重难点专题02 认识一次函数（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 该专项以正比例函数和一次函数为核心，通过定义-图像-性质-应用的逻辑链条，系统提炼解题方法，强化概念理解与推理能力，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例函数|3重难点12题|定义判断三要素、图像两点法、k值决定增减性|从概念本质到图像特征再到性质应用，层层递进| |一次函数|4重难点11题|识别要点、参数双重限制条件、待定系数法|在正比例函数基础上拓展，构建一次函数完整认知体系|

重难点专题02 认识一次函数 模块一、正比例函数 重难点一、正比例函数的定义 正比例函数标准形式为y=kx(k≠0，k为常数），判断核心两点：x 次数为 1，无常数项，比例系数不能为 0。含参数题型需列条件：自变量指数等于 1，系数不等于 0，联立不等式求解参数，算出后代回解析式验证，排除不符合定义的解。 1．（25-26八年级下·广西钦州·期末）下列选项中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④．其中表示y是x的正比例函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 6．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 7．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 8．（25-26八年级下·广东江门·期末）正比例函数中，比例系数为_________． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）写出图象经过点的正比例函数表达式：__________． 10．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数是y关于x的正比例函数，求． 11．（25-26八年级下·天津南开·阶段检测）已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 12．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数的图象经过点． (1)判断点是否在这个函数图象上，并说明理由； (2)已知该函数图象上有两点，，如果，比较，的大小． 重难点二、正比例函数的图像 正比例函数图象是过原点(0,0)的直线，画图只需找两组坐标，原点与(1,k)，两点连线即可。k>0直线经过一、三象限；k<0经过二、四象限。看图判k符号、已知k画图象是常考题型，画图规范标注坐标轴、关键点坐标。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（m，n为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 8．（25-26八年级下·四川南充·期末）若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 重难点三、正比例函数的性质 核心由k决定增减性：k>0时，y随x增大而增大，图象从左下向右上倾斜；k<0时，y随x增大而减小，图象从左上向右下倾斜。比较函数值大小，可借助增减性判断，无需代入计算；同时牢记图象必过原点这一固有特征。 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 3．（25-26八年级下·山西大同·期末）、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 5．（25-26八年级下·北京石景山·期末）对于函数，下列说法中错误的是（     ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象经过点 C．随的增大而增大 D．当时， 6．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数经过点，则的值为______． 7．（25-26八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）一物体自高处落下，是因为受到了重力作用，其受到的重力大小与它自身的质量的关系式是（取），其中增大时，将__________．（填“增大”“减小”或“不变”） 9．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 10．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 11．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值，并求出函数的解析式； (2)在第（1）问的条件下，若点，在函数图象上，且，求、的大小关系． 模块二、一次函数 重难点一、识别一次函数 一次函数标准式y=kx+b(k≠0，k、b为常数），识别要点：自变量x最高次数为 1，x系数不为 0，允许存在常数项b。正比例函数是b=0的特殊一次函数。区分易错题型：含x2、分式x的式子都不属于一次函数。 1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数中，一次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 8．（25-26八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 9．（25-26八年级下·上海·期中）新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 重难点二、根据一次函数的定义求参数 解题列出双重限制条件：自变量x的指数等于 1，一次项系数k≠0，联立方程与不等式求解参数。算出参数后，代入原式检验，确认式子符合y=kx+b形式，排除使系数为 0 的参数解，避免忽略k≠0这个关键隐藏条件导致失分。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 2．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期末）直线的截距是________． 46．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知函数（是常数）是正比例函数，则_________． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 7．（25-26八年级下·上海·期中）当_____．时，函数是正比例函数． 8．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 9．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 10．（25-26八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 11．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 重难点三、求一次函数自变量或函数值 已知x求y，直接将数值代入解析式，化简计算得到函数值；已知y反求x，把函数值代入式子，解一元一次方程得出自变量。计算结束后带回原式验算，实际应用题还要核对自变量取值范围，超出范围的解直接舍去，保证取值有实际意义。 1．（25-26八年级下·江西上饶·期末）点在一次函数的图象上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 4．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点在一次函数的图象上，则______． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 6．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 8．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 9．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 重难点四、列一次函数解析式并求值 实际应用题先梳理题干等量关系，梳理两个变量间的数量联系，结合y=kx+b(k≠0，k、b为常数）列出解析式，写完标注自变量取值范围。若给出两组对应数值，用待定系数法，代入坐标构建二元一次方程组，解出k、b，得到完整解析式后，再代入数值完成求值计算。 1．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北承德·期末）水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 5．（10-11八年级上·江苏·阶段检测）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但不超过1300元的部分征收的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（元） ①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式______； ②某人某月收入为960元，他应缴所得税______元； ③如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资薪金是______元． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 认识一次函数 模块一、正比例函数 重难点一、正比例函数的定义 正比例函数标准形式为y=kx(k≠0，k为常数），判断核心两点：x 次数为 1，无常数项，比例系数不能为 0。含参数题型需列条件：自变量指数等于 1，系数不等于 0，联立不等式求解参数，算出后代回解析式验证，排除不符合定义的解。 1．（25-26八年级下·广西钦州·期末）下列选项中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【分析】先明确正比例函数的定义，再根据定义逐一判断各选项即可得到答案，正比例函数定义为：形如（为常数，且）的函数叫做正比例函数． 【详解】解： 选项A 含常数项，不符合的形式，不是正比例函数； 选项B 的自变量在分母上，不符合正比例函数定义，不是正比例函数； 选项C 符合（）的形式，满足正比例函数定义，是正比例函数； 选项D 自变量的次数是2，不符合定义，不是正比例函数． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到的值． 【详解】解：是正比例函数， ，， 解得， 解，得或， 综上可得，m的值为5． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④．其中表示y是x的正比例函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：①；②，都是关于的正比例函数； ③中的的次数为2，不符合正比例函数的定义，不是关于的正比例函数； ④中的的次数为2，不是关于的正比例函数； 综上，表示是的正比例函数的有2个． 4．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】正比例函数的定义 【分析】形如（为常数且）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项满足， 解得． 5．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 7．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 8．（25-26八年级下·广东江门·期末）正比例函数中，比例系数为_________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义，即可确定该函数的比例系数． 【详解】解：形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 正比例函数符合正比例函数的形式，对应可得比例系数． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）写出图象经过点的正比例函数表达式：__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】正比例函数的定义 【分析】用待定系数法求解正比例函数解析式，先设出正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入解析式求解比例系数即可． 【详解】解：设该正比例函数的表达式为， 将点代入解析式得：， 解得， 因此该正比例函数的表达式为． 10．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【难度】0.7 【知识点】正比例函数的定义 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 11．（25-26八年级下·天津南开·阶段检测）已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 12．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数的图象经过点． (1)判断点是否在这个函数图象上，并说明理由； (2)已知该函数图象上有两点，，如果，比较，的大小． 【答案】(1)点不在这个函数图象上，理由如下： ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数图象上； (2) 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】（1）先求出正比例函数的解析式，再求出当时，的值，比较即可得出结果； （2）根据正比例函数的性质判断即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得正比例函数的解析式为， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴． 重难点二、正比例函数的图像 正比例函数图象是过原点(0,0)的直线，画图只需找两组坐标，原点与(1,k)，两点连线即可。k>0直线经过一、三象限；k<0经过二、四象限。看图判k符号、已知k画图象是常考题型，画图规范标注坐标轴、关键点坐标。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：根据图象得：函数的图象过一、三象限， ∴， ∴k的值可能为2． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断． 【详解】解：函数是正比例函数， 其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ， 图象经过第一、三象限，故排除A， 又当时，， 图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点， C选项符合题意． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的图像与系数的关系及直线越陡，越大，可得答案． 【详解】解：∵正比例函数，经过一、三象限，，经过二、四象限， ∴，，，， ∵直线越陡，越大， ∴，即比例系数中最大的是． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．分别根据函数和经过的象限判断中k的符号和中k的符号是否一致，符号一致则正确，符号不一致则不正确． 【详解】解：A、由的图像过二、四象限可知，由的图像过二、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； B、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、二、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； C、由的图像过二、四象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； D、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项符合题意． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（m，n为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据正比例函数图象判断的正负，根据一次函数图象判断m，n的正负，逐项判断是否存在矛盾即可． 【详解】解：A．由正比例函数图象经过第一、三象限，得， 由一次函数图象经过二、三、四象限，得，，满足， 故该选项符合题意； B．由正比例函数图象经过第一、三象限，得， 由一次函数图象经过一、二、四象限，得，，不满足， 故该选项不合题意； C．由正比例函数图象经过第二、四象限，得， 由一次函数图象经过一、二、三象限，得，，不满足， 故该选项不合题意； D．由正比例函数图象经过第二、四象限，得， 由一次函数图象经过二、三、四象限，得，，不满足， 故该选项不合题意． 7．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【难度】0.77 【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 8．（25-26八年级下·四川南充·期末）若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】设出正比例函数的一般形式，将两点坐标分别代入解析式，得到和的表达式，计算的值即可. 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 点和点在该正比例函数图象上， 将代入解析式得：， 将代入解析式得：， . 重难点三、正比例函数的性质 核心由k决定增减性：k>0时，y随x增大而增大，图象从左下向右上倾斜；k<0时，y随x增大而减小，图象从左上向右下倾斜。比较函数值大小，可借助增减性判断，无需代入计算；同时牢记图象必过原点这一固有特征。 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、形如（为常数，）的函数是正比例函数，中，符合该形式，是正比例函数，结论正确； B、把代入，得，故函数图象不经过点，结论错误； C和D、∵， ∴函数图象经过第二、四象限，随的增大而减小，故C、D结论正确； 3．（25-26八年级下·山西大同·期末）、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据函数解析式可得该函数的增减性，再根据增减性可得对应函数值的大小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵、是正比例函数图像上的两点，且， ∴． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴函数图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 5．（25-26八年级下·北京石景山·期末）对于函数，下列说法中错误的是（     ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象经过点 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数中系数，结合函数性质逐个判断选项，即可找出错误说法． 【详解】解：是正比例函数，其中 对A选项，∵，函数图象经过第一、三象限，不经过第二象限，∴A说法正确 对B选项，将代入，得，∴函数图象不经过点，B说法错误 对C选项，∵，∴随的增大而增大，C说法正确 对D选项，由得，当时，，解得，∴D说法正确 综上，说法错误的是B． 6．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数经过点，则的值为______． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】将点代入函数的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：函数经过点， 将，代入解析式得， 移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得． 7．（25-26八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：在正比例函数中，比例系数， 由随的增大而增大，得， 解得， 任取满足的值即可，例如（答案不唯一）． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）一物体自高处落下，是因为受到了重力作用，其受到的重力大小与它自身的质量的关系式是（取），其中增大时，将__________．（填“增大”“减小”或“不变”） 【答案】增大 【难度】0.95 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，先判断G与m是正比例函数关系，再根据正比例函数的性质判断G随m的变化趋势. 【详解】解：由题意得，关系式中，是大于的定值， 因此是关于的正比例函数， 根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，函数值随自变量的增大而增大， 因此当增大时，将增大. 9．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】（1）根据正比例函数中的求解即可； （2）根据正比例函数中的时，随的增大而减小求解即可； （3）将点代入中求解即可． 【详解】（1）解：∵函数为正比例函数， ∴，解得； （2）解：∵函数中，随的增大而减小， ∴，解得； （3）解：∵函数的图像经过点， ∴将点代入函数中，得， 解得． 10．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】(1)的值为 (2) 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 11．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值，并求出函数的解析式； (2)在第（1）问的条件下，若点，在函数图象上，且，求、的大小关系． 【答案】(1)，函数解析式为 (2) 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，，然后求解即可； （2）根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵函数为正比例函数， ∴，， ∴且， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在函数图象上，且， ∴． 模块二、一次函数 重难点一、识别一次函数 一次函数标准式y=kx+b(k≠0，k、b为常数），识别要点：自变量x最高次数为 1，x系数不为 0，允许存在常数项b。正比例函数是b=0的特殊一次函数。区分易错题型：含x2、分式x的式子都不属于一次函数。 1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 2．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、，不是一次函数，不符合题意； B、中，不是一次函数，不符合题意； C、，符合的形式，其中，符合题意； D、未明确，若则不是一次函数，不符合题意． 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 4．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】形如（、为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：A选项最高次数为2，不符合一次函数的定义； B选项分母含有未知数，不符合一次函数的定义； C选项展开得，最高次数为2，不符合一次函数的定义； D选项符合形式，其中，，满足，符合一次函数的定义． 5．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数中，一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】本题根据一次函数的定义判断各选项即可，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数． 【详解】解：选项A：中未说明，当时，该函数不是一次函数，故A选项错误； 选项B：中，，，符合一次函数定义，故B选项正确； 选项C：中的次数为，不符合一次函数定义，故C选项错误； 选项D：中的次数不是，不符合一次函数定义，故D选项错误． 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】识别一次函数 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键． 根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系. 【详解】解：∵是的正比例函数， ∴ . ∵是的一次函数， ∴ . 将代入，得 . 其中和为常数，且， ∴是的一次函数. 故选：B. 9．（25-26八年级下·上海·期中）新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 重难点二、根据一次函数的定义求参数 解题列出双重限制条件：自变量x的指数等于 1，一次项系数k≠0，联立方程与不等式求解参数。算出参数后，代入原式检验，确认式子符合y=kx+b形式，排除使系数为 0 的参数解，避免忽略k≠0这个关键隐藏条件导致失分。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数定义，自变量x的系数不为0，据此列不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意， 解得． 3．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期末）直线的截距是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【详解】已知直线解析式为，对应可得，因此直线的截距为． 46．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知函数（是常数）是正比例函数，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、根据一次函数的定义求参数 【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的形式为，据此列出式子即可求解的值． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 解方程得，即， 由得， 因此． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 7．（25-26八年级下·上海·期中）当_____．时，函数是正比例函数． 【答案】 2 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】先将函数解析式整理为一般形式，再根据正比例函数的定义列关系式求解即可 【详解】解：先整理函数解析式，， 函数 是正比例函数， ， 解得 8．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 10．（25-26八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2) 【难度】0.75 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 11．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【难度】0.62 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 重难点三、求一次函数自变量或函数值 已知x求y，直接将数值代入解析式，化简计算得到函数值；已知y反求x，把函数值代入式子，解一元一次方程得出自变量。计算结束后带回原式验算，实际应用题还要核对自变量取值范围，超出范围的解直接舍去，保证取值有实际意义。 1．（25-26八年级下·江西上饶·期末）点在一次函数的图象上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值. 【详解】解：∵ 点在一次函数的图象上， ∴ 将代入，可得， 因此的值为5． 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y值，和点的纵坐标对比即可得到答案. 【详解】将各选项坐标依次代入验证： 选项A，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项B，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项C，把代入得，，该点在函数图象上； 选项D，把代入得，，该点不在函数图象上． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 4．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点在一次函数的图象上，则______． 【答案】3 【难度】0.95 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】已知点在一次函数图象上，把点代入，列一元一次方程求解的值． 【详解】解：将点代入，得， 解得． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点代入函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图象上， 将代入解析式得：， 整理得：， ∴， 代入得：． 6．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】程序流程图与代数式求值、求一次函数自变量或函数值 【详解】解：输入，且， 应选择进行计算， ． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 【答案】或 【难度】0.56 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 8．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查正比例函数及一次函数． （1）根据题意用待定系数法设，代入即可； （2）将点代入即可得出的值； （3）将的临界值4与分别代入，即可得到的临界值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，， ，解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为， 把点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，， 解得， 当的取值范围为时，的取值范围为． 9．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 【答案】或或或． 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】根据定义可得点A的“短距”为，则点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为，据此求出点B的坐标． 【详解】解：由题意得，点的短距为， 设， ∵两点为等距点， ∴点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为， 当时，则，即， ∴或， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 当时，则，即时， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 综上，点的坐标或或或． 重难点四、列一次函数解析式并求值 实际应用题先梳理题干等量关系，梳理两个变量间的数量联系，结合y=kx+b(k≠0，k、b为常数）列出解析式，写完标注自变量取值范围。若给出两组对应数值，用待定系数法，代入坐标构建二元一次方程组，解出k、b，得到完整解析式后，再代入数值完成求值计算。 1．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 2．（25-26八年级下·河北承德·期末）水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据一次函数的性质可求出x的值每增加1，y的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴x的值每增加1，y的值就增加k， 由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3， 而时的函数值相对于时的函数值减少2， ∴点不在该一次函数的图象上， 故这组错误的数据是． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 5．（10-11八年级上·江苏·阶段检测）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但不超过1300元的部分征收的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（元） ①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式______； ②某人某月收入为960元，他应缴所得税______元； ③如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资薪金是______元． 【答案】 8 1184 【难度】0.85 【知识点】求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值和自变量的值，解题的关键是求出一次函数解析式． ①根据所得税的计算方法，超过800元的部分乘以，即可写出函数解析式； ②把代入函数解析式即可求得； ③把代入函数解析式即可求得x的值即可． 【详解】①解：根据题意得：， 即应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为：； 故答案为：； ②当时，， 即他应缴所得税8元； 故答案为：8； ③当时，， ∴， 当时，， 解得：， 即此人本月工资、薪金1184元． 故答案为：1184． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【难度】0.62 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【答案】函数关系式为，山高为 【难度】0.75 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可． 【详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【难度】0.65 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $