4.2.5 正态分布课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦正态分布，系统讲解正态曲线性质、3σ原则及标准正态分布。通过二项分布计算困难的“尝试与发现”导入，衔接已有知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过二项分布图形观察抽象出正态曲线，结合实例（如身高、食盐质量）应用3σ原则，培养学生用数学眼光观察、用数学思维分析的能力。课堂练习分层设计，教师可高效教学，学生能深化理解并提升应用意识。

人教B版(2019)选择性必修第二册 4.2.5 正态分布 第四章 概率与统计 1 学习目标 了解正态分布的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握3σ原则，体现数学抽象能力（重难点） 了解正态曲线及其性质，体现逻辑推理能力（重点） 了解标准正态分布的概念及性质，体现逻辑推理能力（重点） 2 新课导入 尝试与发现：已知X服从参数为100,0.5的二项分布，即X~B(100,0.5)，你能手工计算出P(X=50)的值吗？ 所以，要手工计算P(X=50)是一个几乎不可能完成的任务，即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算，事实上，利用计算机软件可知 3 新课学习 X的分布列可以用图形直观地表示出来，其中每一个矩形的宽为1，高为对应的概率值. 4 新课学习 此时，右图具有以下性质： 1.中间高、两边低； 3.某一整数k上方的矩形面积正好等于P(X=k)，其中，k=0，1，2，3，4，5，6； 4.所有矩形的面积之和为1. 5 新课学习 事实上，很多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都具有类似的特点. 6 新课学习 思考一下：根据上面的三个图，你可以得到什么结论？ 由以上三图可以看出，当n充分大时，X∼B(n,p) 的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”. 而且，对不同的参数，只是钟形的宽度和高度不一样而已. 7 新课学习 思考一下：是否存在一个函数φ(x)，它对应的图象能够近似这些钟形(如图(2)所示)呢？ 如果这样的函数存在的话，要计算X落在某区间内的概率，只需计算对应曲线与x轴在适当区间所围成的面积即可. 8 新课学习 正态曲线的概念 9 新课学习 正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”： σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 10 新课学习 利用计算机软件可计算出，正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ] 内所围面积约为0.3413，在区间[μ+σ，μ+2σ] 内所围面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ] 内所围面积约为0.0215，如图所示. 11 新课学习 例1：求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积(精确到0.001)： (1)[μ,+∞)； (2)[μ−σ,μ+σ]； (1)因为正态曲线是关于x=μ对称的，而且正态曲线与x轴所围成的图形面积为1，因此所求面积为0.5. (2)利用对称性可知，所求面积为区间[μ，μ+σ]内面积的2倍，即约为0.3413×2=0.6826≈0.683. 12 新课学习 例1：求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积(精确到0.001)： (3)[μ−2σ,μ+2σ]； (4)[μ−3σ,μ+3σ]. (3)利用对称性可知，所求面积约为(0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954. (4)利用对称性可知，所求面积约为(0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997. 13 新课学习 正态分布的概念 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间 [a，b] 内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X∼N(μ,σ2)，此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数. 此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差. 例如：当X∼N(3,2)时，X的均值是2，方差是2，标准差为 14 新课学习 3σ的概念 如果X∼N(μ,σ2)，那么 P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%； P(|X−μ|≤σ)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68.3%， P(|X−μ|≤2σ)=P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%， P(|X−μ|≤3σ)=P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%， 说明X约有99.7% 的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外（这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”. 15 新课学习 例2：假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位： cm，下同），标准差为10. 在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间[160，180]内的概率； (3)不高于180的概率. 设该学生的身高为X，由题意可知X∼N(170,102)， (1)易知P(X≤170)=50%. (2)因为均值为170，标准差为10，而 160=170−10，180=170+10，所以 P(160≤X≤180)=P(|X−170|≤10)≈68.3%. 16 新课学习 (3)由概率的加法公式可知 P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180). 因此P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180)≈50%+34.15%=84.15% 17 新课学习 例3：假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g . (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少； 设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为Xg，由题意可知 X∼N(500，52). 18 新课学习 例3：假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g . (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515g的概率约为0.15%×0.15%=2.25×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. 19 新课学习 标准正态分布的概念 20 新课学习 标准正态分布的性质 如果X∼N(0,1)，那么对于任意实数a，通常记Φ(a)=P(X<a)，也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(−∞,a)内所围的面积，如图所示. 根据正态曲线的对称性，可以知道Φ(a) 具有性质Φ(−a)+Φ(a)=1，可以得到Φ(k)(k=−3，−2，−1，0，1，2，3)的值. 例如:Φ(1)≈0.5+0.3413=0.8413. 21 新课学习 为了方便起见，将a≥0时部分Φ(a)的值制成了专门的表格，可供查询，下表是部分数据. Φ(a)=P(X<a)   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224   22 新课学习 例4：已知X∼N(0，1)，利用上述表格求以下概率值： (1)P(X<0.28)； (2)P(X<−0.36)； (3)P(0.18≤X<0.57). (1)P(X<0.28)=Φ(0.28)=0.6103. (2)因为P(X<−0.36)=Φ(−0.36)，而Φ(−0.36)+Φ(0.36)=1，且由上表可知 Φ(0.36)=0.6406，所以Φ(−0.36)=1−Φ(0.36)=1−0.6406=0.3594. (3)由概率的加法公式以及上表可知P(0.18≤X<0.57)=P(X<0.57)−P(X<0.18) =Φ(0.57)−Φ(0.18)=0.7157−0.5714=0.1443. 23 课堂练习 B 24 课堂练习 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂练习 C 28 课堂练习 29 课堂练习 C 30 课堂练习 31 课堂练习 B 32 课堂练习 33 课堂总结 1.正态曲线的性质 2.正态分布的概念 3.3σ的概念 4.标准正态分布的概念与性质 34 谢 谢 观 看 35 ， ，因此 . 例如：若 ，则其分布列可用图（1）表示； 其中： ，即X的均值； ，即 X的标准差. 一般地， 对应的图象称为正态曲线（也因形状而被称为“钟形曲线”， 也 常常记为 ）. 又由(2)以及正态曲线的对称性可知 ， 由于515=500+3×5，所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知 . 且 的正态分布称为标准正态分布，因为如果 ， 那么令 ，则可以证明 ，即任意正态分布通过变换 都可化为标准正态分布. 1.若随机变量 ，且 ，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：已知随机变量X服从正态分布 ，因此其分布曲线关于对称轴 对称，可得 ，根据概率的基本性质， EMBED Equation.DSMT4 . 4.已知 ， ，且X和Y的分布密度曲线如图所示，则( ) A. B. C. D. 解析：由题图可知 ， ，则 ，即 ，所以A错误； 根据正态曲线的性质，σ越大图象越矮胖，则 ，即 ，所以B错误； 由图可知， ，所以C正确； 由图可知， ，所以D错误. 5.某班有60名学生，一次考试后数学成绩 ，若 ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 解析：∵考试的成绩ξ服从正态分布 ， ∴考试的成绩ξ关于 对称， ， ， ∴该班学生数学成绩在120分以上的人数为 . 故选：B. $