第2章 锐角的正弦、余弦、正切【章末复习】课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的定义、特殊角值、增减性、解直角三角形及实际应用，通过知识图谱和表格化定义（对比正弦、余弦、正切的概念、表示与图示）串联核心内容，帮助学生建立完整的知识体系。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，如通过测量旗杆高度、塔高的实际问题，培养学生的几何直观和模型意识。中考题与数学实验结合，让不同水平学生提升，教师可精准把握学情，提高复习效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 章末复习 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 湘教版九年级数学第2章 锐角的正弦、余弦、正切 章节复习题 第二章知识体系总览：本章核心为三大锐角三角函数（正弦、余弦、正切），掌握定义、特殊角数值、增减性，熟练解直角三角形，并能解决仰角、俯角、坡度、方位角四大类实际应用问题，是初中几何计算核心考点。 一、核心知识点归纳 1. 锐角三角函数定义（Rt△ABC，∠C=90°） 正弦：$$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}$$ 余弦：$$\cos A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}$$ 正切：$$\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}$$ 2. 特殊角三角函数值（必背） $$\sin30^\circ=\frac{1}{2},\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos60^\circ=\frac{1}{2}$$ $$\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},\tan45^\circ=1,\tan60^\circ=\sqrt{3}$$ 3. 三角函数增减性 锐角越大，正弦值、正切值越大；锐角越大，余弦值越小。 4. 重要恒等式 $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$；$$\sin A=\cos(90^\circ-A)$$ 5. 解直角三角形三大关系 边角关系（三角函数）、三边关系（勾股定理）、锐角互余（$$\angle A+\angle B=90^\circ$$） 6. 实际应用核心概念 仰角（水平线上方）、俯角（水平线下方）；坡度$$i=\frac{h}{l}=\tan\alpha$$；方位角以正北、正南为基准。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. $$\tan60^\circ=$$________，$$\cos45^\circ=$$________。 2. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则$$\sin A=$$________。 3. 比较大小：$$\sin30^\circ$$________$$\cos30^\circ$$（填＞＜＝）。 4. 已知$$\sin\alpha=\frac{4}{5}$$，则$$\cos\alpha=$$________。 5. 斜坡坡度$$i=1:\sqrt{3}$$，则坡角为________°。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 锐角三角函数中，只与角度有关、与边长无关的是（ ） A. 仅正弦 B. 仅余弦 C. 仅正切 D. 正弦、余弦、正切 2. Rt△ABC中，∠C=90°，各边长扩大为原来2倍，$$\sin A$$的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 不变 D. 无法确定 3. 下列数值最大的是（ ） A. $$\sin60^\circ$$ B. $$\cos60^\circ$$ C. $$\tan60^\circ$$ D. $$\tan30^\circ$$ 4. 俯角的定义是（ ） A. 视线与竖直方向夹角 B. 视线与水平线下方夹角 C. 视线与水平线上方夹角 D. 坡面与水平面夹角 5. 坡度越大，坡面（ ） A. 越平缓 B. 越陡峭 C. 不变 D. 无法判断 四、解答计算题（共60分） 1.（12分）计算：$$\sin^230^\circ+\cos^245^\circ+\tan60^\circ\cdot\tan30^\circ$$。 2.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，$$\sin A=\frac{1}{3}$$，求斜边c和直角边b的长。 3.（12分）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，b=4，解这个直角三角形。 4.（12分）测量旗杆高度，地面观测仰角60°，观测点距旗杆底部10m，求旗杆高度（忽略身高）。 5.（12分）某河堤斜坡垂直高4m，坡度$$i=1:2$$，求斜坡水平宽度和坡面总长。 五、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. $$\sqrt{3}$$、$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2. $$\frac{4}{5}$$ 3. ＜ 4. $$\frac{3}{5}$$ 5. 30 （二）选择题答案 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B （三）解答题解析 1. 解：原式$$=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{4}$$。 2. 解：$$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5}{c}=\frac{1}{3}$$，解得$$c=15$$；由勾股定理得$$b=\sqrt{15^2-5^2}=10\sqrt{2}$$。 3. 解：$$\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ$$；$$a=b\cdot\tan60^\circ=4\sqrt{3}$$；$$c=2b=8$$。 4. 解：设旗杆高为h，$$\tan60^\circ=\frac{h}{10}$$，解得$$h=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。答：旗杆高$$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。 5. 解：由$$i=\frac{h}{l}=\frac{4}{l}=\frac{1}{2}$$，得水平宽度$$l=8\mathrm{m}$$；坡面长$$=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$$。 知识图谱 图形与几何 图形的性质 图形的变化 图形与坐标 图形的平移 图形的轴对称 图形的旋转 图形的相似 图形的投影 正弦、余弦、正切的定义 30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值 已知锐角求正弦值、余弦值、正切值 已知正弦值、余弦值、正切值求对应锐角 解直角三角形及其应用 锐角的正弦余弦、正切 锐角三角函数 锐角三角函数 定义 表示 图示 正弦 余弦 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦. 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦. 锐角三角函数 锐角三角函数 定义 表示 图示 正切 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切. (1) 正弦、余弦、正切都是比值，没有单位，只与角的大小有关； (2) 对于锐角∠A 的每一个确定的值，它的正弦、余弦、正切都有唯一确定的值与之对应. 注意 锐角三角函数的表示 锐角三角函数的表示 示例 用一个大写英文字母或一个希腊字母表示角，角的符号“∠”可省略 用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示角，角的符号“∠”不能省略 sinA，cosα sin∠ABC、tan∠1 1. 分别求出图①、图②中∠A的三个三角函数值： 针对练习 解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得 1. 分别求出图①、图②中∠A的三个三角函数值： 针对练习 图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得 2. 如图，A为∠α边上的一点，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则 DC AB AD BC BC AC DC BC AD 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm， BC=10cm，分别求∠A，∠B的正弦值、余弦值和正切值. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=10cm， 【P89 复习题2 第1题】 锐角三角函数之间的关系 ① 平方关系 (1) 同角三角函数之间的关系 ② 商数关系 (1) 同角三角函数之间的关系 (2) 互余两锐角三角函数之间的关系 任意锐角的正弦(余弦)等于它的余角的余弦(正弦). 考点1 锐角三角函数 1. 如图，在矩形 中，，，是 的中点， 将沿直线翻折，点落在点 处， 连接，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 14 2. 将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边 形,连接,则 的值为__. 返回 中考考法 15 3. 计算： （1）[湖南中考] ; 【解】原式 . （2） ； 原式 . 中考考法 16 （3） ． 原式 ． 返回 中考考法 17 考点2 解直角三角形 4. 在中， ，，， 所对的边分别 为,, .由下列条件解直角三角形. （1）已知， ； 【解】在中， ， ，所以 .所以.又因为,所以， . 所以 . 中考考法 18 （2）， . 因为 ，所以 .又因为 ，所以 ， .因为 ，所以.又因为 ，所以 ，解得.所以 .所以 . 返回 中考考法 19 5. 如图，在 中， ， . 中考考法 20 （1）求 的值； 【解】如图，过点作 的垂线，垂足 为.因为， ，所以 .所以在 中， ，所以 . 中考考法 （2）延长至点，使得 ，求 的长. 在中，，即，所以 .所 以 . 返回 中考考法 22 考点3 解直角三角形在实际中的应用 6. [长沙雨花区模拟] 白鹭塔位于长 沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景 区，塔体采用多层密檐形式，以八角、 七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观 又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭 塔的高度，如图，塔前有一座高为 的景观桥，已知 中考考法 23 ， ， 点，， 在同一条水平直线上．在 景观桥处测得塔顶部 的仰角为 ，在景观桥处测得塔顶部 的 仰角为 ，则白鹭塔 的高度约 为______．（参考数据： ， ， ， ，结果取 整数） 中考考法 【点拨】由题意得 ，在 中， ， ，所以 , 中考考法 25 .过点 作 ，垂足为 ，如图.由题意易得 ， ， 设 ，所以 . 中考考法 在中， ，所以 .在 中， ， 所以 . 因为 ，所以 ，解得，所以白鹭塔 的高度约为 ． 返回 中考考法 7. 慈氏塔位于洞庭湖边， 塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖， 为“巴陵胜状”之一.一次数学综合实践活 动中，智慧小组设计了如下方案测量慈 氏塔的高度．如图，在地面处测得塔顶的仰角为 ，从 处沿水平地面向前走米到达点处后，在处测得塔顶 的 仰角为 ，计算求得塔高．若测得的 ， 中考考法 28 ， 米，请你利用所测 数据计算塔高 结果精确到1米， 参考数据：， ， #2 中考考法 【解】设塔高为米．在 中， ， ,所以 米.在 中， ， ，所以 米.因为 ，米，所以 ，解得 . 答：塔高 约为34米． 返回 中考考法 30 8. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入 介质发生折射时，入射角 的正弦值与折射角 的正弦值的 比值 叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光 在介质中传播时，介质对光作用的一种特征.#1 中考考法 31 （1）若光从真空射入某介质，入射角为 ，折射角为 ， 且， ，求该介质的折射率； 中考考法 32 【解】因为 ，所以如图，设 ，则 .由勾股定理得 ，所以 所以该介质的折射率为 . .又因为 ，所以 . 中考考法 33 （2）现有一块与（1）中 折射率相同的长方体介质， 如图①所示，点， ， ， 分别是长方体棱的 中点，若光线经真空从矩 形的对角线交点处射入，其折射光线恰好从点 处射出，如图②，已知 ， ，求截面 的面积. 中考考法 34 由题意知 ，折射率 为，所以 . 所以 .易得四边形 是矩形，点是 的 中点，所以， .易知 ，所以 .所以 在中，设，则 ，由勾股定理 中考考法 35 得 ，所以 . 又因为 ，所以 中考考法 所以 . 所以截面 的面积为 . 返回 中考考法 思想1 转化思想 （第9题） 9. [全国初中数学竞赛] 如图，在 等腰直角三角形中， , 为的中点，将 折叠，使点 与点重合， 为折痕，则 的值是( ) A A. B. C. D. 中考考法 38 （第9题） 【点拨】由题意得 , .设,.因为 为的中点,所以 .由折叠得 , .由三 角形外角性质得 ,所以 .在 中，由勾股定理得 ,即,解得 ,所以 , ,所以 . 返回 中考考法 39 思想2 方程思想 （第10题） 10. 如图，已知在 中， ，，是 上 一点，，垂足为 ， ，，则 _ ____. 中考考法 40 （第10题） 【点拨】过点作于点 .因 为,于点 ，所以在 中, .所以设 ,则 .所以 ,. 中考考法 41 因为,所以设 ,则 .因为 , ,所以 . 又因为 ，所以 .所 以 ,即 ,解得,即 .所以 （第10题） 中考考法 ,即 . 所以, .又因为在 中, ,所以 .因为 ,所以 , 解得 （第10题） 中考考法 .因为 ,所以 ,解得 . 所以 .所以在 中， . （第10题） 返回 中考考法 思想3 数形结合思想 11. 如图①，在中， ，射线 ，为上一点，过点作，交射线 于 点.研究发现线段的长与线段的长 之间的关系可用 图②的图象表示，已知点，求 的正切值. 中考考法 45 【解】因为点的坐标为 ，如 图所示，则， .过点 作的平行线，交于点 .因 为，，所以四边形 是平行四边形， 所以，所以 .同理可得，四边形 是平行四边形，所以.过点作 的垂线， 垂足为，因为，，所以 .所 中考考法 46 以在 中， ，所以 . 返回 中考考法 思想4 分类讨论思想 12. [上海金山区期末] 已知三角形的顶点 在三角形 的内部，点、点在直线 同侧. 中考考法 48 （1）如图①，连接,,，若和 是等边三角 形，点,,三点共线，，求 的值； 中考考法 49 【解】因为 ，所以 设，则 . 因为 是等边三角形，所以 . 过点作，则 ， 所以, ， 所以 . 中考考法 50 因为是等边三角形， 是等边三角形， 所以，所以 ， 所以 . 中考考法 51 （2）如图②，连接,,（点，， 三点不共线）， ，若， ， 求的值（用含 的代数式表示）； 中考考法 52 因为 ， 所以 . 又因为， ，所以 ， 所以 . 在中， ， 在中， ， 中考考法 53 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 ， 所以，所以 . 中考考法 54 （3）若 是等腰三角形， ，， ， 点在高上，点在 的延长 的长为 . 线上，连接并延长交边于点，连接， ，当 ，与相似时，请直接写出 的长. 中考考法 55 【点拨】因为， ， ，所以 ， ，所以垂直平分 ， ， .当 与 相似时，①当 时，因为,所以 ， 所以.连接，因为点在 的中垂线上，所以 中考考法 56 .所以，因为点在 上， 所以点,重合. 此时点与点 重合 （不合题意，舍去）；②如图，当 时，因为 ， ， ，所以 .所以 ，所以 .过点作， ，所 中考考法 以.因为 ， 所以.设，则 , ，所以 .因为 ,所以 ，即 ,所以,所以 ， 所以 ，所以 中考考法 ， 所以 ，所以 .因为 ， ，所以 . 返回 中考考法 $