4.1.2 乘法公式与全概率公式（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过“尝试与发现”设问（如乙中奖概率计算）引导学生从条件概率、乘法公式过渡，搭建知识支架，衔接前后内容。 其亮点是以实际问题驱动（如民意调查女生概率、智能手机优质品率），通过逻辑推理推导公式，用符号清晰表达事件关系，体现数学思维与数学语言。采用问题链与案例分析，帮助学生理解应用，教师可高效开展教学。

人教B版(2019)选择性必修第二册 4.1.2 乘法公式与全概率公式 （第二课时） 第四章 统计与概率 1 学习目标 掌握全概率公式和贝叶斯公式，体现逻辑推理能力（重点） 会用全概率公式和贝叶斯公式解决实际问题，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 3 新课学习 4 新课学习 全概率公式 5 新课学习 方法一： 6 新课学习 方法二： 假设参加活动的甲班人数为5n，则乙班人数为3n，而且甲班中有女生3n人，乙班中有女生n人. 从而可知参加活动的总共有5n+3n=8n人，而女生有3n+n=4n人， 7 新课学习 思考一下：求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率？ 并且用树状图如何理解例3的给的信息？ 例3中的信息可借助如图所示的树形图来理解. 8 新课学习 学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？ 利用全概率公式，可以解决情境与问题中的抽签问题. 如果设Ai表示第i个人抽到1号，i=1，2． 9 新课学习 如果第一个人抽到1号，那么第二个人抽到1号的概率为0，即 P(A2|A1)=0； 这就是说P(A1)=P(A2). 因此抽签是公平的. 10 新课学习 全概率公式的推广 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，⋯，An满足： （1）任意两个事件均互斥，即AiAj=∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j； （2）A1+A2+⋯+An=Ω； （3）P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+⋯+BAn，且 11 新课学习 例4：假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如下表所示. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50％ 30％ 20％ 优质品率 95％ 90％ 70％ 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品， 则依据已知可得P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%， 且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)==70%， 12 新课学习 因此，由全概率公式有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. 13 新课学习 思考一下：如何利用全概率公式来解释？ 由例4还可以得出全概率公式的一个直观解释：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i=1，2，⋯，n，且任意两种情形均互斥），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件 B发生的可能性的乘积之和. 在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助全概率公式间接求出事件 B发生的概率. 14 新课学习 尝试与发现：用适当的符号表示出下列描述中的已知与未知，并探索问题的解法：已知某厂生产的食盐，优质品率为90%. 优质品中，包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%. 如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质品的概率为多少（精确到0.1%）？ 15 新课学习 但由乘法公式和全概率公式可得P(AB)=P(BA)=P(A)P(B∣A)=90%×95%=85.5%， 16 新课学习 贝叶斯公式 一般地，当1>P(A)>0 且 P(B)>0 时，有 这称为贝叶斯公式. 17 新课学习 例5：某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%. 当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%. 某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1%）. 18 新课学习 用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品. 则由已知有 19 新课学习 先验概率与后验概率的概念 例5中的概率80％（即 P(A) ）是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息（即第一件产品是合格品）后算出的概率P(A∣B) ，通常称为后验概率. 贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率. 实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少. 20 新课学习 已知某地居民肝癌的患病率为0.0004．通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05．目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ 如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99％. 然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率. 设A表示患有肝癌， B表示检测结果显示患有肝癌，则 21 新课学习 从而有 根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8％！也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意． 22 新课学习 值得注意的是，这并不能说明对应的检测方法精度不够高，更不能说明在实际诊断时不能使用对应的检测办法． 下表是P(A)取不同值时对应的P(A|B)，从中可以看出P(A)对P(A|B)的影响很大. P(A) 0.0004 0.001 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 P(A|B)  0.0079 0.0194 0.1667 0.5103 0.6875 0.8319 0.9519 在实际诊断过程中，医生往往会先观察患者的症状，只有当医生通过其他症状怀疑病人患有肝癌时，才会建议进行血清甲胎蛋白检测. 也就是说，此时疑似患病人群的P(A)值已经远远大于0.0004，甚至可能已经达到了0.5，因此检测显示患有肝癌而实际也患有肝癌的概率P(A|B)也就会比0.0079大很多了. 23 新课学习 贝叶斯公式的推广 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，⋯，An满足： （1）任意两个事件均互斥，即AiAj=∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j； （2）A1+A2+⋯+An=Ω； （3）1>P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B ，有 24 课堂练习 D 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 B 29 课堂练习 30 课堂练习 B 31 课堂练习 32 课堂练习 C 33 课堂练习 34 课堂总结 1.全概率公式 2.全概率公式的推广 3.贝叶斯公式 4.贝叶斯公式的推广 35 谢 谢 观 看 36 尝试与发现：(1)在例2中，如果想求乙中奖的概率P(B)，该怎样计算？ (2)一般地，如果已知P(BA)与 ，能否求出P(B)？如果已知 ，P(A)， ， ，能否求出P(B)？ 当 且 时，因为由乘法公式有 ， ，所以 . 这称为全概率公式. 例3：某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 . 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 如果用A与 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生. 则根据已知，有 由全概率公式可知 . 则可以看出 ， . 如果第一个人抽到的不是1号，那么第二个人抽到1号的概率为 ，即 EMBED Equation.DSMT4 . 由条件概率可知 ，不过，已知条件中并没有直接给出P(AB)与P(B) 的值. ， ， 从而 因此由贝叶斯公式可知 ， . 2.已知在所有男子中有 患有色盲症，在所有女子中有 患有色盲症.现随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）( ) A. B. C. D. 3.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为 ，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为 ；若观众没有携带，安检门依旧有 的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为( ) A. B. C. D. 解析：设事件A：该观众私自携带应援物品；事件B：安检门亮灯提示， 则 ， ， ， ， .某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 ，所以 .故选:B. 4.甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为( ) A. B. C. D. 解析：设从甲小组中抽出1名男生为事件 ，从甲小组中抽出1名女生为事件 ， 从乙小组中抽出的学生是女生为事件B. 则 ， ， ， ， 故 . 5.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为( ) A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84 解析：设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知 ， ， ， . 由全概率公式得 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：C $