26.4.2实际问题与二次函数（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决利润最值问题，通过复习旧知（求实际问题最值步骤）搭建学习支架，衔接新知（商业利润问题），梳理从二次函数模型建立到实际应用的知识脉络。 特色在于分类讨论涨价与降价情况培养推理意识，用表格梳理数量关系发展抽象能力，结合工艺品、旅行社等实际问题强化模型观念。帮助学生提升分析问题能力，为教师提供结构化教学流程，提高课堂效率。

26.4.2 实际问题与二次函数（第2课时）教学设计 一、课标要求 1. 能根据实际问题中的数量关系，列出二次函数关系式。 1. 能结合二次函数的图象和性质，解决实际问题中的利润最值问题。 1. 能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围求最大利润。 二、教学目标 1. 掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型。 1. 能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润。 1. 通过实际利润问题的探究，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。 三、教学重点与难点 教学重点：利用二次函数模型解决商品利润问题中的最值问题。 教学难点：根据涨价、降价两种情况分别建立二次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 四、教学过程 环节一：复习导入（5分钟） 师生活动： 教师提出问题：上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 学生回顾后，教师总结： 1. 建立二次函数模型； 1. 确定自变量取值范围； 1. 求解函数最值： ①若顶点横坐标在取值范围内，则顶点处的函数值为最值； ②若顶点横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性，在取值范围的端点处求最值。 1. 解释实际意义。 教师追问：今天我们继续学习二次函数在商业中的应用——最大利润问题。 设计意图：通过复习回顾，帮助学生巩固利用二次函数求最值的基本思路，为后续探究利润问题做铺垫。 环节二：探究新知——商品利润问题 师生活动： 教师出示例题：某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价元，则每星期要少卖出件；每降价元，则每星期可多卖出件。已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 提问1：总利润与哪些量有关？ 学生：总利润 每件利润 销售量。 提问2：每件利润与什么有关？ 学生：利润 售价 进价。 提问3：调整价格包括哪几种情况？ 学生：涨价和降价两种情况。 （1）涨价情况 教师引导学生分析：设每件涨价元，利润为元。 师生共同填写表格： 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 — 涨价 提问4：如何建立利润与涨价之间的函数关系式？ 学生： 提问5：自变量的取值范围是什么？ 学生：，且，所以，且为整数。 提问6：如何求这个二次函数的最大值？ 学生： 当时，有最大值，最大值是。 此时售价为元。 答：涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。 （2）降价情况 教师引导学生参考涨价的求解过程，自主探究降价情况。 设每件降价元，利润为元。 师生共同填写表格： 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 — 降价 学生独立完成： 当时，有最大值，最大值是元。 提问7：比较涨价和降价两种情况，哪种定价利润更大？ 学生：，所以涨价元，定价元时利润最大。 答：定价元时利润最大，最大利润是元。 归纳总结：在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： 1. 列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 1. 在自变量的取值范围内，运用顶点公式或配方法求出二次函数的最大值。 注意：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值。 设计意图：通过商品利润问题，让学生体会如何建立二次函数模型解决实际问题。通过涨价和降价两种情况的对比，培养学生分类讨论的思想和全面分析问题的能力。 环节三：巩固练习——工艺品销售问题 师生活动： 教师出示练习1：某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于元。 （1）求每天的销售利润（单位：元）与销售单价（单位：元）之间的函数关系式。 （2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： （1） 设销售单价为元，每天销售利润为元。 成本（元/件） 销售单价（元） 销售量（件） 降价前 降价后 每件利润为元，销售量为件。 自变量的取值范围：。 （2）求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元。 设计意图：通过工艺品销售问题，巩固利用二次函数求最大利润的方法，强化“确定自变量取值范围”和“在取值范围内求最值”的意识。 环节四：巩固练习——旅行社营业额问题 师生活动： 教师出示练习2：旅行社开设一旅游团，人起组团，每人需缴费元。旅行社对超过人的旅行团给予优惠：每增加人，每人需缴费用降低元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设旅行团的人数为人，营业额为元。 每人缴费元。 自变量的取值范围：，且，即，，。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：旅行团的人数为人时，旅行社可获得最大营业额元。 设计意图：通过旅行社营业额问题，让学生体会不同实际问题中二次函数模型的建立方法，提高应用能力。 环节五：巩固练习——生产利润问题 师生活动： 教师出示练习3：生产某种商品需要元的固定花费，在此基础上，每生产件商品花费元，预定单价为元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设产量为件，利润为元。 实际单价为元。 总成本为元。 总收入为元。 自变量的取值范围：，且，即。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：当产量为件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是元。 设计意图：通过生产利润问题，让学生进一步巩固利用二次函数求最值的方法，体会数学在实际生产中的应用。 环节六：巩固练习——商品定价问题 师生活动： 教师出示练习4：某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设所得利润为元。 每件利润为元，销售量为件。 自变量的取值范围：，且，即。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：当这件商品定价为元时，利润最大。 设计意图：通过简单的商品定价问题，巩固利用二次函数求最大利润的基本方法。 环节七：巩固练习——文化衫降价问题 师生活动： 教师出示练习5：某种文化衫以每件盈利元的价格出售，每天可售出件。若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设每件应降价元，每天的利润为元。 每件利润为元，每天销售量为件。 自变量的取值范围：，且，即。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：当每件降价元时，每天盈利最多。 设计意图：通过文化衫降价问题，让学生掌握“设降价元”的建模方法，提高解题能力。 环节八：拓展提升——吉祥物销售问题 师生活动： 教师出示练习6：2026年马年春晚，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象。某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，当销售单价为元时，平均每天可售出件；当销售单价为元时，平均每天可售出件。 （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 学生分小组讨论，教师巡视指导。 解答过程： （1）设销售量与销售单价之间的函数关系式为。 由题意得： 解得： 所以。 （2）设每天的销售利润为元。 单件利润为元，销售量为件。 自变量的取值范围：，且，即。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：利润最大时的销售单价应定为元，最大利润为元。 设计意图：通过春晚吉祥物销售问题，让学生体会先求一次函数关系式，再建立二次函数模型求最大利润的过程，培养学生综合分析问题的能力。 环节九：课堂小结 师生活动： 教师引导学生回顾本节课的内容： 提问：利用二次函数解决商品利润问题的一般步骤是什么？ 学生总结： 1. 理清问题中的基本量：成本、售价、销售量、利润； 1. 建立利润与各量之间的关系式： 每件利润 售价 成本； 总利润 每件利润 销售量； 1. 根据题意列出二次函数解析式； 1. 确定自变量的取值范围； 1. 利用二次函数的性质求最大利润； 1. 检验结果是否符合实际意义，写出答案。 教师补充：在求最大利润时，要注意自变量的取值范围。如果顶点在取值范围内，则顶点处的函数值为最大值；如果顶点不在取值范围内，则需根据函数的增减性，在取值范围的端点处求最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $