4.1.3 独立性与条件概率的关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“独立性与条件概率的关系”，系统梳理相互独立事件的概念、充要条件及乘法公式，通过课前自主落实基础、课堂梯度题型研究（判断、概率计算、实际应用）、课时跟踪检测的结构，搭建从概念理解到迁移应用的学习支架，衔接条件概率与独立事件的逻辑关联。 其亮点在于以“深度学习课——梯度进阶式教学”为核心，结合射击、猜成语、电路开关等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的独立事件，通过“思维建模”总结判断方法与概率计算步骤培养数学思维，利用对比表格等数学语言清晰呈现互斥与独立事件的概率关系。学生能提升分析问题能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

4.1.3 独立性与条件概率的关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件,会对事件的独立性进行判断. 2.掌握相互独立事件概率的乘法公式,会求相互独立事件同时发生的概率. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.相互独立的概念 当P(B)>0时,A,B独立的充要条件是P(A|B)=_______,且有P(A∩B)(或P(AB))=_____________. 2.相互独立的性质 (1)一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立. (2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An) =__________________________. P(A) P(A)P(B) P(A1)·P(A2)·…·P(An) |微|点|助|解|　 　　一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A∪B. (2)A,B都发生为事件AB. (3)A,B都不发生为事件 . (4)A,B恰有一个发生为事件A∪B. 它们之间的概率关系如表所示.   A,B互斥 A,B相互独立 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1-[P(A)+P(B)] P()P() 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　) (3)如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B). (　　) (4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件. (　　) √ √ √ √ 2.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.9与0.6,且预报准确与否相互独立,求在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率. 解:甲气象台预报不准确的概率为1-0.9=0.1,乙气象台预报不准确的概率为1-0.6=0.4,故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是0.1×0.4=0.04. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　判断下列事件是否相互独立: (1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”. 解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以两个事件相互独立. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解:“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不相互独立. |思|维|建|模| 两个事件是否相互独立的判断方法 直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B相互独立. (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B) 判断. 针对训练 1.[多选]下列事件A,B不是相互独立事件的是 (　　) A.一枚硬币掷两次,事件A表示“第一次为正面向上”,事件B表示“第二次为反面向上” B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两次,每次摸一个球,事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,事件A表示“出现点数为奇数”,事件B表示“出现点数为偶数” D.事件A表示“人能活到20岁”,事件B表示“人能活到50岁” √ √ √ 解析:对于A,A,B两个事件发生没有关系,故是相互独立事件;对于B,A事件发生时,影响到B事件,故不是相互独立事件;对于C,由于掷的是同一枚骰子,A,B是对立事件,所以不是相互独立事件;对于D,能活到20岁的,可能也能活到50岁,故A,B不是相互独立事件,故选BCD. 2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 √ 解析:P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)==P(甲)P(丁),P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠ P(丙)P(丁).故选B. 题型(二)　相互独立事件发生的概率 [例2]　甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; 解:记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件,P(A)=0.8,P(B)=0.9. 2人都射中目标的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72, ∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)2人中恰有1人射中目标的概率; 解:“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件A发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式,得所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26, ∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)2人至少有1人射中目标的概率. 解:法一　2人至少有1人射中目标包括“2人都中”和“2人有1人不中” 2种情况,其概率为P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.72+0.26=0.98. 法二　“2人至少有一人射中目标”与“2人都未射中目标”为对立事件, 2人都未射中目标的概率是P( )=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02, ∴2人至少有1人射中目标的概率为P=1-P( )=1-0.02=0.98. |思|维|建|模| 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积. 针对训练 3.某地医疗科研机构都在研究某种疫苗,现有甲、乙、丙三个独立的科研机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求: (1)他们都研制出疫苗的概率; 解:设“甲机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件A,“乙机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件B,“丙机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=. 他们都研制出疫苗的概率为 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. (2)恰有一个机构研制出疫苗的概率; 解:设“恰有一个机构研制出疫苗”为事件M, 则P(M)=P(A ∪ B ∪ C)=P(A )+P( B )+P( C) =××+××+××=. (3)至少有一个机构研制出疫苗的概率. 解:设“至少有一个机构研制出疫苗”为事件N, 则P(N)=1-P( )=1-P()P()P()=1-××=. [例3]　甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为p,乙每轮猜对的概率为q.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知每轮甲、乙同时猜错的概率为,恰有一人猜错的概率为. (1)求p和q; 题型(三)　相互独立事件的实际应用 解:设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错”,N表示事件“恰有一人猜错”, 则P(M)=(1-p)(1-q)=,P(N)=(1-p)q+p(1-q)=, 解得p=,q=或p=,q=. (2)若p>q,求“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率. 解:由p>q和(1)可知p=,q=, 设Ai表示事件甲在两轮中猜对i个成语, Bi表示事件乙在两轮中猜对i个成语(i=0,1,2), X表示“星队”在两轮活动中猜对成语的个数, 由于两轮猜的结果相互独立, 所以P(X=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=++=, 所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为. |思|维|建|模| (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 4.甲、乙进行射击比赛,两人轮流朝一个靶射击,若击中靶心得3分,击中靶心以外的区域得1分,两人得分之和大于或等于6分即结束比赛,且规定最后射击的人获胜,假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶,经过抽签,甲先射击. (1)求甲需要射击三次的概率; 针对训练 解:甲需要射击三次,则两人前四次射击均只得1分,所以甲需要射击三次的概率为=. (2)比赛结束时两人得分之差最大为多少?求这个最大值发生的概率; 解:比赛结束时,两人得分之差最大为5分,他们得分情况为:甲3,乙1,甲3,所以这个最大值发生的概率为××=. (3)求乙获胜的概率. 解:根据他们轮流射击的得分,分四种情况: ①甲3,乙3,概率为=; ②甲1,乙1,甲1,乙3,概率为×=; ③前三次射击中有一次3分,两次1分,概率为××=; ④前五次射击均得1分,概率为=. 所以乙获胜的概率为+++=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.若P(A|B)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.既互斥又相互独立 √ 解析:因为P(A|B)=P(A)=,所以事件A与B相互独立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为 (　　) A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48 √ 解析:设事件A为“甲击中目标”,事件B为“乙击中目标”,“两人各射击一次,恰有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(即A ),另一种是甲未击中、乙击中(即 B),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A 与B是互斥的, 所以所求概率为P=P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B) =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.[多选]已知,分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则(　　) A.P(B|A)+P(|A)=1 B.P(B|A)+P(|A)=P(A) C.若A,B相互独立,则P(A|B)=P(A) D.若A,B互斥,则P(A|B)=P(B|A) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:因为P(B|A)+P(|A)===1,所以A正确,B错误; 由相互独立事件的定义,若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B), P(A|B)==P(A),所以C正确;若A,B互斥,则P(AB)=0, P(A|B)==0,P(B|A)==0,所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.如图,已知电路中有5个开关,开关S5闭合的概率为,其他开关闭合的概率都是,且各开关是否闭合相互独立,则灯亮的概率为(　　) A. B. C. D. 解析:法一　灯亮的对立事件为灯不亮,则得到灯不亮的条件是S1,S2至少有一个断开,且S3,S4,S5同时断开,∴灯亮的概率P=1-=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 法二　根据串联、并联,得灯亮有三种情况: ①S5闭合,则灯亮的概率P1=; ②S5断开,S1,S2均闭合,则灯亮的概率P2=××=; ③S5断开,S1,S2至少有一个断开,S3,S4至少有一个闭合,则灯亮的概率P3=××=. 综上,P(灯亮)=P1+P2+P3=++=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析:设事件A表示“在A处遇绿灯”,事件B表示“在B处遇绿灯”,事件C表示“在C处遇绿灯”,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=,则这三处都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.[多选]口袋里装有2红,2白共4个形状相同的小球,对其编号红球1,2, 白球3,4,从中不放回地依次取出两个球,事件A=“第一次取出的是红球”,事件B=“第二次取出的是红球”,事件C=“取出的两球同色”,事件D=“取出的两球不同色”,则下列说法正确的是 (　　) A.A与B互斥 B.C与D互为对立事件 C.A与C相互独立 D.P(D|B)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:样本点有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12个, 事件A={12,13,14,21,23,24};事件B={12,21,31,41,32,42}; 事件C={12,21,34,43};事件D={13,14,23,24,31,41,32,42}. ∵A∩B≠∅,∴A与B不是互斥事件,故A错误; C∪D=Ω,C∩D=∅,∴C与D互为对立事件,故B正确; ∵事件AC={12,21},∴P(A)==,P(C)==,P(AC)==, P(AC)=P(A)P(C),∴A与C相互独立,故C正确; ∵事件BD={31,41,32,42},P(B)=,P(BD)==,∴P(D|B)==,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)国庆节放假,甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为,,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么国庆假期内至少有1人去北京旅游的概率为__________. 解析:因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,所以他们不去北京旅游的概率分别为,,,所以至少有1人去北京旅游的概率为P=1-××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)已知0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B).若P()=0.6,P(B|)=0.3,则P(AB)=__________. 0.12 解析:因为P(B|A)=P(B),所以事件A与事件B相互独立,则P(B)=P(B|)=0.3.因为P()=0.6,所以P(A)=0.4,则P(AB)=P(A)P(B)=0.12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB )=, 那么P(B)= _________,P(B)=__________. 解析:∵P(AB )=P(AB)P()=P()=,∴P()=,即P(C)=. 又P(C)=P()P(C)=, ∴P()=,P(B)=. 又P(AB)=,∴P(A)=, ∴P(B)=P()P(B)=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)设不透明的袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,有放回地随机摸球三次,每次摸一球,则第三次才摸到白球的概率为_________;若以同样的方式不放回摸球,则第三次才摸到白球的概率为_________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:设事件A表示“第一次未摸到白球”,B表示“第二次未摸到白球”, C表示“第三次摸到白球”, 则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC. 有放回时:P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=. 不放回时:P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)清明节放假期间,甲同学去古镇游玩的概率为,乙同学去古镇游玩的概率为,丙同学去古镇游玩的概率为,且甲、乙、丙三人的行程之间互相没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在清明节放假期间同时去古镇游玩的概率;(4分) 解:根据相互独立事件同时发生的概率公式,得三人同时去古镇游玩的概率P1=××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求甲、乙、丙三人在清明节放假期间仅有一人去古镇游玩的概率.(6分) 解:甲、乙、丙三人仅有一人去古镇游玩的概率 P2=××+××+××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关,在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,每人闯关成功记2分,三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率;(5分) 解:设乙闯关成功的概率为P1,丙闯关成功的概率为P2,根据独立事件同时发生的概率公式得解得P1=,P2=, 即乙闯关成功的概率为,丙闯关成功的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率;(5分) 解:团体总分为4分,即甲、乙、丙三人中恰有2人过关,而另外一人没过关, 设“团体总分为4分”为事件A, 则P(A)=××+××+××=, 即团体总分为4分的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)若团体总分不小于4分,则小组可参加下一轮比赛,求该小组参加下一轮比赛的概率.(5分) 解:团体总分不小于4分,即团体总分为4分或6分,设“团体总分不小于4分”为事件B, 由(2)可知团体总分为4分的概率为, 团体总分为6分,即3人闯关都成功的概率为××=, 所以P(B)=+=, 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $