第1章 直线与方程（复习讲义）数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义以“直线与方程”为核心，通过表格系统梳理复习要点与重难点，将倾斜角与斜率、直线方程形式、位置关系判定等知识按逻辑递进构建体系，用对比表格呈现直线方程五种形式的适用条件，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+难点”的分层设计，涵盖倾斜角计算、三点共线判定等11类基础题型及含参数双直线、线段最值等难点问题，通过典例与变式题培养数学思维与运算能力。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握知识与方法。

第1章 直线与方程 复习要点 1.直线倾斜角与斜率的定义、取值范围及计算方法 2.直线方程的五种形式及适用条件 3.两直线平行、垂直的判定与性质 4.两直线交点求解与直线系方程应用 5.点到直线、两平行线间的距离公式 6.直线对称问题与综合应用 复习重难点 重点：直线斜率计算、直线方程求解、两直线位置关系判定、距离公式应用 难点：含参数的直线位置关系讨论、直线方程的灵活选用、直线对称与最值综合问题 知识点直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 要点速测 1．（多选题）（2026·高二·广西钦州·期末）对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 【答案】AC 【解析】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC 知识点直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 要点速测 2．（2026·高二·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 知识点直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 要点速测 3．（2026·高二·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 知识点三种距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 要点速测 4．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 题型一：倾斜角与斜率计算 【典例1】（2026·高二·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【解析】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 【变式1-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的倾斜角为30°， 直线的斜率. 故选：C 【变式1-2】（2026·高二·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】. 【变式1-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 题型二：三点共线判定 【典例2】（2026·高二·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 【变式2-1】（2026·高二·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【解析】由，解得， 故选：D． 【变式2-2】（2026·高二·江苏连云港·期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则， 即，解得． 故选：D 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）已知，，三点共线，则实数（    ） A．10 B．4 C．－4 D．－10 【答案】A 【解析】由题可得：， 故选：A 题型三：直线与线段相交 【典例3】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示， 若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式3-1】（2026·高二·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，   或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D 【变式3-2】（2026·高二·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B 【变式3-3】（2026·高二·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 题型四：直线方程求解 【典例4】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【解析】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 【变式4-1】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【解析】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 【变式4-2】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 【变式4-3】（2026·高二·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 题型五：坐标轴围三角形问题 【典例5】（2026·高二·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式5-1】（2026·高二·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【解析】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 【变式5-2】（2026·高二·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高二·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 【答案】． 【解析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 题型六：直线过定点问题 【典例6】（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【解析】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高二·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【解析】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 【变式6-2】（2026·高二·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． 【答案】 【解析】， 令，则， ∴直线l始终过定点， 故答案为：． 【变式6-3】（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. 【答案】 【解析】， 令，解得， 故直线恒过定点. 故答案为： 题型七：两直线位置关系判定 【典例7】（2026·高二·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【解析】因为， 所以，解得. 【变式7-1】（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 【变式7-2】（2026·高二·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【解析】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 【变式7-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，得. 题型八：距离公式基础应用 【典例8】（2026·高二·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【解析】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 【变式8-1】（2026·高二·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【变式8-2】（2026·高二·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【解析】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 【变式8-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【解析】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 题型九：点关于直线对称 【典例9】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【解析】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式9-1】（2026·高二·全国·单元测试）在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【答案】 【解析】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，的重心，直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 由光的反射定律知，三点共线，则，即，而， 所以，即. 故答案为： 【变式9-2】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 【变式9-3】（2026·高二·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【解析】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 题型十：直线关于点对称 【典例10】（8.2直线的交点坐标与距离公式【练】【2026天津专版大一轮】）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 【变式10-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【解析】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 【变式10-2】（2026·高二·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式10-3】直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 题型十一：直线关于直线对称 【典例11】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【变式11-1】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【答案】 【解析】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 【变式11-2】（2026·高二·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为___________. 【答案】 【解析】设为所求直线上一点，它关于的对称点为， 则可得， 由题可得在直线上， 所以，整理可得所求的对称直线方程为. 故答案为：. 【变式11-3】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是________. 【答案】 【解析】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 难点一：含参数双直线问题 含参数双直线问题以分类讨论与几何转化为核心，覆盖位置关系判定、定点求解、交点轨迹三类核心题型。 判定位置关系时，先讨论斜率存在性：斜率存在时，按平行（斜率相等且截距不等）、垂直的条件计算；斜率不存在时单独验证，避免漏解。 定点问题用分离参数法，将直线方程拆分参数项与常数项，令参数系数为0，解方程组得定点坐标。 交点轨迹采用交轨法，联立两直线方程消去参数得到轨迹方程，需剔除不合理解。 解题优先结合几何性质简化运算，最后验证边界与特殊情况。 难点精练 1．（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为曲线，表示的是两条直线， 直线和直线. 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为； 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为，则的取值范围为； 当时，直线为直线，此时该直线与线段无公共点； 综上，的取值范围为. 故答案为：. 2．（2026·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 3．（2026·高二·天津·阶段检测）已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】根据的方程及，易知时，,恒过定点， 根据的方程，易知时，, 恒过定点. 则，则的最大值即求的最大值， 由，的方程可得： 当时，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以可得， 所以交点的轨迹为以为直径的圆， 所以的最大值即为直径， 即两点重合时，最大，最大值为. 故答案为：. 4．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知动直线和，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为______. 【答案】10 【解析】因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 又因，所以直线与直线垂直， 即，所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 难点二：线段和差最值问题 线段和最小值：两定点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一定点的连线长度即为最小值；两点异侧时直接连线，与直线交点即为最值点。 线段差最大值：两定点在直线异侧时，作其中一点的对称点，连线延长线与直线的交点使差值最大；两点同侧时直接连线延长即可。 解题先判断点与直线的位置，通过对称统一点位关系，转化为共线场景计算，最后验证等号成立条件。 难点精练 5．（2026·高二·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为； 由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 6．（2026·高二·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则最小值为_______. 【答案】 【解析】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小， 如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 7．（2026·高二·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 8．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 【答案】 【解析】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 基础达标 1．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 2．（2026·高二·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【解析】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 3．（2026·高二·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于直线与垂直，故，解得． 4．（2026·高二·河南平顶山·期末）经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得，即，解得或， 所以两抛物线的交点为，， 故过两个交点的直线方程为. 5．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 6．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 7．（多选题）（2026·高二·广西河池·期末）已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ACD 【解析】选项A：直线可化为，斜率，因为且，所以倾斜角，A正确； 选项B：令，得，所以截距是，B错误； 选项C：原点到直线的距离公式：，C正确； 选项D：直线与轴交点，与轴交点，则，D正确. 故选：ACD 8．（多选题）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 【答案】AD 【解析】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 9．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【解析】是直线的一个方向向量，则的斜率为 10．（2026·高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】根据题意画出图象如下图所示： 易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 11．（2026·高二·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【解析】因为， 所以，解得. 12．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【解析】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 13．（2026·高一·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 能力进阶 1．（2026·高二·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 2．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 3．（2026·高二·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 4．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 5．（2026·天津红桥·一模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 7．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 8．（多选题）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 9．（多选题）（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 10．（多选题）（2026·高二·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【解析】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 11．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）若直线与直线平行，则__________. 【答案】 【解析】由题意，则， 所以，解得. 故答案为： 12．（2026·高二·北京西城·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为：，即 故答案为： 13．（2026·高二·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【解析】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 14．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【解析】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 15．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 16．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知顶点，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的角平分线与边的交点坐标． 【解析】（1）由题意，的中点坐标为，，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理得； （2）由题意，所在的直线方程：，所在的直线方程：， 所在的直线方程：， 设所求交点坐标为，， 则有，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以交点坐标为. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程 复习要点 1.直线倾斜角与斜率的定义、取值范围及计算方法 2.直线方程的五种形式及适用条件 3.两直线平行、垂直的判定与性质 4.两直线交点求解与直线系方程应用 5.点到直线、两平行线间的距离公式 6.直线对称问题与综合应用 复习重难点 重点：直线斜率计算、直线方程求解、两直线位置关系判定、距离公式应用 难点：含参数的直线位置关系讨论、直线方程的灵活选用、直线对称与最值综合问题 知识点直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 要点速测 1．（多选题）（2026·高二·广西钦州·期末）对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 知识点直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 要点速测 2．（2026·高二·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 要点速测 3．（2026·高二·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三种距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 要点速测 4．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 题型一：倾斜角与斜率计算 【典例1】（2026·高二·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【变式1-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 题型二：三点共线判定 【典例2】（2026·高二·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（2026·高二·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【变式2-2】（2026·高二·江苏连云港·期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）已知，，三点共线，则实数（    ） A．10 B．4 C．－4 D．－10 题型三：直线与线段相交 【典例3】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【变式3-3】（2026·高二·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：直线方程求解 【典例4】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【变式4-1】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【变式4-2】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【变式4-3】（2026·高二·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 题型五：坐标轴围三角形问题 【典例5】（2026·高二·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【变式5-1】（2026·高二·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【变式5-2】（2026·高二·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【变式5-3】（2026·高二·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 题型六：直线过定点问题 【典例6】（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【变式6-1】（2026·高二·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【变式6-2】（2026·高二·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． 【变式6-3】（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. 题型七：两直线位置关系判定 【典例7】（2026·高二·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【变式7-1】（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【变式7-2】（2026·高二·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【变式7-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 题型八：距离公式基础应用 【典例8】（2026·高二·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【变式8-1】（2026·高二·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【变式8-2】（2026·高二·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【变式8-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 题型九：点关于直线对称 【典例9】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【变式9-1】（2026·高二·全国·单元测试）在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【变式9-2】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【变式9-3】（2026·高二·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 题型十：直线关于点对称 【典例10】（8.2直线的交点坐标与距离公式【练】【2026天津专版大一轮】）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【变式10-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【变式10-2】（2026·高二·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【变式10-3】直线关于点对称的直线的方程为________． 题型十一：直线关于直线对称 【典例11】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【变式11-1】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【变式11-2】（2026·高二·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为___________. 【变式11-3】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是________. 难点一：含参数双直线问题 含参数双直线问题以分类讨论与几何转化为核心，覆盖位置关系判定、定点求解、交点轨迹三类核心题型。 判定位置关系时，先讨论斜率存在性：斜率存在时，按平行（斜率相等且截距不等）、垂直的条件计算；斜率不存在时单独验证，避免漏解。 定点问题用分离参数法，将直线方程拆分参数项与常数项，令参数系数为0，解方程组得定点坐标。 交点轨迹采用交轨法，联立两直线方程消去参数得到轨迹方程，需剔除不合理解。 解题优先结合几何性质简化运算，最后验证边界与特殊情况。 难点精练 1．（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 2．（2026·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为__________. 3．（2026·高二·天津·阶段检测）已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 4．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知动直线和，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为______. 难点二：线段和差最值问题 线段和最小值：两定点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一定点的连线长度即为最小值；两点异侧时直接连线，与直线交点即为最值点。 线段差最大值：两定点在直线异侧时，作其中一点的对称点，连线延长线与直线的交点使差值最大；两点同侧时直接连线延长即可。 解题先判断点与直线的位置，通过对称统一点位关系，转化为共线场景计算，最后验证等号成立条件。 难点精练 5．（2026·高二·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 6．（2026·高二·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则最小值为_______. 7．（2026·高二·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 8．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 基础达标 1．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（2026·高二·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 3．（2026·高二·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·河南平顶山·期末）经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高二·广西河池·期末）已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 8．（多选题）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 9．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 10．（2026·高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 11．（2026·高二·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 12．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 13．（2026·高一·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 能力进阶 1．（2026·高二·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 3．（2026·高二·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津红桥·一模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 7．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 10．（多选题）（2026·高二·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 11．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）若直线与直线平行，则__________. 12．（2026·高二·北京西城·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 13．（2026·高二·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 14．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 15．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 16．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知顶点，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的角平分线与边的交点坐标． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $