4.2.4 随机变量的数字特征（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差、标准差、二项分布方差及性质，通过甲、乙射击运动员环数分布实例导入，先计算期望发现相同，再用数据方差类比引出随机变量方差概念，搭建从期望到方差的知识支架。 其亮点是以现实情境驱动，引导学生用数学眼光观察稳定性问题，通过实例推导方差定义和性质培养数学思维，结合次品检测等例题练习用数学语言解决实际问题。总结清晰，助学生构建知识体系，教师使用可明确重难点，提升教学效果。

人教B版(2019)选择性必修第二册 4.2.4 随机变量的数字特征 （第二课时） 第四章 概率与统计 1 学习目标 通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握离散型随机变量的方差的性质，能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题（重难点） 掌握二项分布的方差，体现数学抽象能力（重点） 2 新课导入 某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会（简称“全运会”），根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下. 如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你来决定谁参加全运会，你会怎样决定？说明理由. 甲的环数X1 8 9 10  P 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10  P 0.4 0.2 0.4 3 新课学习 上述情境中，不难算出E(X1)=E(X2)=9，这就是说，如果仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加的. 怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？ 设甲、乙两人每人都重复射击足够多次(设为n次)，则甲所得环数可估计为8，8，⋯，8，9，9，⋯，9，10，10，⋯，10， 0.4n个 0.6n个 0.2n个 乙所得环数可估计为8，8，⋯，8，9，9，⋯，9，10，10，⋯，10. 0.2n个 0.2n个 0.4n个 我们已经知道，这两组数的平均数是相等的，都是9. 而甲这组数的方差为 4 新课学习 类似地，乙这组数的方差为 由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，从这一角度来说，应该派甲参加全运会. 5 新课学习 离散型随机变量的方差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 …… xk …… xn   P p1 p2 ……  pk …… pn 6 新课学习 离散型随机变量的标准差的概念 7 新课学习 举个例子： 情境与问题中，D(X1)=0.4，D(X2)=0.8. 更进一步，如果将甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示，如图(1)(2)所示，则从图上也可看出DX1与 DX2的相对大小. 8 新课学习 二项分布的方差 类似地，若X服从参数为n，p的二项分布，即X∼B(n，p)，则由离散型随机变量方差的定义，可以算得 D(X)=np(1−p). 9 新课学习 尝试与发现：已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 …… xk …… xn   P p1 p2 ……  pk …… pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量.而且E(Y)= aE(X)+b. 那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？ D(Y)=a2D(X) 10 新课学习 离散型随机变量的方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系及E(X)与E(Y)之间的关系可知 11 新课学习 例3：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X). 因为X只能取1，0这两个值，而且P(X=1)=p，E(X)=p， 所以D(X)=(1−p)2×p+(0−p)2×(1−p)=p(1−p). 12 新课学习 例4：已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). (1)因为X服从的是参数为50,0.02 的二项分布，即X∼B(50,0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98 (2)由Y=10X+300 可知 D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 13 课堂练习 B 14 课堂练习 15 课堂练习 C 16 课堂练习 17 课堂练习 C 18 课堂练习 19 课堂练习 C 20 课堂练习 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 4 24 课堂总结 1.离散型随机变量的方差 2.二项分布的方差 3.方差的性质 25 谢 谢 观 看 26 . 因为X的均值为E(X)，所以 能够刻画X相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量X 的方差. 2.已知随机变量X的概率分布如下表，则 ( ) x 1 2 3 p 0.3 a 0.3 A.0.6 B.2 C.2.4 D.5 解析：根据概率分布得 ，解得 ， 计算得 ， ， 根据方差性质得 . 3.已知随机变量 的概率分布如下： 2 3 5 P a b 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 4.已知随机变量 ，若 ，且 ，则 ( ) A. B. C.5 D.6 5.随机变量 的分布列如下表，则 ( ) 0 1 P a A. B. C.1 D.2 解析：由题可知 ，解得 ， 则 ， 则 ， 所以 . 6.已知离散型随机变量X的方差为1，则 . $