重难点专题01 函数（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-表示-图像”为逻辑主线，通过分类提炼解题方法，强化函数核心素养，实现从概念理解到动态应用的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的相关概念|6+6+8题|函数概念“唯一对应”判定法；自变量取值范围分类求解；函数值代入验证法|从概念本质（唯一对应）到量化计算（取值范围、函数值），构建函数基础认知链| |函数的表示方法|8+9题|三种表示法转换技巧；待定系数法求解析式；实际问题数量关系建模|衔接概念与表达，通过列表-解析式-图像转化，培养模型意识与数据观念| |函数的图像|9+11+9题|竖线判定法识别图像；分段图像关键点提取；动点问题运动阶段分析法|从静态识别到动态分析，结合几何直观，提升抽象能力与推理意识|

重难点专题01 函数 模块一、函数的相关概念 重难点一、函数的概念 判断函数抓住核心标准：在一个变化过程中，给定自变量 x 一个确定值，y 有唯一数值与之对应。区分易错题型：一个 x 对应多个 y 则不是函数；图像判断可用竖线检验法，垂直 x 轴的直线与图像最多只有一个交点，做题紧扣 “唯一对应” 核心条件分辨。 1．（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【详解】解：观察可知，只有选项B中的图象，对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数，其他选项，均存在一个确定的的值，有2个值与之对应，不能表示是的函数. 2．（25-26八年级下·广东江门·期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断错误的是（     ） A．2是常量 B．是常量 C．是变量 D．是常量 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数的概念 【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量，数值发生变化的量称为变量，据此逐一判断即可． 【详解】解：水中涟漪不断扩大，过程中半径、圆周长的数值都发生变化，和是固定不变的数值，故是常量，是常量，是变量，是变量． 3．（25-26八年级下·广东中山·期末）某商店销售一种商品，每件商品的售价为10元，销售的总收入随销售数量的变化而变化，在这个问题中，自变量是（   ） A．售价 B．商品 C．总收入 D．销售数量 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数中自变量与因变量的概念，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到答案． 【详解】解：∵在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量， 又∵题目明确说明销售的总收入随销售数量的变化而变化， ∴本题中自变量是销售数量，故选D． 4．（25-26七年级下·重庆·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（     ） A．飞船的总质量 B．飞船的飞行高度 C．剩余燃料的质量 D．飞船的飞行时间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数的概念 【详解】解：∵在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量， 又根据题意，剩余燃料的质量随飞船飞行高度的增加而减少，飞行高度是主动变化的量， ∴自变量是飞船的飞行高度. 5．（21-22八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数的概念 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化的情况如表格所示：    碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 碗的高度（） 4 … 上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________ 【答案】 碗的数量 碗的高度 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系 【分析】在变化过程中，主动变化的量是自变量，随另一个量变化而被动改变的量是因变量． 【详解】解：碗的数量自主增减，碗的高度随着碗的数量而发生变化， 碗的数量是自变量，碗的高度是因变量． 重难点二、求自变量的取值范围 分四类情况分步求解：整式全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0；实际问题额外满足现实意义，如长度、人数大于 0。多限制条件取解集公共部分，联立不等式组求解，检验边界值能否取等，避免遗漏分式、根式隐藏限制条件。 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 【详解】对选项A，是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数； 对选项B，是二次根式形式，要求被开方数非负， 可得，解得，不是全体实数； 对选项C，是分式，要求分母不为零，可得，不是全体实数； 对选项D，是分式，要求分母不为零，可得，即，不是全体实数． 3．（25-26八年级下·河北邢台·期末）在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得 ， 移项得， 系数化为得． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）函数的定义域是_____． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】根据分母不为零即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.81 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围． 【详解】（1）解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ， ， ， 三角形两边之和大于第三边， ，即 ， ， 又 ，即 ， ， 自变量 的取值范围为 ； （2）解：当 时，． 重难点三、求自变量的值或函数值 已知 x 求 y 直接代入解析式，化简计算得出函数值；已知 y 反求 x，把函数值代入式子，解关于 x 的方程。计算完成后，把解带回原式验证，同时核对 x 是否在自变量取值范围内，不在范围的解直接舍去，防止出现无意义的增根。 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求自变量的值或函数值 【详解】将代入关系式得． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】根据函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：∵函数图象上的点满足函数解析式， ∴将各选项横坐标代入计算： A、当时，，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，，与点的纵坐标相等，故C符合题意； D、当时，，故D不符合题意． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】分别求出和时y的值，即可得到y增加的值． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴y的值增加了． 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（     ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】根据变量与函数的基本概念，及题目中表格给出的数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解： A. 与都是变量，的变化引起的变化，因此是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B. 由表格可知，当时，，因此所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C. 弹簧不挂重物时，即，由表格得此时，不是，本选项错误，符合题意； D. 由表格数据可得，，，以此类推，可知物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将代入给定的气温与海拔的关系式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得． 6．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将代入已知函数关系式，计算即可得到电阻的值即可． 【详解】解：把代入得：， 即当温度时，电阻． 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知一个正方形的边长为（），这个正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)当时，等于多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据正方形的周长公式列式即可； （2）把代入（1）的关系式求解即可． 【详解】（1）解：与之间的关系式为． （2）解：当时，． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 6 … 高度 5.2 6.4 __________ 8.8 10.0 __________ … (1)请将表格补充完整： (2)若有个碗整齐叠放在桌面上，高度为，则与之间的关系式为__________（为正整数）； (3)当碗的数量为15个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)；； (2)； (3)这些碗的高度为． 【难度】0.65 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）由表格可知，每增加1个碗，高度增加，据此计算填表即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度每增加1个碗增加的高度（碗的总数），从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，6个碗的高度为． （2）解：由题意可得，， 即与之间的关系式为； （3）解：当时，， 即当碗的数量为15个时，这些碗的高度为． 模块二、函数的表示方法 重难点一、函数的三种表示方法 解析式法、列表法、图像法各有优势，解题按需转换。列表法直观读取对应数值；解析式方便计算任意自变量对应函数值；图像法清晰观察变化趋势。题型常考三者互相转化，根据表格坐标提炼解析式，结合解析式描点绘制函数图像，灵活切换解题。 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 5．（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、用表格表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数． 6．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 【答案】52 【难度】0.85 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 8．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【难度】0.65 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不再发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． 重难点二、函数解析式 求解析式常用待定系数法，先设对应函数通用式子，再代入已知 x、y 对应点坐标，解方程求出式子内常数。实际应用题先梳理数量关系，根据等量关系直接列出解析式，写完后标注自变量取值范围。检验时代入表格数值，确认解析式数值匹配无误。 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】函数解析式 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数解析式 【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求解． 【详解】∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的水量为升， 又∵剩余水量总水量流出水量，总水量为升， ∴． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【分析】根据总金额由上门费和购买树苗的费用组成，将两部分费用相加得到总金额，即可推导出函数解析式． 【详解】解：由题意得，． 4．（25-26八年级下·湖北·期末）某人一年内的月平均收入为元，设他在这一年（12个月）的总收入为元，则下列表示与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】函数解析式 【详解】解：∵总收入等于月平均收入乘以总月数，一年共有个月，已知月平均收入为元，总收入为元， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数解析式 【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为36cm，其中一边长为， ∴另一边长为， ∵面积为， ∴． 6．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）某地居民用电度数（度）和应交电费（元）对应数据如下：观察表格里与的对应规律，写出和的关系式：_________（）． 用电度数 0 10 20 30 … 电费 0 5.5 11 16.5 … 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【详解】解：由题知，用电度数每增加10度，电费增加5.5元， 和的关系式为． 7．（26-27九年级·上海·暑假作业）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间 （小时）之间的函数解析式是_________，自变量 的取值范围 __________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【详解】解：根据题意，点燃后每小时耗去，则小时后，耗去，而蜡烛原长为， 故有与之间的函数关系式是， 又由于，可得． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 【答案】（的整数） 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、函数解析式 【分析】观察所给的式子，得出规律即可． 【详解】解：∵，，， ∴设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为（的整数）． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，自变量取值范围为 (2) 函数关系式为，自变量取值范围为 (3) 函数关系式为，自变量取值范围为 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】 本题需要根据实际问题中的等量关系推导函数关系式，再结合实际意义和题目给定的限制条件确定自变量的取值范围，用到总价单价数量关系、三角形面积公式、圆面积公式等初中基础知识． 【详解】（1）解：由题意得，水费等于每吨水费乘以用水吨数 因此 用水吨数不能为负数，且题目要求每月每户用水不超过， 因此自变量取值范围为； （2）解：由三角形面积公式可得 整理得 三角形的底边长为正数，因此自变量取值范围为； （3）解：由题意得，圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，而大圆半径为，面积为，小圆面积为 因此 小圆半径为正数，且小于大圆半径， 因此自变量取值范围为． 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）书法是我国特有的一种传统艺术．小明暑假在家练习毛笔书法，他计划每天练习个字，若小明平均每分钟可以练习个字，则每天需要练习分钟，随的变化而变化． (1)是否是关于的函数？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）；若不是，请说明理由； (2)若小明平均每分钟可以练习个字，则他每天需要练习多少分钟？ 【答案】(1)是关于的函数，函数解析式为 (2)他每天需要练习分钟 【难度】0.65 【知识点】函数的概念、函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中存在两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数．进行判断即可； （2）把代入（1）中的解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，当小明平均每分钟可以练习个字时，练习的时间y随x的变化而变化，且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是关于x的函数． 由得， 所以关于的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：他每天需要练习30分钟． 模块三、函数的图像 重难点一、函数图象识别 用竖线判定法区分函数与非函数图像，垂直横轴直线仅能交图像一次。动态图像识别重点观察分段走势：上升代表 y 随 x 增大而变大，下降则相反，水平线段说明 y 值恒定。结合题干场景匹配图像变化节奏，排除不符合增减趋势、取值范围的错误图像。 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用18分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图象识别 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①分钟，②分钟，③分钟，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用18分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为48； 观察各选项图象，只有D选项符合． 2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（     ） ①圆的周长是半径的函数；    ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数；    ④下图中，曲线表示是的函数． A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【详解】解：①根据圆的周长公式可知：对应r的值都有唯一一个C与之对应，所以圆的周长是半径的函数，说法正确； ②表达式中，对应x的每一个值，都有一个y与之对应，所以是的函数，说法正确； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，所以是的函数，说法正确； ④由图象可知：对应x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，曲线表示是的函数，说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 3．（25-26八年级下·天津西青·期末）汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图象识别、用图象表示变量间的关系 【详解】解：当汽车进入时逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内不变，当汽车出来时逐渐变小， 因此与之间的关系可以用下图近似的刻画： 4．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）潜艇潜行，全仗浮力托举；然水压如山，深潜受限，过深则艇体难承，二者制衡，方保深海安稳．已知液面下深度为h处液体压强，其中ρ取，g取．如图，某型号潜艇准备下潜到水下某深处（未达到最大潜水深度）作业，这一过程中潜艇受到的水的压强p与深度h的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、函数图象识别 【分析】将ρ取，g取，代入，得到，此函数为正比例函数，由此得到函数图象． 【详解】解：∵，其中ρ取，g取． ∴， ∴压强p与深度h的函数关系为正比例函数， 根据图象，只有选项A符合． 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）为了解科普知识，晓霖同学星期天从家里跑步到书房，查看了一会儿科普资料书，然后沿原路走回家．下面能反映当天晓霖同学走的路程（单位：）与时间（单位：）之间关系的大致图象是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】根据场景以及函数关系得出函数图象． 【详解】解：从家里跑步到书房，随的增大而增大； 在书房查看了一会儿科普资料书，的值不变； 然后沿原路走回家，随的增大而增大； 且跑步的图象比走路的图象陡， ∴图象为 6．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）一名外地游客从营口东（甲地）出发，自驾去往外的鲅鱼圈山海广场（乙地），车辆匀速行驶了，到达西海服务区（丙地），司机停车休息后继续行驶，又经过了，到达鲅鱼圈山海广场．下列图象中，能大致描述游客在行驶过程中，距离终点乙地（鲅鱼圈山海广场）的路程（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图象识别 【分析】车辆匀速行驶20分钟，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，客车离乙地距离不变；继续行驶，客车离乙地距离逐渐变短最后为，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，图象分三段： 第一段：行驶，由到20，客车离乙地距离变短，随的增大而减少； 第二段：停留，由20到30，客车离乙地距离不变，随的增大而不变； 第三段：再行驶，由30到45，客车离乙地距离变短，随的增大而减少，最后为； 综上可知，符合题意的只有选项C． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.76 【知识点】函数图象识别 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 8．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲工程队铺设一条光缆，施工一段时间后，遇暴雪天气停工了一段时间．复工后为了提高工作效率，乙工程队加入了光缆铺设工作．下面能够正确反映此次光缆铺设工作情况的是图（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象识别 【详解】解：由题意得：刚开始施工的速度慢，暴雪停工几天，后来施工速度加快， 故选项D符合题意. 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 【答案】 图（3） 【难度】0.85 【知识点】函数图象识别 【分析】根据题意将体温变化过程分为四个阶段，分析每个阶段体温的增减趋势及关键时间点的体温数值，结合图象的特征进行判断即可. 【详解】解：根据题意可知，患者的体温变化过程如下：早晨烧得很厉害，说明早晨时段体温较高； 中午时体温基本正常，说明从早晨到中午体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 下午体温又开始上升，说明从中午到下午体温呈上升趋势； 直到夜里他才感觉体温基本正常了，说明从下午到夜里体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 观察四个图象： 图（1）体温随时间推移一直下降，不符合题意； 图（2）体温先上升后下降，仅有一个变化转折点，不符合题意； 图（4）在时至时体温呈下降趋势，不符合“下午体温又开始上升”的描述； 图（3）体温在时左右较高，时左右降至最低，时左右又升高，时左右降至最低，符合“高低高低”的变化特征，符合题意. 重难点二、从函数的图象获取信息 先看清横、纵坐标代表的实际含义，再分区间读取关键点：起点、终点、拐点、交点坐标。拐点代表数量关系发生变化，交点代表两个变量数值相等；结合坐标计算线段长度、变化速率，提取最值、取值范围，答题结合图像分段描述变化规律，信息提取完整不遗漏。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】先求出快递车的行驶速度，再求出快递车的行驶总时间，由此即可． 【详解】解：由函数图象可知，快递车的行驶速度为， ∴往返过程中，快递车的行驶总时间为， ∵在每个快递点卸包裹的时间相同， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 2．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：李华从家跑步去体育场，在体育场锻炼后，去早餐店吃米粉，最后散步走回家．其中表示时间，表示李华离家的距离．根据图像提供的信息，以下说法错误的是（   ） A．早餐店离家的距离为1.5千米 B．从出门开始，李华到达早餐店共花了45分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．李华从家到体育场的平均速度是8千米/小时 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图像横纵坐标表示的意义，结合图像各段的变化情况，分别计算路程、时间及速度进行判断即可求解． 【详解】解：由图像可知：轴表示离家的距离，轴表示时间.A.早餐店对应的时间段是至分钟，此时，即早餐店离家千米，故A说法正确； B.李华到达早餐店的时刻是，即从出门开始共花了分钟，故B说法正确； C.体育场离家千米，早餐店离家千米，两地距离为（千米），故C说法正确； D.李华从家到体育场用了分钟，路程为千米，分钟小时小时，平均速度为（千米/小时），故D说法错误.故选D． 3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（     ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数大于，车速应大于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象获得信息，并灵活处理应用信息解答即可. 【详解】解：A、根据图象得，汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，正确，不符合要求； B、当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，正确，不符合要求； C、要使这款轮胎的摩擦系数大于，车速应小于，原说法错误，符合要求； D、若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，正确，不符合要求. 4．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（     ） A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．冬至 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】观察函数图象，找出纵坐标小于的点对应的节气． 【详解】解：由图象可知，惊蛰、立夏、秋分对应的白昼时长均大于小时，冬至对应的白昼时长小于小时， 白昼时长不足小时的节气是冬至 ． 5．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）爸爸和孩子周末骑行，孩子先从家出发，爸爸晚12分钟骑车从家出发追赶孩子．两人的骑行路程（单位：千米）关于孩子出发时间（单位：分钟）的函数图像如图所示，在分钟时，两人都骑行了4.8千米．则爸爸出发后________分钟追上孩子． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【详解】由函数图像可知，爸爸晚 12 分钟从家出发， 所以爸爸出发后追上孩子所用的时间为 （分钟）． 6．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是______时． 【答案】14 【难度】0.9 【知识点】从函数的图象获取信息 【详解】根据函数图象可知，最高温度对应的时刻为14时， 即这一天气温最高的时刻是14时． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为__________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】由图象可知，快递车行驶米所需时间为分钟，据此可得快递车行驶的总时间为（分钟），进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需的时间为（）． 所以快递车行驶的总时间为（）． 所以快递车在每个快递点卸包裹的时间为（）． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 【答案】(1)自变量是时间，因变量是离家距离 (2)分钟 (3)小明的家距离体育馆1500米 (4)小明在等红绿灯前的速度为120米/分 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，小明等待红绿灯花了（分钟）； （3）略 （4）解：（米/分）， 答：小明在等红绿灯前的速度为120米/分． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)图中点表示的实际意义是______； (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ (3)小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【答案】(1)小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分 (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率增加得较快，这一阶段可能在快跑（说法合理即可） (3)本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据横坐标和纵坐标的意义，即可求解． （2）根据函数图象，即可求解． （3）找出纵坐标在120～175之间对应的横坐标范围，即可求解． 【详解】（1）解：小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分． （2）略 （3）（分钟）， 答：本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟． 10．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 【答案】(1)时间 (2)1500；4 (3)450 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）利用速度等于路程除以时间，计算出各个区段的速度即可作答． 【详解】（1）解：图中自变量是时间； （2）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了（分钟）； （3）解：在分钟之间，小李花了6分钟走了米， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了：（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了4分钟做了停留，即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 即小李的最快速度为米/分钟． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B． 甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)出发时，甲和乙之间的距离是_____米； (2)乙在补给站休息了多少分钟？ (3)甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 【答案】(1)600； (2)10分钟； (3)10或22或分钟. 【难度】0.48 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）求出乙步行和骑车的速度，再计算时间即可； （3）求出甲乙的速度，再按甲追上乙前后分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0分时，距离是600米， 即出发时甲和乙之间的距离为600米. （2）解：乙步行速度为（米/分钟）， 骑车速度为（米/分钟）. 骑行时间为（分钟）. ∴乙休息时间为（分钟）． 答：乙在补给站休息10分钟. （3）解：甲速度为（米/分钟）， 甲追上乙的时间为（分钟） 由（2）可知：. 设甲步行t分钟，甲、乙两人之间的距离为400米， 甲追上乙前即时， 列方程得 解得：，符合题意； 甲追上乙后，乙骑行前即时， 则， 解得，符合题意； 乙骑行后即时，则 解得，符合题意； 答：甲步行10或22或分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 重难点三、动点问题的函数图象 解题分三步分析：先梳理动点运动路径，拆分匀速、静止、折返等运动阶段；再分析每个阶段横纵坐标的变化规律，判断图像上升、下降、水平分段；结合线段长度计算每段图像对应自变量取值区间，排除运动速度、距离不符的干扰图像，精准匹配分段函数图像。 1．（2026·甘肃白银·一模）如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】根据题意，先求出当点P在上运动时的面积即a的值，再根据点沿运动到D时的路程来求b的值即可． 【详解】解：当点P在上运动时， ∴， 由图知，点P沿运动到D时，路程为． ∴， ∴． 2．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.81 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵当时，取最小值，即， 当点P与点C 重合时取最大值，即， 作如图 ∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段检测）某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了函数图像的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据题意判断函数图像的起伏进行判断即可． 【详解】解：某人骑车沿直线匀速行驶，先前进了，这一过程反映在图象上应是自原点出发的一段上升线； 休息了一段时间，时间增加，但距离没有变化，故应是一段水平线； 按原路返回，这一段反映在图象上应是一段下降线； 再前进了，这一过程反映在图象上应是一段上升线，由于行驶中一直保持匀速，故第一段和最后一段上升线的倾斜度相同． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析在不同边上的面积变化情况即可求解． 【详解】解：由题得：当点在上时，不存在， 当点在上时，的面积随的增大而增大， 当点在上时，的面积等于矩形的一半，固定不变， 当点在上时，的面积随的增大而减小， 综上所述，只有D符合题意， 故选：D． 5．（24-25八年级下·河南开封·阶段检测）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点在边上．设，的面积为，下列图象中表示与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象关键是发现随的变化而变化的趋势． 根据的面积可得答案． 【详解】解：∵的面积， ， 故选：A． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图②所示，则长方形的面积为__________． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【详解】解：根据题意得，当点P在上时，y随x的增大而增大；当点P在上时，y为定值；当点P在上时，y随x的增大而减小， ∴由图像可得，，， ∴长方形的面积为． 8．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【难度】0.85 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 函数 模块一、函数的相关概念 重难点一、函数的概念 判断函数抓住核心标准：在一个变化过程中，给定自变量 x 一个确定值，y 有唯一数值与之对应。区分易错题型：一个 x 对应多个 y 则不是函数；图像判断可用竖线检验法，垂直 x 轴的直线与图像最多只有一个交点，做题紧扣 “唯一对应” 核心条件分辨。 1．（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东江门·期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断错误的是（     ） A．2是常量 B．是常量 C．是变量 D．是常量 3．（25-26八年级下·广东中山·期末）某商店销售一种商品，每件商品的售价为10元，销售的总收入随销售数量的变化而变化，在这个问题中，自变量是（   ） A．售价 B．商品 C．总收入 D．销售数量 4．（25-26七年级下·重庆·期末）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（     ） A．飞船的总质量 B．飞船的飞行高度 C．剩余燃料的质量 D．飞船的飞行时间 5．（21-22八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化的情况如表格所示：    碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 碗的高度（） 4 … 上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________ 重难点二、求自变量的取值范围 分四类情况分步求解：整式全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0；实际问题额外满足现实意义，如长度、人数大于 0。多限制条件取解集公共部分，联立不等式组求解，检验边界值能否取等，避免遗漏分式、根式隐藏限制条件。 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北邢台·期末）在函数中，自变量的取值范围是______． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）在函数中，自变量x的取值范围是______． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）函数的定义域是_____． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 重难点三、求自变量的值或函数值 已知 x 求 y 直接代入解析式，化简计算得出函数值；已知 y 反求 x，把函数值代入式子，解关于 x 的方程。计算完成后，把解带回原式验证，同时核对 x 是否在自变量取值范围内，不在范围的解直接舍去，防止出现无意义的增根。 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（     ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 6．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知一个正方形的边长为（），这个正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)当时，等于多少？ 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 6 … 高度 5.2 6.4 __________ 8.8 10.0 __________ … (1)请将表格补充完整： (2)若有个碗整齐叠放在桌面上，高度为，则与之间的关系式为__________（为正整数）； (3)当碗的数量为15个时，求这些碗的高度． 模块二、函数的表示方法 重难点一、函数的三种表示方法 解析式法、列表法、图像法各有优势，解题按需转换。列表法直观读取对应数值；解析式方便计算任意自变量对应函数值；图像法清晰观察变化趋势。题型常考三者互相转化，根据表格坐标提炼解析式，结合解析式描点绘制函数图像，灵活切换解题。 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   6．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 8．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 重难点二、函数解析式 求解析式常用待定系数法，先设对应函数通用式子，再代入已知 x、y 对应点坐标，解方程求出式子内常数。实际应用题先梳理数量关系，根据等量关系直接列出解析式，写完后标注自变量取值范围。检验时代入表格数值，确认解析式数值匹配无误。 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖北·期末）某人一年内的月平均收入为元，设他在这一年（12个月）的总收入为元，则下列表示与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 6．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）某地居民用电度数（度）和应交电费（元）对应数据如下：观察表格里与的对应规律，写出和的关系式：_________（）． 用电度数 0 10 20 30 … 电费 0 5.5 11 16.5 … 7．（26-27九年级·上海·暑假作业）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间 （小时）之间的函数解析式是_________，自变量 的取值范围 __________． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）书法是我国特有的一种传统艺术．小明暑假在家练习毛笔书法，他计划每天练习个字，若小明平均每分钟可以练习个字，则每天需要练习分钟，随的变化而变化． (1)是否是关于的函数？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）；若不是，请说明理由； (2)若小明平均每分钟可以练习个字，则他每天需要练习多少分钟？ 模块三、函数的图像 重难点一、函数图象识别 用竖线判定法区分函数与非函数图像，垂直横轴直线仅能交图像一次。动态图像识别重点观察分段走势：上升代表 y 随 x 增大而变大，下降则相反，水平线段说明 y 值恒定。结合题干场景匹配图像变化节奏，排除不符合增减趋势、取值范围的错误图像。 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用18分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（     ） ①圆的周长是半径的函数；    ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数；    ④下图中，曲线表示是的函数． A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26八年级下·天津西青·期末）汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（  　  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）潜艇潜行，全仗浮力托举；然水压如山，深潜受限，过深则艇体难承，二者制衡，方保深海安稳．已知液面下深度为h处液体压强，其中ρ取，g取．如图，某型号潜艇准备下潜到水下某深处（未达到最大潜水深度）作业，这一过程中潜艇受到的水的压强p与深度h的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）为了解科普知识，晓霖同学星期天从家里跑步到书房，查看了一会儿科普资料书，然后沿原路走回家．下面能反映当天晓霖同学走的路程（单位：）与时间（单位：）之间关系的大致图象是（     ） A．B．C． D． 6．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）一名外地游客从营口东（甲地）出发，自驾去往外的鲅鱼圈山海广场（乙地），车辆匀速行驶了，到达西海服务区（丙地），司机停车休息后继续行驶，又经过了，到达鲅鱼圈山海广场．下列图象中，能大致描述游客在行驶过程中，距离终点乙地（鲅鱼圈山海广场）的路程（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲工程队铺设一条光缆，施工一段时间后，遇暴雪天气停工了一段时间．复工后为了提高工作效率，乙工程队加入了光缆铺设工作．下面能够正确反映此次光缆铺设工作情况的是图（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 重难点二、从函数的图象获取信息 先看清横、纵坐标代表的实际含义，再分区间读取关键点：起点、终点、拐点、交点坐标。拐点代表数量关系发生变化，交点代表两个变量数值相等；结合坐标计算线段长度、变化速率，提取最值、取值范围，答题结合图像分段描述变化规律，信息提取完整不遗漏。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 2．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：李华从家跑步去体育场，在体育场锻炼后，去早餐店吃米粉，最后散步走回家．其中表示时间，表示李华离家的距离．根据图像提供的信息，以下说法错误的是（   ） A．早餐店离家的距离为1.5千米 B．从出门开始，李华到达早餐店共花了45分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．李华从家到体育场的平均速度是8千米/小时 3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（     ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数大于，车速应大于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 4．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（     ） A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．冬至 5．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）爸爸和孩子周末骑行，孩子先从家出发，爸爸晚12分钟骑车从家出发追赶孩子．两人的骑行路程（单位：千米）关于孩子出发时间（单位：分钟）的函数图像如图所示，在分钟时，两人都骑行了4.8千米．则爸爸出发后________分钟追上孩子． 6．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是______时． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为__________． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)图中点表示的实际意义是______； (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ (3)小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 10．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B． 甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)出发时，甲和乙之间的距离是_____米； (2)乙在补给站休息了多少分钟？ (3)甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 重难点三、动点问题的函数图象 解题分三步分析：先梳理动点运动路径，拆分匀速、静止、折返等运动阶段；再分析每个阶段横纵坐标的变化规律，判断图像上升、下降、水平分段；结合线段长度计算每段图像对应自变量取值区间，排除运动速度、距离不符的干扰图像，精准匹配分段函数图像。 1．（2026·甘肃白银·一模）如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 2．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段检测）某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南开封·阶段检测）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点在边上．设，的面积为，下列图象中表示与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图②所示，则长方形的面积为__________． 8．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $