定，分情况讨论： (1)一次方程：永远1个解； (2)二次方程：判别式 两个元素， 一个元素， 空集。 2.算出参数后验证互异性，避免出现相同元素。 3.看清题目要求：元素个数为0/1/2，对应分类列式。 【例5】【答案】0或1 【变式5-1】【答案】B 【变式5-2】【答案】C 【变式5-3】【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. ▌题型06 集合元素互异性的应用 【例6】【答案】C 【变式6-1】【答案】C 【变式6-2】【答案】A 【变式6-3】【答案】4 ▌题型07 集合的表示 【例7】【答案】 【变式7-1】【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式7-2】【答案】A 【变式7-3】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． ▌题型08 集合间基本关系的判定 【例8】【答案】B 【变式8-1】【答案】C 【变式8-2】【答案】D 【变式8-3】【答案】A ▌题型09 空集及其应用 【例9】【答案】C 【变式9-1】【答案】 【变式9-2】【答案】D 【变式9-3】【答案】 ▌题型10 （真）子集的列举与个数的计算 【例10】【答案】D 【变式10-1】【答案】B 【变式10-2】【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【变式10-3】【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . ▌题型11 根据子集、真子集的个数求参数 【例11】【答案】C 【变式11-1】【答案】C 【变式11-2】【答案】或/或 【变式11-3】【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. ▌题型12 集合相等及其应用 【例12】【答案】C 【变式12-1】【答案】A 【变式12-2】【答案】C 【变式12-3】【答案】0 ▌题型13 集合的并集、交集运算 【例13】【答案】B 【变式13-1】【答案】B 【变式13-2】【答案】B 【变式13-3】【答案】B ▌题型14 补集的运算 1.全集 ：题目给定的讨论范围； 2.补集 ：全集中去掉A里面的元素，剩下所有元素； 3.易错点：看清全集范围，全集不同，同一个集合的补集结果不一样； 4.数轴辅助：数集求补集画数轴，去掉A区间，剩余区间就是补集。 【例14】【答案】D 【变式14-1】【答案】3 【变式14-2】【答案】D 【变式14-3】【答案】A ▌题型15 交、并、补的综合运算 【例15】【答案】D 【变式15-1】【答案】C 【变式15-2】【答案】B 【变式15-3】【答案】A ▌题型16 根据集合的运算结果求参数 【例16】【答案】AB 【变式16-1】【答案】B 【变式16-2】【答案】B 【变式16-3】【答案】 ▌题型17 韦恩图及其应用 【例17】【答案】C 【变式17-1】【答案】B 【变式17-2】【答案】 【变式17-3】【答案】C ▌题型18 容斥原理 1.牢记核心公式 两个有限集合：； 三个有限集合： 2.解题分步流程 第一步，定义集合，明确每个集合代表的事物，标注每个集合元素数量、两两交集数量、三者交集数量； 第二步，绘制三圆/两圆韦恩图，把已知数字填入对应区域，未知量设为字母； 第三步，代入容斥公式列一元一次方程，求解未知人数； 第四步，结合题干总人数，加上不参与任何集合的元素数量，算出全部总数。 3.结果校验 计算出的人数不能为负数，不符合实际的解直接舍去。 【例18】【答案】160 【变式18-1】【答案】B 【变式18-2】【答案】 【变式18-3】【答案】C ▌题型19 集合的新定义问题 1.核心思路：严格照抄题目定义，不凭自己固有知识脑补； 2.做题步骤： ① 读懂新运算/新集合规则，圈出关键计算方式； ② 代入题目给出的集合，按定义一步步计算； ③ 算出结果后再核对一遍定义，防止理解偏差； 3.技巧：先用小数字举例，弄懂新规则，再做正式题目。 【例19】【答案】ABD 【变式19-1】【答案】A 【变式19-2】【答案】B 【变式19-3】【答案】D 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $