第1章 直线与方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

第1章 直线与方程（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 4．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 5．（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知：“”，：“直线和直线互相垂直”，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 4．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 4．（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 5．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 题型6 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·海南海口·期中）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 题型7 光线反射问题 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 5．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 题型8 直线方程综合 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25高二上·四川成都·期中）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是假命题的是（    ） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 5．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【解答过程】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 5．（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【解答过程】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【解答过程】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【解题思路】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【解答过程】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【解答过程】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【解题思路】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知：“”，：“直线和直线互相垂直”，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据两直线垂直解得或，根据包含关系分析充分、必要条件. 【解答过程】若两直线垂直，则，解得：或， 显然集合是集合的真子集， 所以 “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 【答案】3 【解题思路】根据两直线平行的充要条件：且即可求解. 【解答过程】因为，由两直线平行的充要条件可得， 且， 解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【解答过程】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【解答过程】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意，利用垂直直线斜率关系，建立方程，结合点斜式方程，可得答案. 【解答过程】由题意得，直线与直线垂直， 则，解得， 故直线的方程为，即. 故选：B. 2．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【解答过程】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D. 3．（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【答案】 【解题思路】先求出的 斜率，再结合垂直得出斜率，最后点斜式写出直线方程化为斜截式即可. 【解答过程】因为直线l：的斜率为，直线与垂直得出斜率为， 所以与直线l：垂直的直线方程为,即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【解答过程】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （3）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解答过程】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 2．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【解题思路】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【解答过程】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则 或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则 或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B. 3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【解题思路】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【解答过程】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 4．（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【解题思路】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【解答过程】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 5．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型6 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解 【解答过程】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C. 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【解答过程】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南海口·期中）已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【解题思路】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【解答过程】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可设，，即可表示出点，利用计算可得，即可得，即可得直线的方程； （2）将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出，从而可得其最小值. 【解答过程】（1）由题意可设，，，，则， 若，则有，化简得， 故，，即， 故直线的方程为，即； （2）由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 题型7 光线反射问题 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解答过程】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【解答过程】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 3．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【解题思路】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 5．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 题型8 直线方程综合 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解题思路】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【解答过程】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川成都·期中）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是假命题的是（    ） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 【答案】C 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式和直线的方程的性质以及恒成立问题的应用判断、、、的结论． 【解答过程】对于A，当，时，直线系方程为，原点到直线的距离， 故存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等，故A正确； 对于B，当时，直线系方程为，直线经过定点， 当，，时，直线方程化为，显然不过第三象限， 当或或，直线，也不过第三象限， 所以直线不过第三象限，故B正确； 对于C，当时，直线系为，原点到直线系中所有直线的距离， 当时，则直线系为， 则原点到直线的距离，故C错误； 对于D，当，时，直线系为，设,， 则点到直线系中所有直线的距离， 设，,， 因为，则， 所以再,上，恒成立，则可得 故，故D正确 故选：C． 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【答案】； 【解题思路】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【解答过程】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径 ； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：；. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 5．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此 ， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$