4.2.5 第1课时 正态分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正态分布核心知识点，从二项分布（n充分大时的钟形分布）引入正态曲线，系统梳理正态曲线解析式、性质（对称性、面积意义）、参数μ（均值）和σ（标准差）的意义，以及正态分布概率区间与标准正态分布转换。 资料采用“逐点理清式”教学，通过“多维理解-微点助解-微点练明”三层结构，结合二项分布直观图培养数学眼光，通过参数影响分析和概率计算练习发展数学思维与数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.2.5　正态分布 第1课时　正态分布 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.利用二项分布的随机变量分布列的直观图,了解正态曲线的意义. 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质,明确正态曲线中参数μ,σ的意义及其对正态曲线形状的影响. 3.了解标准正态分布与正态分布的关系.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内概率的大小. 4.掌握正态分布与标准正态分布的转换,能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率. 逐点清(一)　二项分布与正态曲线 [多维理解] (1)二项分布分布列直观图的特点:当n充分大时,随机变量X~B(n,p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”. (2)正态曲线的解析式:φ(x)=,φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数,其中:μ=E(X),即X的均值;σ=,即X的标准差. (3)正态曲线的形状:一般地,φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)). |微|点|助|解| 　　参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正态曲线的解析式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. (　　) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　　) (3)正态曲线是一条钟形曲线. (　　) (4)正态曲线y=φμ,σ(x)关于直线x=0对称. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.已知正态曲线的解析式f(x)=,x∈R,则μ,σ分别是 (　　) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 解析:选B　∵f(x)==,∴μ=0,σ=2. 3.设随机变量X~N(0,1),则X的正态曲线对应的函数为 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:选A　因为X~N(0,1),所以μ=0,σ2=1,即σ=1,所以X的正态曲线对应的函数为A. 4.若随机变量X的正态曲线对应的函数为φμ,σ(x)=,则D=　　　　.  解析:因为D(X)=4,所以D=D(X)=1. 答案:1 逐点清(二)　正态曲线的性质 [多维理解] 1.正态曲线的性质 (1)正态曲线关于直线x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. 2.正态曲线与x轴在某个区间内所围的面积 (1)在区间[μ-σ,μ+σ]内所围的面积约为0.683; (2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内所围的面积约为0.954; (3)在区间[μ-3σ,μ+3σ]内所围的面积约为0.997. 如图. |微|点|助|解| (1)正态曲线与x轴无交点,图象始终位于x轴上方.μ=E(X),μ∈R,表示平均水平的特征数,σ2=D(X),表示方差,σ>0. (2)集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置. (3)对称性:正态曲线以均值为中心左右对称,曲线两端永远不与横轴相交. (4)均匀变动性:正态曲线由均值所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降. [微点练明] 1.已知三条正态曲线φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)如图所示,则下列判断正确的是 (　　) A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 解析:选D　由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3,σ的大小决定曲线的形状,σ越大,随机变量的分布越分散,曲线越“矮胖”;σ越小,随机变量的分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3,实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),得=>,即σ1=σ2<σ3. 2.如图分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态曲线,则下列说法不正确的是 (　　) A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等 B.时间误差的均值从大到小依次为甲,乙,丙 C.时间误差的方差从小到大依次为甲,乙,丙 D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好 解析:选B　正态曲线中的参数μ,σ分别表示随机变量的均值和标准差.由题图可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据题图的“高、矮、胖、瘦”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲,乙,丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C、D正确. 3.已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)=,若正态曲线与x轴在区间(-∞,m]内所围面积为0.3,则正态曲线与x轴在区间(-∞,6-m)内所围面积为　　　　.  解析:区间(-∞,6-m)与区间(m,+∞)关于直线x=3对称,故正态曲线与x轴在区间(-∞,6-m)与在区间(m,+∞)内所围面积相等,正态曲线在区间(m,+∞)内与x轴所围面积为1-0.3=0.7,所以所求面积为0.7. 答案:0.7 4.在一次测试中,测量结果X的正态曲线如图所示,若正态曲线与x轴在区间(0,2)内所围面积为0.2. 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积. (1)(0,4]; (2)(4,+∞). 解:(1)由题图可知,正态曲线关于直线x=2对称,故正态曲线与x轴在区间(0,4]内所围面积是在区间(0,2)内所围面积的2倍,即2×0.2=0.4. (2)正态曲线与x轴在区间(2,4]内所围面积与在区间(4,+∞)内所围面积的和为0.5,故在区间(4,+∞)内所围面积为0.5-0.2=0.3. 逐点清(三)　正态分布 [多维理解] 1.正态分布 一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数.更进一步的研究表明,此时μ是X的均值,而σ是X的标准差,σ2是X的方差. 2.正态分布总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%; (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%; (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%. [微点练明] 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于 (　　) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:选C　∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6.∴P(0<ξ<2)=0.3. 2.若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　.  解析:由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,∴P(10≤ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3. 答案:0.3 3.设ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1≤ξ≤3); (2)P(3≤ξ≤5). 解:∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2) =P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683. (2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1), ∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] =[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)] ≈(0.954-0.683)=0.135 5. 逐点清(四)　标准正态分布 [多维理解] (1)定义:μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布. (2)概率计算:如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X<a),也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积,如图所示. (3)Φ(a)的性质:Φ(-a)+Φ(a)=1. [微点练明] 1.已知变量ξ~N(μ,σ2),那么下面服从标准正态分布的是 (　　) A.ξ　　　　B.ξ-μ　　　　C.　　　　D. 解析:选D　设Z=,则E(Z)=E=0,D(Z)===1,∴Z=~N(0,1),故选D. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),已知Φ(-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)= (　　) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 解析:选C　∵ξ服从标准正态分布N(0,1),∴P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=Φ(1.96)-Φ(-1.96)=1-2Φ(-1.96)=1-2×0.025=0.950. 3.随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.现已知随机变量Y服从正态分布N(2,4).若随机变量Z=aY-b(a,b为正实数)服从标准正态分布,则a+b=　　　　.  解析:因为随机变量Y服从正态分布N(2,4),所以E(Y)=2,D(Y)=4.因为随机变量Z=aY-b(a,b为正实数)服从标准正态分布,所以E(Z)=0,D(Z)=1,所以E(Z)=aE(Y)-b=2a-b=0,D(Z)=a2D(Y)=4a2=1,即解得a=,b=1,则a+b=+1=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $