4.2.1 随机变量及其与事件的联系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦随机变量及离散型随机变量的概念、性质，以及与随机事件的联系。通过环保部门抽查直辖市个数的情境导入，先结合组合知识分析样本点数目，再引出变量X的取值问题，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，通过抛硬币、网页浏览次数等实例，结合“尝试与发现”活动，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理关系，用数学语言表达事件。课堂练习贴近生活，帮助学生深化理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第二册 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 第四章 概率与统计 1 学习目标 通过具体实例,了解离散型随机变量的概念和性质,理解随机变量与随机事件的关系，体现逻辑推理能力（重点） 理解随机变量之间的关系，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω. （1）Ω中包含的样本点数目是多少？ （2）设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点，X 都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 3 新课学习 不过，因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且是随机抽取，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是 0，1，2，3，4 中的任意一个. 数学中，X这样的变量称为随机变量. 4 新课学习 随机变量的概念 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量. 随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z,⋯ 或小写希腊字母ξ，η，ζ，⋯ 表示. 随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围. 由定义可知，随机变量的取值由随机试验的结果决定. 5 新课学习 例1：先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω . (1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω； (2)求出随机变量X的取值范围. (1)用FZ表示第一枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上，其他事件用相同方法表示，则样本空间Ω={FF，FZ，ZF，ZZ}. (2)因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一枚硬币正面朝上，还有可能两枚硬币都正面朝上，所以X的取值范围是 {0，1，2}. 6 新课学习 尝试与发现：在例1中： (1)X=1与样本空间Ω中的样本点之间有什么关系？ (2)记事件A为“恰有一枚硬币正面朝上”，写出A所包含的样本点，说明X=1与事件A的关系； (3)X=1与X=2能同时成立吗? 不难看出，X=1的充要条件是试验结果为FZ或ZF. 根据题意有A={FZ，ZF}. 因此，X=1表示的就是“恰有一枚硬币正面朝上”，所以X=1与事件A等价. 7 新课学习 另外，因为X=2表示的是“两枚硬币都正面朝上”，所以X=1与X=2是不能同时成立的，即事件X=1与X=2互斥. 8 新课学习 随机变量的性质 一般地，如果 X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： （1）当a≠b时，事件X=a与 X=b互斥； （2）事件X≤a与X>a相互对立，因此 P(X≤a)+P(X>a)=1. 注意：在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间. 9 新课学习 举个例子： 10 新课学习 用ξ表示某网页在一天内（即24 h内）被浏览的次数，则ξ是一个随机变量，ξ的取值范围可以认为是 {0，1，2，3，⋯}=N. 若已知该网页在一天内被浏览的次数不超过1000的概率为0.3，则P(ξ≤1000)=0.3，P(ξ>1000)=1-0.3=0.7 举个例子： 11 新课学习 离散型随机变量的概念 随机变量其所有可能的取值，都是可以一一列举出来的，它们都是离散型随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值． 12 新课学习 尝试与发现：为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元. 假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50. 从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为 Y元，则X与Y均为随机变量. (1)当X=3时， Y的值是多少？总结X与Y之间的关系. (2)分别写出X与Y的取值范围. 13 新课学习 因为X=3 表示超额完成了3件产品，所以按照奖励制度可知Y= 100×3=300. 依照题意可知Y=100X. 另外，由于X的取值范围是 {0，1，2，3，⋯，50}，因此Y的取值范围是{0，100，200，300，⋯，5000}. 上述X与Y，虽然都是随机变量，但是它们之间的关系却是确定的：当X的值确定之后，Y的值也就确定了；反之亦然. 14 新课学习 随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0 ，则Y=aX+b也是一个随机变量. 由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此 P(X=t)=P(Y=at+b). 15 新课学习 例2：某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1 h再获取30元. 从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为Xh ，获取的税前月工资为Y 元. (1)当X=110时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式 (3)若P(X≤120)=0.6，求P(Y>4600) 的值. 16 新课学习 (1)当X=110 时，表示工作了110个小时，所以Y=110×30+1000=4300. (2)根据题意有 Y=30X+1000. (3)因为 X≤120⇔30X≤3600⇔30X+1000≤4600⇔Y≤4600， 所以P(Y≤4600)=P(X≤120)=0.6， 从而P(Y>4600)=1-P(Y≤4600)=1-0.6=0.4 17 课堂练习 C 18 课堂练习 19 课堂练习 B 20 课堂练习 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 C 24 课堂练习 25 课堂练习 D 26 课堂练习 27 课堂练习 ② 28 课堂练习 29 课堂总结 1.随机变量的概念 2.离散型随机变量的概念 3.随机变量之间的关系 30 谢 谢 观 看 31 更进一步，利用古典概型的知识可知 ，由于X=1与事件A等价，因此上述概率的表达式也可记作 . 由于这里的随机变量X只能取0，1，2中的某一个，所以0<X<2与X=1也是等价的，从而事件A也可用0<X<2表示，因此 . 掷一个均匀的骰子，如果设朝上的点数为Y，则Y是一个随机变量，且Y的取值范围是{1,2,3,4,5,6}. 此时Y=2表示“朝上的点数为2”，因此P(Y=2)= ；Y>3表示“朝上的点数大于3”，即“朝上的点数为4，5，6中的某一个”，因此P(Y>3)= . 1.下列是离散型随机变量的是( ) A.种子含水量的测量误差 B.某品牌电视机的使用寿命 C.某网页在24小时内被浏览的次数 D.测量某一零件的长度产生的测量误差 解析：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是一个随机变量 ，则“ ”表示的实验结果只能是 ，即第一枚6点，第二枚1点. 故选：D. 解析：若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则 ； 若甲没抢到题，乙抢到三题但至少答错两题或甲抢到两题一对一错，乙抢到一题但答错，则 ；若甲抢到一题并答对，乙抢到两题但至少答错一题或甲抢到三题两对一错，则 ；若甲抢到两题且答对，则 ；若甲抢到三题且答对，则 . 所有可能取值之和为 .故选C. 解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量； ②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量. $