4.2.4 随机变量的数字特征（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，涵盖定义、性质及二项分布与超几何分布的均值计算。以投资项目收益问题导入，通过重复试验估计成功失败次数，引出平均收益计算，进而抽象出均值公式，形成从具体情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动教学，如投资决策、体检化验方案比较，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过“尝试与发现”引导探究均值性质，强化逻辑推理与数学抽象，例题与练习结合提升应用意识，助力学生理解知识本质，教师可依托清晰脉络高效开展教学。

人教B版(2019)选择性必修第二册 4.2.4 随机变量的数字特征 （第一课时） 第四章 概率与统计 1 学习目标 通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望(均值)，体现逻辑推理能力（重点） 掌握离散型随机变量的数学期望(均值)的性质，能用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题，体现数学计算能力（难点） 掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值，体现数学抽象能力（重点） 2 新课导入 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？ 3 新课学习 注意到成功的概率为p，指的是如果重复这个创业项目足够多次(设为n次)，那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n−np=n(1−p). 上述情境中，平均收益显然与p的取值有关. 例如，当p=1时，平均收益应为5000万元；而当p=0时，平均收益应为-3000万元. 一般情形下的平均收益该怎样确定呢？ 因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据可以估计为5000，5000，⋯，5000，−3000，−3000，⋯，−3000， np个 n(1-p)个 4 新课学习 因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当5000p+(−3000)(1−p)>0，即p>0.375时，就应该对创业项目进行资助. 另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示. X 5000 -3000  P  p 1-p 从上面的分析可以看出，式子 5000p+(−3000)(1−p) 刻画了X取值的平均水平. 5 新课学习 离散型随机变量的均值 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 …… xk …… xn   P p1 p2 ……  pk …… pn 6 新课学习 离散型随机变量的均值的意义 离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值. 在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置. 7 新课学习 情境与问题中收益X的均值为E(X)=5000p+(−3000)(1−p)=8000p−3000，分别取p=0.5与p=0.7，则 X的分布列可分别用图(1)与(2)表示.而且，在图(1)中，E(X)=1000；在图(2)中，E(X)=2600. 举个例子： 8 新课学习 例1：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 因为X只能取1，0这两个值，而且P(X=1)=p， 所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p 9 新课学习 二项分布与超几何分布的均值 二项分布的均值：若X服从参数为n，p的二项分布，即X∼B(n,p)，则E(X)=np； 10 新课学习 尝试与发现：已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 …… xk …… xn   P p1 p2 ……  pk …… pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. 那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢？ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b 11 新课学习 均值的性质 若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b (a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn) =aE(X)+b 12 新课学习 思考一下：求一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元的均值？ 事实上，如果项目成功，记W=1；如果项目失败，记W=0. 则可知W服从参数为p的两点分布，E(W)=p； 另一方面，W与收益X之间的关系可以写成X=8000W−3000，因此 E(X)=8000E(W)−3000=8000p−3000. 13 新课学习 例2：体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病. 已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立. 现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. (1)哪种化验方案更好？ (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 14 新课学习 (1)方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若记化验次数为X ，则X的取值范围是{1，6}. 因为5人都不患病的概率为(1−0.1)5=0.59049， 所以P(X=1)=0.59049，P(X=6)=1-0.59049=0.40951， 从而 E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755. 这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. (2)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X ， 从而可知 E(Y)=100E(X)≈304.76 即方案乙的平均化验费用为304.76元. 15 课堂练习 A 16 课堂练习 17 课堂练习 B 18 课堂练习 19 课堂练习 D 20 课堂练习 21 课堂练习 A 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 16 26 课堂练习 27 课堂总结 1.离散型随机变量的均值 2.二项分布与超几何分布的均值 3.均值的性质 28 谢 谢 观 看 29 超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即 X~H(N，n，M) ，则 . 2.10件不同的商品中含有1件次品，随机抽取4件，抽到的次品数的均值为( ) A. B. C. D. 解析：设次品数为X，则X的可能取值为0，1， 则 ， ， 故期望为 . 3.若随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.4 m 则 ( ) A.0.3 B.1 C.3 D.4 解析：根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，且每个概率取值属于区间 ， 则 ，即 ，解得 ， ， 当 时， 不满足条件， 当 时， ， ，满足条件， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 解析：依题意， EMBED Equation.DSMT4 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以X的数学期望是先增后减.故选：D $