专题03 集合中必考七类含参问题（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参问题七类题型，以分类讨论、空集分析、集合关系转化为核心方法，构建从元素关系到新定义问题的递进式逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|6题|分类讨论+互异性检验|从元素基本属性切入，奠定参数讨论基础| |元素个数|6题|空集优先+根的判别式|结合方程解的个数，深化参数对集合构成的影响| |集合相等|6题|元素对应相等+分类列举|通过集合等价性，强化参数取值的严谨性| |集合包含关系|6题|子集关系→不等式(组)|将集合间关系转化为参数范围问题，培养转化思想| |交并补结果|6题|运算结果→集合关系|以集合运算为桥梁，建立参数与集合特征的关联| |交并补混合运算|6题|分步运算+关系转化|综合运用集合运算规则，提升复杂问题处理能力| |新定义问题|6题|定义转化+参数分析|结合创新情境，考查知识迁移与应用意识|

专题03 集合中必考七类含参问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 2 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 4 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 8 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 10 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 13 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 16 【类型7 集合新定义中的求参问题】 19 知识点1 集合中含参问题的解题策略 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 1．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【解答过程】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述： 或1. 故选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解题思路】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【解答过程】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B. 3．（多选）（25-26高一上·广东·期末）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【解题思路】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【解答过程】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】 【解题思路】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【解答过程】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【解题思路】根据，分三种情况进行讨论，计算出的值，然后代入集合中，需要留意是否满足集合中元素的互异性． 【解答过程】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，，求实数的值. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【解答过程】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 7．（25-26高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【解答过程】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【解答过程】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 9．（多选）（25-26高一下·河南焦作·阶段检测）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【解答过程】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD. 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为____________. 【答案】 【解题思路】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【解答过程】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 11．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【解答过程】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 12．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【解题思路】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【解答过程】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）设，若，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义求得，得解. 【解答过程】由，可得，解得， . 故选：C. 14．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 15．（多选）（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【解题思路】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【解答过程】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为____________． 【答案】 【解题思路】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【解答过程】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 故答案为：． 17．（25-26高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【答案】1 【解题思路】由集合中元素的特点和相等集合的概念求出，然后求解即可. 【解答过程】由题意可得集合和集合为相等集合， 则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得： 或， 结合互异性，联立解得： 所以． 故答案为：. 18．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【解答过程】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2. 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A. 20．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 21．（多选）（25-26高一上·山东·期中）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 【答案】BCD 【解题思路】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【解答过程】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 22．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 24．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 25．（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 26．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果. 【解答过程】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 27．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）设，，若，则实数的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】AB 【解题思路】用列举法表示集合，再利用并集的结果分类讨论求解. 【解答过程】依题意，，由，得， 当时，；当时，，解得； 当时，，解得；当时，无解， 所以实数的值是，AB正确，CD不正确. 故选：AB 28．（25-26高一上·河北·期中）已知全集，则实数___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，结合补集的运算，以及元素与集合的关系，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由全集， 可得或，解得. 故答案为：. 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【解答过程】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 30．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 31．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 32．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 33．（多选）（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据集合运算求出，再依据列式求解. 【解答过程】，， ，则， 又， ，解得. 故选：ABC. 34．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】或或 【解题思路】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【解答过程】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 35．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【解答过程】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 36．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 【类型7 集合新定义中的求参问题】 37．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解. 【解答过程】根据题意可知集合中有两个元素， 又，，所以， 则. 故选：A. 38．（25-26高一上·全国·课后作业）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 【答案】D 【解题思路】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【解答过程】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 39．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【解题思路】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【解答过程】由 或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD. 40．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）对于集合，定义．若集合，且，则__________． 【答案】 【解题思路】由题意可得，则有或，解出对应的的值后求出、进行验证即可得. 【解答过程】由，则、、、， 由，故，则， 若，则，此时， 则，故不符； 则，则，此时， 则，， 则，符合要求； 故. 故答案为：. 41．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【解答过程】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 42．（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由见解析 (2) (3)或 【解题思路】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或， 或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【解答过程】（1）因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合中必考七类含参问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 2 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 3 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 4 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 5 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 6 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 7 【类型7 集合新定义中的求参问题】 7 知识点1 集合中含参问题的解题策略 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 1．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 3．（多选）（25-26高一上·广东·期末）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则__________. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，，求实数的值. 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 7．（25-26高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·河南焦作·阶段检测）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为____________. 11．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 12．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）设，若，则（   ） A． B．5 C． D．1 14．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 15．（多选）（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 16．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为____________． 17．（25-26高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 18．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（25-26高一上·山东·期中）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 22．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是____________． 23．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围． 24．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 25．（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）设，，若，则实数的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 28．（25-26高一上·河北·期中）已知全集，则实数___________． 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 30．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 31．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 33．（多选）（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为___________. 35．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 36．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【类型7 集合新定义中的求参问题】 37．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·全国·课后作业）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 39．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 40．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）对于集合，定义．若集合，且，则__________． 41．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 42．（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $